3.5: Ймовірність

Як ми бачили, сильним індуктивним аргументом є той, в якому істинність приміщень робить висновок дуже ймовірним. Різниця між сильними індуктивними аргументами та вагомими (дедуктивними) аргументами полягає в тому, що, хоча передумови сильних індуктивних аргументів роблять їх висновки вельми ймовірними, передумови вагомих аргументів роблять їх висновки певними. Ми можемо думати про ймовірність як про те, наскільки ймовірно, що щось є (або буде) правдою, враховуючи певний обсяг доказів. Використовуючи числа від 0 до 1, ми можемо висловити ймовірності чисельно. Наприклад, якщо у мене є повна колода карт і вибираю одну навмання, яка ймовірність того, що карта, яку я вибираю, є королевою? Так як в колоді 52 карти, і тільки чотири з них - королеви, ймовірність вибору ферзя дорівнює 4/52, або .077. Тобто, у мене є близько 7,7% шансів вибрати королеву навмання. Для порівняння, мої шанси вибрати будь-яку «обличчя» карти були б набагато вище. Є три особи карти в кожній масті і чотири різні масті, а це означає, що є 12 лицьових карт загалом. Так, 12/52 = 2,3 або 23%. У будь-якому випадку, тут важливим є те, що ймовірності можуть бути виражені чисельно. Використовуючи числову схему для представлення ймовірностей, ми приймаємо 0 для представлення неможливої події (наприклад, протиріччя) і 1 для представлення певної події (наприклад, тавтології).

Ймовірність важливо розуміти, оскільки вона є основою для формальних методів оцінки індуктивних аргументів. Хоча не існує універсально узгодженого методу оцінки індуктивних аргументів у тому, як це відбувається з дедуктивними аргументами, є деякі основні закони ймовірності, про які важливо пам'ятати. Як ми побачимо в наступних кількох розділах, хоча ці закони ймовірності здаються простими, ми постійно їх неправильно застосовуємо.

Ми можемо думати про правила ймовірності з точки зору деяких функціональних операторів істинності, введені в главі 2: ймовірність сполучників, ймовірність заперечень і ймовірність диз'юнкцій. Імовірність виникнення сполучників - це ймовірність того, що два, незалежні події відбуватимуться обидва. Наприклад, яка ймовірність того, що ви випадковим чином намалюєте ферзя, а потім (після повернення її в стопку і перестановки колоди) малюєте іншу ферзя? Оскільки ми запитуємо, яка ймовірність того, що ці дві події відбуваються обидва, це питання обчислення ймовірності виникнення суглоба. Далі «a» і «b» будуть посилатися на незалежні події, а локація «P (a)» означає «ймовірність a». Ось як ми розраховуємо ймовірність сполучників:

Р (а і б) = Р (а) × П (б)

Отже, щоб застосувати це до мого прикладу малювання двох ферзів, ми повинні помножити ймовірність намалювання однієї ферзя, «P (a)» на ймовірність намалювати ще одну ферзь, «P (b)». Оскільки ми вже розрахували ймовірність намалювання ферзя на 0,077, математика досить проста:

0,77 × 0,77 = 0,059

Тобто, існує менше 1% шансів (.59%, якщо бути точним) намалювати двох ферзів у цьому сценарії. Отже, очевидно, ви не було б розумним робити ставку на те, що відбувається! Спробуємо інший приклад, де ми повинні обчислити ймовірність кон'юнкції. Припустимо, я хочу знати, яка ймовірність того, що і мій батько, і мама помруть від раку мозку. (Страшне, я знаю.) Мені довелося б знати ймовірність смерті від раку мозку, яка становить близько 5/100 000. Тобто 5 з кожних 100 000 чоловік помирають від раку мозку. Це дуже маленьке число: .00005. Але шансів на смерть обох від раку мозку буде ще меншою кількістю:

.00005 × 0,005 = .0000000025

Це майже 1 з мільярда шансів. Так що не дуже ймовірно. Розглянемо остаточний приклад з більш керованими числами. Припустимо, я хотів знати ймовірність прокатки 12 при прокатці двох, шестигранних кубиків. Оскільки єдиний спосіб прокатки на 12, коли я прокату 6 на кожній матриці, я можу обчислити ймовірність прокатки а 6, а потім незалежна ймовірність прокатки ще 6 на іншому штампі. Імовірність прокатки шістки на 1 матриці становить всього 1/6 = .166. Таким чином, .166 × .166 = .028 Таким чином, у вас є 2.8% шанс прокатки 12. Ми могли б також обчислити це, використовуючи дроби замість десяткових знаків:

1/6 × 1/6 = 1/36

Обчислення ймовірності заперечень - це просто питання віднімання ймовірності того, що якась подія, скажімо подія а, відбудеться з 1. Результатом є ймовірність того, що подія а не відбудеться:

Р (не-а) = 1 — П (а)

Наприклад, припустимо, що я граю монополію, я хотів визначити ймовірність того, що я не кидаю 12 (оскільки якщо я кидаю 12, я приземлюся на Boardwalk, який мій опонент володіє готелями). Оскільки ми вже визначили, що ймовірність прокатки 12 дорівнює 0,028, то можна обчислити ймовірність не прокатки 12 таким чином:

1 — 0.28 = .972

Таким чином, у мене є 97.2% шанс не прокатати 12. Тому дуже ймовірно, що я не буду (слава богу).

Ось ще один приклад. Які шанси, що моя дочка не потрапить до Гарварду? Оскільки коефіцієнт прийняття в Гарварді становить близько 6% (або .06), я просто віднімаю це з 1, який дає .94, або 94%. Тож моя дочка має 94% шансів не потрапити в Гарвард.

Ми повинні зробити паузу тут, щоб зробити деякі коментарі щодо ймовірності. Імовірність виникнення події відносно деякого еталонного класу. Так, наприклад, ймовірність захворіти на остеопороз набагато вище, якщо ви жінка старше 50 років (16%), ніж якщо ви чоловік старше 50 (4%). Тож якщо ви хочете отримати точні дані щодо ймовірності, ви повинні враховувати всі відповідні фактори. У випадку остеопорозу це означає знати, чи є ви жінкою чи чоловіком і старше 50 років. Такий же момент стосується і мого прикладу потрапляння в Гарвард. Ось анекдот, який проілюструє суть. Кілька років тому я погодився бути частиною процесу співбесіди кандидатів на «президентську стипендію» в коледжі, в якому я викладав в той час. Опитувані були учнями старших класів, і ми могли б підрахувати ймовірність того, що хтось із них виграє стипендію, просто зазначивши кількість доступних стипендій та кількість претендентів на них. Але після співбесіди з кандидатами, яких мені дали на співбесіду, мені було дуже зрозуміло, що один з них легко затьмарив усіх інших. Таким чином, враховуючи нову інформацію, яку я мав, було б нерозумно для мене призначити таку ж, загальну ймовірність цього студента, який виграв нагороду. Цей студент був надзвичайно добре розмовний, добре зібраний, і відповідав навіть на мої найважчі запитання (з якими боролися інші кандидати) з легкістю та впевненістю, що мене приголомшило. Крім усього цього, вона була латиноамериканською жінкою, яка, як я знав, допоможе їй лише в цьому процесі (оскільки коледжі цінують різноманітність у своєму студентському населенні). Я рекомендував її високо для стипендії, але я також знав, що вона опиниться в набагато кращому закладі (і, ймовірно, з однією з найбільш конкурентоспроможних стипендій). Через деякий час мені було цікаво, де вона в кінцевому підсумку йде до коледжу, тому я зробив швидкий пошук по її імені, і, звичайно, вона була першокурсницею в Гарварді. Мене не здивуєш. Суть історії полягає в тому, що хоча ми могли б сказати, що шанси цієї жінки не потрапити в Гарвард становлять близько 94%, це нехтувало б усіма іншими речами про неї, що насправді різко збільшить її шанси потрапити в Гарвард (і, таким чином, різко зменшить її шанси не потрапити). Тож наші оцінки ймовірності настільки ж хороші, як і інформація, яку ми використовуємо для їх оцінки. Якби ми були всезнаючими (тобто всезнаючими), то, можливо, ми могли б знати кожну деталь і змогли б передбачити зі 100% точністю будь-яку подію. Оскільки ми цього не робимо, ми повинні покладатися на найкращу інформацію, яку ми маємо, і використовувати цю інформацію, щоб визначити ймовірність того, що подія відбудеться.

Розрахунок ймовірності диз'юнкцій - це просто питання з'ясування ймовірності того, що відбудеться або та чи інша подія. Для обчислення ймовірності диз'юнкції просто додаємо ймовірність двох подій разом:

Р (а або б) = Р (а) + П (б)

Наприклад, припустимо, я хотів обчислити ймовірність малювання випадковим чином з перетасованої колоди або лопати, або клубу. Оскільки існує чотири масті (піки, трефи, діаманти, серця) кожна з рівною кількістю карт, ймовірність намалювати лопату становить 1⁄4 або 0,25. Аналогічно ймовірність малювання клубу становить .25. Таким чином, ймовірність розіграшу або лопати, або клуба становить:

2.5+2.5 = 5.0

Таким чином, у вас є 50% шанс намалювати або лопату або клуб. Іноді події не є самостійними. Наприклад, припустимо, ви хотіли дізнатися ймовірність витягування 5 клубів з колоди (що в покері називається «флеш»). Цього разу ви тримаєтеся за карти після того, як ви їх витягуєте, а не замінюєте їх назад в колоду. Імовірність малювання першого клубу становить просто 13/52 (або 1⁄4). Однак на кожне з решти чотирьох розіграшів вплине попередні розіграші. Якби успішно розігрувати всі клуби, то після першого розіграшу залишилося б лише 51 карта, 12 з яких були клубами; після другого розіграшу залишилося б лише 50 карт, 11 з яких були трефи, і так далі, ось так:

13/52 × 12/51 × 11/50 × 10/49 × 9/48 = 33/66 640

Як бачите, ми повинні були визначити ймовірність кон'юнкції, так як ми хочемо, щоб карта 1 і карта 2 і карта 3 і т.д. всі були клубами. Тобто сукупність різних подій. Як ви також можете бачити, ймовірність намалювати таку руку вкрай низька - близько 0,0005 або 0,05%. Флеш - це дійсно рідкісна рука. Але припустимо, ми хотіли знати, не шанси намалювати флеш в конкретному костюмі, а просто шанси намалювати флеш в будь-якому костюмі. У такому випадку нам доведеться обчислити ймовірність диз'юнкції малювання або флеш в клубах або флеш в піках або флеш в діамантах або флеш в серцях. Нагадаємо, що для обчислення диз'юнкції ми повинні скласти разом ймовірності:

.0005 + 0.05 + 0.05 = 0.02

Таким чином, ймовірність нанесення флеш в будь-якому костюмі все ще становить лише близько .2% або п'ятої частини одного відсотка - тобто дуже низька.

Розглянемо інший приклад, перш ніж закрити цей розділ щодо ймовірності. Припустимо, ми хочемо знати шанси перевернути принаймні 1 голову в 6 сальто справедливої монети. Ви можете міркувати наступним чином: Є шанс 50% я перевертаю голови на першому сальто, 50% шанс на другий і т.д. так як я хочу знати шанс перевернути хоча б одну голову, то, можливо, я повинен просто обчислити ймовірність диз'юнкції так:

.5 + .5 + .5 + .5 + .5 = 3 (або 300%)

Однак це не може бути правильним, оскільки ймовірність будь-якої події знаходиться в межах від 1 до 0 (включаючи 0 і 1 для подій, які неможливі і абсолютно певні). Однак такий спосіб обчислення ймовірності залишає нам подію, яка в три рази більше певного. І нічого більше, ніж 100% cerfeerate— 100% впевненість є межею. Так що щось не так з розрахунком. Інший спосіб побачити, що щось має бути не так з розрахунком, полягає в тому, що це не неможливо, щоб я перевернув 6 хвостів поспіль (і, таким чином, немає голів). Оскільки це реальна можливість (як би неймовірна), вона не може бути на 100% впевнена, що я перевертаю хоча б одну голову. Ось спосіб задуматися над цією проблемою. Яка ймовірність того, що я переверну всі хвости? Тобто просто ймовірність з'єднання 6 подій, кожна з яких має ймовірність 0,5 (або 50%):

0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,15 (або 1,5%)

Тоді ми просто використовуємо правило для обчислення ймовірності заперечення, так як хочемо знати шанси, що ми не перевернемо 6 хвостів поспіль (тобто перевертаємо хоча б одну голову):

1 — 0.15 = .985

Так що ймовірність перевернути хоча б одну голову в 6 сальто монети становить 98,5%. (Була б точно така ж ймовірність перевернути хоча б один хвост в 6 сальто.)

Вправа

Використовуйте три різні правила обчислення ймовірностей (сполучники, заперечення, диз'юнкції), щоб обчислити наступні ймовірності, які всі пов'язані з справедливими, шестигранними гральними кістками.

1. Яка ймовірність прокатки п'ятірки на один кидок одного вмирає?
2. Яка ймовірність не прокатати п'ятірку на один кидок одного кубика?
3. Яка ймовірність прокатки п'ятірки на першому кидку і ще п'ять на другому кидку цієї смерті?
4. Якщо ви кидаєте дві кістки за один раз, які шанси, що обидві кістки придумають двійки?
5. Якщо ви кидаєте дві кістки за один раз, які шанси, що один або інший (або обидва) кістки вийде два?
6. Якщо ви кидаєте дві кістки відразу, які шанси, що максимум один з кубиків прийде два?
7. Якщо ви кидаєте дві кістки відразу, які шанси, що хоча б один з кубиків вийде четвірка?
8. Якщо кинути відразу дві кістки, які шанси, що карачки не буде?
9. Якщо ви кидаєте дві кістки відразу, які шанси прокатити подвійні п'ятірки?
10. Якщо ви кидаєте відразу дві кістки, які шанси прокату дублів (будь-якого числа)?