7.4.2: Суми нескінченних геометричних рядів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55085

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Суми нескінченних геометричних рядів

Мама Сайбера сказала йому прибирати його кімнату в суботу вранці.

«Але, МАМА! Це займе назавжди!» сказав Сайбер.

«О, не будьте надмірно драматичними», - сказала мама.

«Я НЕ драматичний!» Сайбер сказав.

«Якщо я почну прямо зараз, це займе мені принаймні годину, щоб очистити цю половину поодинці, тоді це займе ще півгодини, щоб очистити половину залишку, і 15 хвилин, щоб очистити половину цього залишку... оскільки у мене завжди залишиться половина, я ніколи не зроблю!»

Чи згодні ви з Сайбером? Чи застрягне Сайбер з вакуумом в руці назавжди? Налаштуйтеся на наступному тижні...

Суми нескінченних геометричних рядів

Повернемося до ситуації у вступі: Бідний Сайбер застряг прибирання своєї кімнати. Він прибирає половину кімнати за 60 хв. Потім очищає половину від того, що залишилося, ще 30 хвилин, половину знову ще на 15. Якщо він продовжує прибирати половину площі, що залишилася, як він коли-небудь закінчить кімнату?

Ми знаємо, що шматки повинні скласти до деякого кінцевого періоду часу (незалежно від того, що він відчуває, як, Сайбер МОЖЕ отримати кімнату чистою), але як це можливо, щоб сума нескінченного числа термінів була кінцевим числом?

Щоб знайти суму нескінченного числа членів, слід розглянути деякі часткові суми. Три часткові суми, відносно ранні в серії, можуть бути:\(\ S_{2}=90\),\(\ S_{3}=105\), і\(\ S_{6}=118.125\) або\(\ 118 \frac{1}{8}\)

Тепер давайте розглянемо більші значення\(\ n\):

\(\ S_{7}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.06 \text { minutes }\)
\(\ S_{8}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.5 \text { minutes }\)
\(\ S_{10}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.9 \text { minutes }\)

Коли n наближається до нескінченності, значення S _n, здається, наближається до 120 хвилин. Що стосується фактичних сум, то, що відбувається так: коли n збільшується, то n ^-й термін стає все менше і менше, і тому n ^-й термін вносить все менше і менше до значення S _п. Ми говоримо, що ряд сходиться, і ми можемо записати це з обмеженням:

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\)	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\frac{1}{2}}\right)\)
	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)}{\frac{1}{2}}\right)\)
	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(120\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\right)\)

Коли n наближається до нескінченності, значення\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\) стає все менше і менше. Тобто значення цього виразу наближається до 0. Тому значення\(\ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\) підходів 1, а\(\ 120\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\) підходи\(\ 120(1)=120\).

Тому, як би довго не тривав процес, Сайбер не витратить більше 2 годин на прибирання приміщення. Звичайно, це може ЗДАТИСЯ набагато більше!

Ми можемо зробити той самий аналіз для загального випадку геометричного ряду, якщо терміни стають все меншими та меншими. Це означає, що загальним співвідношенням має бути число від -1 до 1: |r| < 1.

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\)	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\right)\)
	\(\ =\frac{a_{1}}{1-r}, \text { as }\left(1-r^{n}\right) \rightarrow 1\)

Тому ми можемо знайти суму нескінченного геометричного ряду за формулою\(\ S=\frac{a_{1}}{1-r}\).

Коли нескінченна сума має кінцеве значення, ми говоримо, що сума сходиться . В іншому випадку сума розходиться . Сума сходиться лише тоді, коли терміни наближаються до 0 після кожного кроку, але це не є достатнім критерієм збіжності. Наприклад, сума\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\) не сходиться.

Приклади

Приклад 1

Знайдіть суму збіжних рядів:\(\ 40+-20+10+-5+\ldots\)

Рішення

Загальним співвідношенням є\(\ \frac{-1}{2}\). Тому сума сходиться до:

\(\ \frac{40}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)}=\frac{40}{\frac{3}{2}}=40\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{80}{3}\)

Приклад 2

Визначте, чи сходиться ряд. Якщо вона сходиться, знайдіть суму.

а.\(\ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots\)	б.\(\ 3+-6+12+-24+\ldots\)

Рішення

\(\ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots\)сходиться. Загальне співвідношення становить (1/3). Тому сума сходиться до:

\(\ \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
Ряд 3 + -6 + 12 + -24 +... не сходиться, так як загальне співвідношення -2.
Пам'ятайте, що ідея нескінченної суми була введена в контексті реалістичної ситуації, нехай і парадоксальної. Насправді ми можемо використовувати нескінченні геометричні серії для моделювання інших реалістичних ситуацій. Тут ми розглянемо ще один приклад: загальну вертикальну відстань, пройдену стрибаючим м'ячем.

Приклад 3

М'яч скидається з висоти 20 футів. Кожен раз, коли він відскакує, він досягає 50% своєї попередньої висоти. Яку загальну вертикальну відстань проходить м'яч?

Рішення

Ми можемо думати про загальну відстань як відстань, яку м'яч їде вниз + відстань, яку м'яч рухається назад вгору. Відскоки вниз утворюють геометричний ряд:

20 + 10 + 5 +...

Висхідні відскоки утворюють один і той же ряд, за винятком першого члена 10.

Отже, загальна відстань становить:\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 20\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Кожна сума сходиться, так як загальне співвідношення дорівнює (1/2). Тому загальна відстань становить:

\(\ \frac{20}{1-\frac{1}{2}}+\frac{10}{1-\frac{1}{2}}=\frac{20}{\frac{1}{2}}+\frac{10}{\frac{1}{2}}=40+20=60\)

Таким чином, м'яч проходить загальну вертикальну відстань 60 футів.

Приклад 4

Визначте, чи сходиться або розходиться наступний ряд. Якщо вона сходиться, знайдіть суму.

240 + 60 + 15 +...

Рішення

Сума сходиться. S = 320.

Приклад 5

На цьому уроці ми довели формулу для суми геометричного ряду,\(\ S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\) використовуючи індукцію.

Доведіть цю формулу без індукції:

Рішення

Крок 1: Нехай\(\ S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}\)

\(\ S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}\)

Крок 2: Помножте\(\ S_{n}\) на\(\ r\), щоб отримати друге рівняння

\(\ r S_{n}=a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n}\)

Крок 3: Відніміть рівняння і вирішіть для\(\ S_{n}\).

\ (\\ почати {масив} {l}
S_ {n} -r S_ {n} =a_ {1} -a_ {1} r^ {n}\\ Стрілка вправо S_ {n} (1-р) =а
\ ліворуч (1-r^ {n}\ праворуч)\\ Стрілка вправо S_ {n} =\ frac {a\ ліворуч (1-r^ {n})
\\ Стрілка вправо S_ {n} =\ frac {a\ ліворуч (1-r^ {n}}\ право)} {(1-r)}
\ end {масив}\)

Приклад 6

М'яч скидається з висоти 40 футів, і кожен раз, коли він відскакує, він досягає 25% від своєї попередньої висоти.

Знайдіть загальну відстань по вертикалі, яку проїжджає м'яч, використовуючи метод, використаний на уроці.
Знайдіть загальну відстань по вертикалі, яку проїжджає куля, використовуючи одну серію.

Рішення

\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 40\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty} 20\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=66 \frac{2}{3}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 50\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=66 \frac{2}{3}\)

(Підказка: випишіть кілька термінів для кожного відскоку. Наприклад, перший відскік: 40 футів вниз + 10 футів вгору = 50 футів пройдено.)

Приклад 7

Нижче наведено два нескінченні ряди, які не є геометричними. Використовуйте графічний калькулятор для вивчення часткових сум. Чи сходиться будь-яка серія?

\(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\)
\(\ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots\)

Рішення

Цей ряд не сходиться.
Ця серія сходиться в районі 1.65. (Фактична сума дорівнює\(\ \frac{\pi^{2}}{6}\))

Рецензія

Знайти суму перших 10 термінів за\(\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\) допомогою графічного калькулятора.
Знайти суму перших 20 термінів за\(\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\) допомогою графічного калькулятора.
Припущення про можливу збіжність ряду в питаннях 1 і 2.

Оцініть нескінченну суму кожного з наступних геометричних рядів:

\(\ -2+1-\frac{1}{2}+\ldots\)
\(\ -6+\frac{24}{5}-\frac{96}{25}+\ldots\)
\(\ 3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\ldots\)
\(\ -6+4-\frac{8}{3}+\ldots\)
\(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots\)

Оцініть нескінченну суму кожного з наступних геометричних рядів:

\(\ \sum_{n=1}^{\infty}-3\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty}-2\left(\frac{4}{7}\right)^{(n-1)}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 7\left(\frac{-4}{5}\right)^{(n-1)}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty}-9\left(\frac{-1}{5}\right)^{(n-1)}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{-5}{7}\right)^{(n-1)}\)
\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)}\)

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 7.10.

Лексика

Термін	Визначення
сходитися	Якщо ряд має межу, а межа існує, ряд сходиться.
зближений	Якщо ряд має межу, а межа існує, ряд збігається.
розходяться	Якщо ряд не має межі, або межа нескінченність, то ряд розходиться.
розходиться	Якщо ряд не має межі, або межа нескінченність, то ряд розходиться.
геометрична послідовність	Геометрична послідовність - це послідовність з постійним співвідношенням між послідовними долями. Геометричні послідовності також відомі як геометричні прогресії.
геометрична серія	Геометричний ряд - це геометрична послідовність, записана у вигляді необчисленої суми членів.
часткові суми	Часткова сума - це сума перших «n» членів нескінченного ряду, де «n» - деяке натуральне число.