10.2: Часова вартість грошей та відсотків

Last updated
Save as PDF

Page ID: 17112

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Ключові умови:

Майбутнє значення

Для кожного з наступних питань припустимо, що у вас є 1 долар і що відсотки по ньому будуть виплачені в повному обсязі, наприкінці заявленого періоду. Які майбутні значення (FV) з урахуванням кожного з наступних питань? Іншими словами, скільки грошей у вас буде у відповідні майбутні моменти часу? (Якщо у вас було більше $1, відповіді були б відповідним кратним.)

Нинішня вартість

Коли ми проходимо через питання та розрахунки, спостерігайте, як змінюються результати або рішення. Спробуйте пояснити причини відмінностей в результатах. Крім того, зауважте, що, здавалося б, невеликі відмінності в результатах насправді не такі тривіальні, як може здатися на перший погляд. Ми ілюструємо майбутні цінності, у кожному питанні, лише одного долара грошей, які ми маємо зараз - P resent Value. Припустимо, ми замість цього мали справу з мільйонами доларів?

Проходячи кожне питання, ми методично і копітко створимо загальну символічну формулу, яка може бути використана для будь-якої подібної проблеми. Вставте відповідні значення в формули для чисельного розв'язання задач. (Рішення слідують.)

1. Ви будете заробляти 5% відсотків, виплачуваних один раз на рік, в КІНЦІ року, протягом одного року.

Тепер у вас є $1 теперішньої вартості (PV). Через рік ви отримаєте свій «основний» $1 назад плюс відсотки за річною ставкою прибутку (R) 5%. Таким чином, загальна формула майбутнього значення (FV) буде такою:

ФВ = ПВ (1 + R)

Вставте відповідні дані в формулу, щоб вирішити для майбутнього значення.

Коли ми проходимо цей аналіз, вам потрібно буде вивчити і запам'ятати символи або абревіатури.

2. Те саме, що питання #1, але R = 10%.

Тут ми будемо використовувати ту саму формулу, що і вище, але ви вставите іншу ставку для R. Що таке майбутнє значення? Чому результат відрізняється?

3. Те саме, що питання #2, тобто R = 10%, але протягом двох років (n років), а не тільки один.

Тепер у нас буде два роки складних відсотків; n = 2. Тому застосовуємо формулу ФВ, трохи змінену, вдруге:

ФВ = ПВ (1 + Р) (1 + Р)

ФВ = ПВ (1 + Р) ^п

Тут експонента, «n», позначає кількість років, в яких гроші з'єднуються. Ще раз, якщо в цьому випадку n = 2. Що таке майбутня цінність? Чому результат відрізняється від попереднього питання?

4. 10% відсотків, двічі на рік, протягом одного року.

Відсотки завжди вказуються як річна ставка, якщо явно не зазначено інше.

Наша річна ставка все одно 10%, але ми отримаємо половину o f її, тобто R ÷ p = 0,10 ÷ 2 = 0,05, в кінці кожного півріччя. Буква «р» позначає кількість періодів складання на рік; тут p = 2.

ФВ = ПВ (1 + Р /р) (1 + Р /р)

Зверніть увагу, що, хоча n = 2, зараз існує два періоди складання на рік, тому показник повинен відображати це. Отже, наш показник тепер: «n × p».

Всякий раз, коли p ≠ 1, ми повинні внести два корективи до формули: «R/p» в частині швидкості формули та «n × p» у показнику. Хоча теоретично P може приймати будь-яке ціле значення, воно фактично буде дорівнює 1, 2, 4, 12 або 365 для щорічного, піврічного, квартального, щомісячного або щоденного відповідно. (У цьому прикладі n = 1; коли p = 1, ми, як правило, залишаємо його поза, оскільки сила одного неявна.) Наша загальна формула тепер стає:

ФВ = ПВ (1 + Р/р ) п ^{× р}

Наша формула майбутнього значення тепер завершена. Яку майбутню цінність ви отримуєте? Чому результат відрізняється, ніж у питанні #2?

Фактор

множник

Експоненціальний

Складання

Зауважимо, що при вирішенні для майбутнього значення ми множимо теперішнє значення на «множник» (1 + r/p) n × p Коефіцієнт - це просто множник. Цей мультиплікативний і експоненціальний процес називають складанням.

5. Те саме, що питання #4, але протягом двох років.

Ми можемо використовувати формулу в попередньому питанні. Пам'ятайте, «р» зустрічається двічі в нашій формулі. Тут n = 2, а р = 2. Яка ваша майбутня цінність? Чому результат відрізняється від питання #3?

6. Що відбувається з майбутніми значеннями у міру збільшення процентних ставок («R»), кількості років («n») та частоти складання («p»)? У відповідь на це питання ми представляємо, підсумовуючи, «Три заповіді» Часової вартості грошей.

Три заповіді ТВМ

Звичайно, t протилежне відбудеться, якщо R, N, і/або P знижуються. Нижче ми пояснюємо теперішні цінності .

7. Для кожного з вищезазначених питань, якою буде поточна вартість $1, яка буде отримана наприкінці заявлених періодів? Тут ми повторно використаємо нашу формулу майбутнього значення, але транспонуємо числа FV та PV, щоб ми могли вирішити для PV, а не для FV.

П V = Ф V ÷ (1 + Р/р ) п ^{× р}

Дисконтування

Взаємний

Таким чином, при розв'язанні для теперішньої величини ми ділимо Майбутнє значення на (1 + r/p) n × p коефіцієнт. Цей процес поділу називають дисконтуванням.

Замість того, щоб ділити, ми також можемо помножити Майбутнє значення на зворотний дільник.

Р V = Ф В × [1 ÷ (1 + R /р ) п ^× р ]

Визначення : Відповідне - це зворотне число, яке надходить, перевернувши число догори дном! Отже, 1/2 або 0,5 - це зворотна 2. Зворотний 5 дорівнює 1/5 - або 20%. Так, (1 + r/p) ^{n × p} і [1 ÷ (1 + r/p) ^{n × p} ] взаємно один одного.

Використовуючи таблиці процентних ставок (найближчим часом), які відображають готові, вже обчислюють коефіцієнти ted, ви зауважте, що всі значення факторів вказуються як мультиплікатори, включаючи Фактори теперішньої вартості (PVF). Ми будемо використовувати таблиці для того, щоб скоротити кількість розрахунків, які ми повинні зробити, і тим самим зменшити похибки.

8. Чи є реальним питанням запитати, що таке PV? Як це може відбутися насправді?

Звичайно, це так! Ми часто будемо знати майбутні платежі і бажаємо з'ясувати PV s! Наприклад, ви можете захотіти відкласти трохи грошей на перший внесок на будинок в «n » років. Припускаючи, що ви знаєте «дисконтну ставку», скільки ви повинні відкласти сьогодні, щоб фінансувати цю суму? Скільки вам потрібно буде виділити сьогодні, щоб фінансувати навчання в коледжі вашої новонародженої дитини? Облігація виплачує відсотки кожні півроку в відомій сумі. Скільки ви повинні заплатити сьогодні, щоб отримати ці майбутні суми?

Рішення та пояснення :

$1 в питанні називається теперішньою вартістю (PV). Сума грошей, яку ми матимемо в майбутньому, називається Future Value (FV). Пам'ятайте, що ми поки що припускаємо, що виплати відсотків здійснюються наприкінці кожного відповідного періоду платежу.

Інвестиції в знання виплачують найкращі відсотки.

-Бенджамін Франклін