1.6.1: Склад функцій
- Page ID
- 55267
склад функцій
Якщо f (х) = х + 2, а g (х) = 2х + 4, що таке f (g (x))?
Функцію можна осмислити як «чорну скриньку». Вхідне, або значення x поміщається в поле, і коробка виконує певний набір операцій над ним. Після завершення операцій буде отримано вивід (значення "f (x)" або "y"). Після отримання виводу вікно буде готово до роботи над наступним входом.
Використовуючи цю ідею, функціональну композицію можна розглядати як коробку всередині коробки. Вхідне значення x переходить у внутрішню коробку, а потім вихід внутрішньої коробки використовується як вхід зовнішньої коробки.
склад функцій
Функції часто описуються термінами «вхід» і «вихід». Для прикладу розглянемо функцію f (x) = 2x + 3. Коли ми вводимо значення x, ми виводимо значення y, або значення функції. Знаходимо вихід, взявши вхід x, помноживши на 2, і додаючи 3. Ми можемо зробити це для будь-якого значення x. тепер розглянемо другу функцію g (x) = 5x. Для цієї функції також ми можемо взяти значення x, ввести x у g (x) та отримати вихід. Що станеться, якщо взяти вихід g і використовувати його як вхід f?
Приклади
Рішення
Раніше вам давали задачу про пошук складеної функції.
Якщо f (х) = х + 2, а g (х) = 2х + 4, що таке f (g (x))?
ф (г (х)) = ф (2х + 4) = (2х+ 4) + 2 = 2х+ 6
З огляду на визначення функції вище, g (x) = 5x. Тому якщо х = 4, то у нас g (4) = 5 (4) = 20. Що станеться, якщо ми потім візьмемо вихід 20 і використовувати його як вхід f?
Рішення
Підставляючи 20 в для х в f (х) = 2х + 3 дає: f (20) = 2 (20) + 3 = 43.
У таблиці нижче наведено кілька прикладів цього самого процесу:
х | Вихід з g | Вихід з f |
---|---|---|
2 | 10 | 23 |
3 | 15 | 33 |
4 | 20 | 43 |
5 | 25 | 53 |
Вивчаючи значення в таблиці, ми можемо побачити закономірність: всі кінцеві вихідні значення з f в 3 більше ніж в 10 разів перевищують початковий вхід. Ми створили нову функцію з назвою h (x) з f (x) = 2x + 3, в якій g (x) = 5x є входом:
ч (х) = ф (5х) = 2 (5х) + 3 = 10х+ 3
Коли ми вводимо одну функцію в іншу, ми називаємо це складом двох функцій. Формально запишемо складену функцію як f (g (x)) = 10x + 3 або запишемо її як (f o g) x = 10x + 3
Знайти f (g (x)) і g (f (x)):
- ф (х) = 3х+ 1 і г (х) = х 2
- ф (х) = 2х+ 4 і г (х) = (1/2) х - 2
Рішення
- ф (г (х)) = ф (х 2) = 3 (х 2) + 1 = 3х 2 + 1
г (ф (х)) = г (3х+ 1) = (3х+ 1) 2 = 9х 2 + 6х+ 1
В обох випадках результуюча функція квадратична.
- f (г (х)) = 2 ((1/2) х - 2) + 4 = (2/2) х - 4 + 4 = (2/2) х = х
г (ф (х)) = г (2х + 4) = (1/2) (2х+ 4) - 2 = х+ 2 - 2 = х.
У цьому випадку композити були рівні один одному, і вони обидва дорівнюють x, початковий вхід у функцію. Це означає, що між цими двома функціями існує особлива залежність. Ми розглянемо ці відносини в главі 3. Однак важливо зазначити, що f (g (x) не обов'язково дорівнює g (f (x)).
Розкласти функцію f (x) = (3x - 1) 2 - 5 на квадратичну функцію g (x) і лінійну функцію h (x).
Рішення
Коли ми складаємо функції, ми об'єднуємо дві (або більше) функції шляхом введення виведення однієї функції в іншу. Ми також можемо розкласти функцію. Розглянемо функцію f (x) = (2x + 1) 2. Ми можемо розкласти цю функцію на функцію «всередині» та «зовні». Наприклад, ми можемо побудувати f (x) = (2x+ 1) 2 з лінійною функцією та квадратичною функцією. Якщо g (х) = х 2 і h (х) = (2х + 1), то f (х) = g (h (x)). Лінійна функція h (x) = (2x + 1) є внутрішньою функцією, а квадратична функція g (x) = x 2 - зовнішня функція.
Нехай h (х) = 3х - 1 і г (х) = х 2 - 5. Тоді f (х) = г (h (х)), тому що g (h (х)) = g (3х - 1) = (3х - 1) 2 - 5.
Розкладання функції не обов'язково є унікальним. Наприклад, є багато способів, які ми могли б висловити лінійну функцію як склад інших лінійних функцій.
Дано:
f (x) = 5х+3
г (х) = 3х 2
Знайти: f (g (4)
Рішення
Щоб знайти f (g (4)), нам потрібно знати, що таке g (4), тому ми знаємо, що підставити в f (x):
Замініть 4 на x для функції g (x), даючи: 3⋅4 2
Спрощення: 3⋅16=48
⋅ г (4) =48
Заставте 48 для x у функції f (x), що дає: 5 (48) +3
Спрощення: 240+3=243
⋅ ф (г (4) = 243
Дано:
ч (п) =7н+1+4 (г (п))
g (t) =−t
f (x) = −2x+г (х)
Знайти: f (h (−5)
Рішення
Спочатку розберемо значення внутрішньої функції h (−5). Тоді ми будемо знати, що підключити до зовнішньої функції.
ч (−5) = (7) (−5) +1+4 (г (−5))
Щоб розв'язати значення h, нам потрібно розв'язати g (−5)
g (−5) =− (−5)
⋅ г (−5) =5
Тепер ми маємо: h (−5) = (7) (−5) +1+ (4) (5)
Спростити отримання: h (−5) =−14
Тепер ми знаємо, що h (−5) =−14. Це говорить нам, що f (h (−5)) дорівнює f (−14)
Знайти f (−14) = (−2) (−14) +g (−14)
Отже, щоб розв'язати значення f (−14), нам потрібно розв'язати значення g (−14)
g (−14) =− (−14)
⋅ г (−14) =14
Тепер ми можемо закінчити!
f (−14) = (−2) (−14) +14
⋅ f (−14) =42
Рецензія
Для проблем 1-4:
f (x) = 2х−1 г (х) = 3х в (х) = х 2 +1
- Знайти: f (g (−3)
- Знайти: f (h (7)
- Знайти: h (g (−4))
- Знайти: f (g (h (2))
Оцініть кожну композицію нижче:
- Дано:\(\ f(x)=-5 x+2 \text { and } g(x)=\frac{1}{2} x+4 . \text { Find } f(g(12))\).
- Дано:\(\ g(x)=-3 x+6 \text { and } h(x)=9 x+3 . \text { Find } g\left(h\left(\frac{1}{3}\right)\right)\).
- Дано:\(\ f(x)=-\frac{1}{5} x+4 \text { and } g(x)=4 x^{2} . \text { Find } f(g(10))\).
- Дано:\(\ g(x)=3|x-4|+6 \text { and } h(x)=-x^{3} . \text { Find } h(g(4))\).
- Дано:\(\ f(x)=\sqrt{x+2} \text { and } g(x)=|2 x| \text { . Find } g(f(-7))\).
- Дано:\(\ f(x)=-3 x+2 \text { and given } g(x)=2 x^{2} \text { and given } h(x)=4|7-x|+6 \text { . Find }f(g(h(1)))\).
- Дано:\(\ f(x)=(-3) \text { and given } g(x)=\sqrt{2 x} \text { and given } h(x)=|4 x|-12 . \text { Find } f(h(g(18)))\).
- Чи комутативні композиції? Іншими словами, робить\(\ f(g(x))=g(f(x))\)?
- Дано:\(\ f(x)=-2^{2}-5 x \text { and } h(x)=3 x+2 . \text { Find } f(h(x))\).
- Дві функції обертаються один від одного\(\ f(g(x))=x \text { and } g(f(x))=x \text { If } f(x)=x+3\), якщо знайти його зворотний:\(\ g(x)\)
- Виробник іграшок має новий продукт для продажу. Кількість одиниць, які будуть продані\(\ n\), є функцією ціни р така, що:\(\ n(p)=30-25 p\). Виручка r зароблена від продажів - це функція кількості проданих одиниць n таких, що:\(\ r(n)=1000-\frac{1}{4} x^{2}\). Знайти функцію по виручці в розрізі ціни,\(\ p\).
Огляд (Відповіді)
Щоб переглянути відповіді на огляд, відкрийте цей PDF-файл і знайдіть розділ 1.16.
Лексика
Термін | Визначення |
---|---|
композитна функція | Складена функція - це функція h (x), утворена шляхом використання виводу однієї функції g (x) в якості входу іншої функції f (x). Складені функції записуються у вигляді h (x) =f (g (x)) або h=fg. |
домен | Область функції - це множина x-значень, для яких визначена функція. |
Функція | Функція - це відношення, де для кожного входу є лише один вихід. Іншими словами, для кожного значення x існує лише одне значення для y. |
Функціональний склад | Композиція функцій включає «вкладені функції» або функції всередині функцій. Функціональний склад - це застосування однієї функції до результату іншої функції. |
введення | Вхідні дані функції - це значення, на якому виконується функція (зазвичай значення x). |
Вихід | Виходом функції є результат операцій, виконаних над незалежною змінною (зазвичай x). Вихідні значення зазвичай є значеннями y або f (x). |
Діапазон | Діапазон функції - це набір значень y, для яких визначена функція. |