3.2.1: Розв'язування експоненціальних рівнянь

Last updated
Save as PDF

Page ID: 55016

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Експоненціальні рівняння

Коли ви вперше вивчали рівняння, ви дізналися правило, що все, що ви робите з однією стороною рівняння, ви також повинні зробити з іншого боку, щоб рівняння залишалося в рівновазі. Основні методи додавання, віднімання, множення та ділення обох сторін рівняння працювали для вирішення майже всіх рівнянь до цих пір. За допомогою логарифмів у вас є більше інструментів для ізоляції змінної. Розглянемо наступне рівняння і запитайте себе: чому x = 3? Логічно має сенс, що якщо основи збігаються, то показники також повинні збігатися, але як це можна показати для таких прикладів?

1 79898 ^2х = 1,79898 ⁶

Розв'язування експоненціальних рівнянь

Загальною методикою розв'язання рівнянь з невідомими змінними в показниках є взяття журналу потрібної основи обох сторін рівняння. Потім ви можете використовувати властивості колод, щоб спростити і вирішити рівняння.

Візьміть наступне рівняння. Щоб вирішити для t, слід спочатку максимально спростити вираз, а потім взяти натуральне колоду обох сторін.

\ (\\ почати {вирівняний}
9,000&= 300\ cdot\ розрив {(1.06) ^ {t} -1} {0.06} &\
30 &=\ розрив {(1.06) ^ {t} -1} {0.06}\\
1.8 & =( 1.06) ^ {t} -1\\
2.8 &=1.06^ {t}\\\
ln 2.8 &=\ ln ліворуч (1.06^ {t}\ праворуч) = т\ cdot\ ln (1.06)\\
t &=\ frac {\ ln 2.8} {\ ln 1.06}\ приблизно 17.67\ текст {роки}
\ кінець {вирівняний}\)

Не має значення, яку базу ви використовуєте в цій ситуації, якщо ви використовуєте одну і ту ж основу з обох сторін. Вибір натурального колоди дозволяє скористатися калькулятором для обробки завдання.

Зверніть увагу, що цей тип рівняння поширений у фінансовій математиці. Вище рівняння являє собою невідому кількість часу, який знадобиться вам, щоб заощадити $9,000 на ощадному рахунку, якщо ви заощадите $300 наприкінці кожного року на рахунку, який заробляє 6% річних складних відсотків.

Інша хороша база для використання - це база 10. При вирішенні наступного рівняння для x: 16 ^x =25, вам потрібно буде скористатися калькулятором, щоб отримати остаточну відповідь, і ваш калькулятор може обробляти базу 10, а також. Спочатку візьміть колоду з обох сторін. Потім скористайтеся властивостями журналу та калькулятором, щоб допомогти.

\ (\\ почати {вирівняний}
16^ {x} &=25\
\ журнал 16^ {x} &=\ журнал 25\
x\ журнал 16 &=\ журнал 25\\
x &=\ frac {\ журнал 25} {\ журнал 16}\
x &=1.16
\ кінець {вирівняний}\)

Приклади

Приклад 1

Раніше вас запитали, як показати, що якщо основи збігаються в рівнянні, показники повинні збігатися. У рівнянні журнали можуть бути використані для зменшення рівняння до 2x=6.

Рішення

1 79898 ^2х = 1,79898 ⁶

Візьміть колоду обох сторін і використовуйте властивість зведення в ступінь колод, щоб вивести експоненту спереду.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал 1.79898^ {2 x} &=\ журнал 1.79898^ {6}\
2 x\ cdot\ журнал 1.79898 &= 6\ cdot\ журнал 1.79898\\
2 x &= 6\\
x &= 3
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 2

Розв'яжіть наступне рівняння для всіх можливих значень x: (x+1) ^x−4 −1=0

Рішення

(x+1) ^x−4 −1=0

(х+1) ^х−4 =1

Випадок 1 полягає в тому, що x+1 позитивний, в цьому випадку ви можете взяти колоду обох сторін.

\ (\\ begin {масив} {c}
\ журнал (x+1) ^ {(x-4)} =\ журнал 1\\
(x-4)\ cdot\ журнал (x+1) =0\
x-4=0\ текст {або}\ журнал (x+1) =0\\
x = 4\ текст {або} (x+1) =10^ {0} =1\
\ quad x=4,0
\ end {масив}\)

Зауважте, що log1=0

Випадок 2 полягає в тому, що (x+1) є негативним 1 і підвищується до рівної потужності. Це відбувається, коли x=−2.

\ (\\ почати {вирівняний}
(x+1) ^ {(x-4)} &=1\\
(-2+1) ^ {(-2-4)} -1 & =( -1) ^ {-6} -1\
&=\ розрив {1} {(-1) ^ {6}} -1\\
&=0
\ кінець {вирівняний}\)

Причина, чому ця вправа включена, полягає в тому, що ви не повинні впадати в звичку припускати, що ви можете взяти журнал обох сторін рівняння. Він дійсний лише тоді, коли аргумент суворо позитивний. Наприклад, log (−2+1) ⁽⁻²⁻⁴⁾ =log (−1) неможливий.

Приклад 3

Інтенсивність світла, виміряна в люменах, може бути описана співвідношенням між i для інтенсивності та d для глибини в футах, коли вона рухається на певній глибині води в басейні. Яка інтенсивність світла на 10 футів?

Рішення

$\ \log \left(\frac{i}{12}\right)=-0.0145 \cdot d$

Д=10, розв'яжіть для i вимірюється в люменах.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ журнал\ ліворуч (\ frac {i} {12}\ праворуч) &=-0.0145\ cdot d\\
\ журнал\ ліворуч (\ frac {i} {12}\ праворуч) &=-0.0145\\ cdot 10\
\\ журнал\ ліворуч (\ frac {i} {12}\ праворуч) &=-0.145\
\ ліворуч (\\ frac {я} {12}\ праворуч) &=10^ {-0.145}\
i &=12\ точка 10^ {-0.145}\ приблизно 8.594
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 4

Розв'яжіть наступне рівняння для всіх можливих значень x.

$\ \frac{e^{x}-e^{-x}}{3}=14$

Рішення

Спочатку вирішуйте для е ^х,

\ (\\ почати {вирівняний}
\ розрив {e^ {x} -e^ {-x}}} {3} &=14\
e^ {x}\ ліворуч (e^ {x} -e^ {-x}\ праворуч) & =( 42) e^ {x}\
e^ {2 x} -1 &= 42 e^ {x}\
\ ліворуч (e^ {x}\ праворуч) ^ {2} -42 e^ {x} -1 &=0
\ кінець {вирівняний}\)

Нехай u=e ^х.

\ (\\ почати {масив} {l}
u^ {2} -42 u-1 = 0\\
u=\ frac {- (-42)\ пм\ sqrt {(-42) ^ {2} -4\ cdot 1}} {2\ cdot 1} =\ frac {42\ pm\ sqrt {1768}} {2}\ приблизно 42.0237991 6, -0.0237960
\ кінець {масив}\)

Зверніть увагу, що негативний результат є стороннім, оскільки ex повинен бути більше нуля, тому ви продовжуєте вирішувати лише для x для одного результату.

\ (\\ почати {вирівняний}
e^ {x} &\ приблизно 42.023796\\
x &\ приблизно\ ln 42.023796\ приблизно 3.738
\ кінець {вирівняний}\)

Приклад 5

Розв'яжіть наступне рівняння для всіх можливих значень x: (log ₂ x) ² −log2x ⁷ =−12.

Рішення

У обчисленні зазвичай використовується невелика заміна, щоб спростити проблему, а потім замінити назад пізніше. У цьому випадку давайте u=log ₂ x. Зверніть увагу, що це квадратична задача.

\ (\\ почати {вирівняний}
\ лівий (\ лог _ {2} х\ праворуч) ^ {2} -7\ лог _ {2} x+12 &=0\
u^ {2} -7 u+12 &=0\\
(u-3) (u-4) &=0\\
u &=3,4
\ кінець {вирівняний}\)

Тепер підставляємо назад і вирішуємо для x у кожному випадку.

\ (\\ begin {масив} {l}
\ log _ {2} x = 3\ стрілка влівоправоруч 2^ {3} =x = 8
\\ log _ {2} x = 4\ ліворуч 2^ {4} =x = 16
\ end {масив}\)

Рецензія

Розв'яжіть кожне рівняння для x. Округляйте кожну відповідь до трьох десяткових знаків.

1. 4 ^х = 6

2. 5 ^х = 2

3. 12 ^4х = 1020

4. 7 ^3х = 2400

5. 2 ^х+1 −5=22

6. 5х+12 ^х = 5х+7

7. 2 ^х+1 =2 ^2х+3

8. 3 ^х+3 =9 ^х+1

9. 2 ^х+4 = 5 ^х

10. 13⋅8 ^{0,2 х} = 546

11. б ^х = с+а

12. 32 ^х = 0,94−.12

Вирішіть кожне рівняння журналу, використовуючи властивості журналу та переписуючи як експоненціальне рівняння.

13. Журнал ₃ х+журнал ₃ 5=2

14. 2 журналу = журнал8+лог5−журнал 10

15. журнал ₉ х=$\ \frac{3}{2}$

Огляд (Відповіді)

Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 3.6.