4.2: КРИТЕРІЙ РОУТА
Тест Раута - це математичний метод, який може бути використаний для визначення кількості нулів многочлена з додатними дійсними частинами. Якщо тест застосовується до знаменника многочлена передавальної функції (його також називають характеристичним рівнянням), відсутність будь-яких право-напівплоских нулів характеристичного рівняння гарантує стабільність системи. Однією з обчислювальних переваг тесту Рута є те, що для застосування тесту не потрібно фактор полінома.
Оцінка стабільності
Тест описаний для многочлена форми
P(s)=a0sn+a1sn−1+⋯+an−1s+an
Необхідною, але недостатньою умовою для всіх нулів Рівняння??? мають негативні дійсні частини, є те, що всі присутні і що всі вони мають однаковий знак.a Якщо ця необхідна умова виконується, то з a формується масив чисел наступним чином. (Цей приклад дляn парних. Дляn непарнихan закінчується другий ряд.)
a0a2a4⋅⋅an−2ana1a3a5⋅⋅an−10a1a2−a0a3a1=b1a1a4−a0a5a1=b2⋅⋅⋅a1an−a0⋅0a1=bn/20b1a3−a1b2b1=c1b1a5−a1b3b1=c2⋅⋅⋅00c1b2−b1c2c1=d1⋅⋅⋅⋅00⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅00⋅⋅⋅00
У міру розвитку масиву все більше елементів кожного рядка стають нульовими, поки тільки перший елементn+1 рядка не буде ненульовим. Загальна кількість змін знаків у першому стовпці тоді дорівнює кількості нулів початкового многочлена, які лежать у правій половині площини.
Використання критерію Раута проілюстровано за допомогою полінома
P(s)=s4+9s3+14s2+266s+260
Оскільки всі коефіцієнти дійсні та позитивні, задовольняється необхідна умова,??? щоб усі корені Рівняння мали від'ємні дійсні частини. Масив є
Дві зміни знаків у першому стовпці вказують на два нулі правої півплощини. Цей результат можна перевірити факторингом вихідного полінома, показуючи, що
s4+9s3+14s2+266s+260=(s−1+j5)(s−1−j5)(s+1)(s+10)
Другий приклад наводиться поліномом
P(s)=s4+13s2+58s2+306s+260
Відповідний масив є
15826013306013×58−1×30613=4481313×260−1×013=2600(448/13)×306−13×260448/13=2328711200(23287/112)×260−(448/13)×023287/112=26000
Факторинг перевіряє результат, що для цього многочлена немає нулів правої половини площини, оскільки
s4+13s3+58s2+306s+260=(s+1+j5)(s+1−j5)(s+1)(s+10)
При застосуванні тесту Рута можуть виникнути два види труднощів. Можливо, що перший елемент в одному рядку масиву дорівнює нулю. При цьому вихідний многочлен множиться наs+α, де a - будь-яке додатне дійсне число, і тест повторюється. Ця процедура ілюструється за допомогою полінома
P(s)=s5+s4+10s3+10s2+20s+5
Перший елемент третього рядка масиву дорівнює нулю.
1102011050150
Складність вирішується множенням Рівняння??? наs+1, поступаючись
P′(s)=s6+2s5+11s4+20s3+30s2+25s+5
Масив для Equation??? дорівнює
111305220250117.550−151500−18.550010.950005000
Оскільки множення наs+1 не додало жодних нулів у правій половині площини до рівняння???, ми робимо висновок, що два правої півплощини нулі, позначені масивом Equation,??? повинні міститися у вихідному поліномі.
Друга можливість полягає в тому, що цілий ряд стає нулем. Ця умова вказує на те, що на уявній осі є пара коренів, пара реальних коренів, розташованих симетрично щодо походження, або обидва види пар в початковому многочлені. Терміни в рядку над усім нульовим рядком використовуються як коефіцієнти рівняння в парних ступеняхs званого допоміжного рівняння. Нулями цього рівняння є пари, згадані вище. Допоміжне рівняння можна диференціювати по відношенню доs, а результуючі коефіцієнти використовуються замість рядка з усім нулем для продовження масиву. Цей тип складності ілюструється поліномом
P(s)=s4+11s3+11s2+11s+10=(s+j)(s−j)(s+1)(s+10)
Масив є
111101111010100000
Допоміжне рівняння
Q(s)=10s2+10
Коріння рівняння є двома уявними нулями Рівняння???. Диференціювання рівняння??? та використання ненульового коефіцієнта для заміни першого елемента рядка 4 Рівняння??? дає новий масив.
11110111101010020001000
Відсутність знакових змін у масиві перевіряє, що вихідний поліноміал не має нулів у правій половині площини.
Зауважте, що, хоча в правій половині площини немає полюсів із замкнутим контуром, система з характеристичним рівнянням, заданим??? Рівнянням, нестабільна за нашим визначенням, оскільки має пару полюсів на уявній осі. Вивчення лише лівого стовпця масиву Routh визначає лише кількість нулів правої півплощини перевіреного полінома. Уявно-осьові нулі можна знайти за допомогою маніпуляцій, пов'язаних з допоміжним рівнянням.
![2021-08-08 пл.](https://eng.libretexts.org/@api/deki/files/46672/%25E6%2588%25AA%25E5%25B1%258F2021-08-08_%25E4%25B8%258B%25E5%258D%25887.24.25.png)
Допомога дизайну
Критерій Routh найчастіше використовується для визначення стабільності системи зворотного зв'язку. Однак у певних випадках можна отримати більше кількісної проектної інформації, як показано на наступних прикладах.
Генератор фазового зсуву може бути побудований шляхом застосування достатньої негативної зворотного зв'язку навколо мережі, яка має три або більше полюсів. Якщо підсилювач з частотно-незалежним коефіцієнтом посилення об'єднаний з мережею з трьома збіженими полюсами, то блок-схема для результуючої системи виглядає так, як показано на малюнку 4.2. Значенняa0 необхідних для витримки коливань може бути визначено за допомогою аналізу Рута. (Тест Раута, застосований до цього прикладу, пропонує обчислювальні переваги порівняно з прямим факторингом, використовуваним для подібної передавальної функції у прикладі Розділу 4.1.)
Дослідження стійкості для малюнка 4.2 ускладнюються тим, що
генератор не має входу; таким чином, ми не можемо використовувати полюси функції передачі вхід-вихід для визначення стабільності. Слід зазначити, що стійкість лінійної системи є властивістю самої системи і, таким чином, не залежить від вхідних сигналів, які можуть бути застосовані до неї. Будь-яка нестабільна фізична система продемонструє свою нестабільність без введення, оскільки втеча поведінка буде стимулюватися завжди присутнім шумом. Навіть в чисто математичній лінійній системі стійкість визначається розташуванням полюсів із замкнутим контуром, причому ці місця явно вводяться незалежними.
Аналіз генератора ініціюється нагадуванням про те, що характеристичне рівняння будь-якої системи зворотного зв'язку - це один мінус його петльової передачі. Тому
P(s)=1+a0(τs+1)3
У цьому та інших розрахунках за участю характеристичного рівняння можна очистити дроби, оскільки розташування нулів не змінюються цією операцією. Після очищення дробів і ідентифікації коефіцієнтів масив Routh дорівнює
τ33τ3τ21+a0(8−a0)τ301+a00
Припускаючи, щоτ є додатним, коріння з додатними дійсними частинами зустрічаються дляa0<−1 (один нуль правої половини площини) та дляa0>+8 (два нулі правої півплощини).
Аналіз Лапласа показує, що для генерації синусоїдального коливання з постійною амплітудою потрібна пара полюсів на уявній осі. На практиці складна полюсна пара розташовується трохи праворуч від уявної осі. Потім навмисно введена нелінійність може бути використана для обмеження амплітуди коливання (див. Розділ 6.3.3). Таким чином, практична схема генератора виходить сa0>8.
Частоту коливань зa0=8 можна визначити, вивчивши масив з цим значенням дляa0. При цих умовах третій ряд стає всім нулем. Допоміжне рівняння
Q(s)=3τ2s2+9
і рівняння має нулі приs=±j√3/τ, що вказує на коливання при√3/τ радіанах в секунду дляa0=8.
Як другий приклад типу конструкторської інформації, яку можна отримати за допомогою аналізу Routh, розглянемо операційний підсилювач з функцією передачі розімкнутого контуру
a(s)=a0(s+1)(10−6s+1)(10−7s+1)
Передбачається, що цей підсилювач підключений як неінвертуючий підсилювач з одиничним коефіцієнтом посилення, і ми хочемо визначити діапазон значень ao, для якого всі полюси замкнутого циклу мають реальні частини більш негативні, ніж−2×105sec−1. Ця умова при розташуванні полюса із замкнутим контуром передбачає, що будь-яка імпульсна реакція системи згасне принаймні так само швидко, якKe−2×105t після того, як збуджуючий імпульс повернеться до нуля. Константа залежитьK від умов в той момент, коли вхід стає нулем.
Характерне рівняння для підсилювача є (після скидання незначних членів)
P(s)=10−13s3+1.1×10−6s2+s+1+a0
Для того, щоб визначити діапазон ao, для якого всі нулі цього характеристичного рівняння мають дійсні частини більш від'ємні−2×105sec−1, потрібно лише зробити зміну змінної в Рівнянні??? і застосувати критерій Рута до модифікованого рівняння. Зокрема, застосування тесту Рута до полінома, отриманого заміщенням
λ=s+c
визначить кількість нулів початкового полінома з дійсними частинами більш позитивними−c, ніж, оскільки ця заміна зміщує сингулярності вs площині вправо на величину,c оскільки вони відображені вλ площині. Якщо вказана заміна проводиться зc=2×105sec−1, Рівняння??? стає
P(λ)=10−13λ3+10−6λ2+0.57λ−1.57×105+a0
Масив Routh дорівнює
10−130.5710−6−1.57×105+a00.59−10−7a00−1.57×105+a00
Цей масив показує, що Eqn??? має один нуль з реальною частиною більш позитивноюa0<1.57×105, ніж−2×105sec−1 for, і має два нулі праворуч від ділильної лінії дляa0>5.9×106. Відповідно, всі нулі мають реальні частини більш негативні, ніж−2×105sec−1 тільки для
1.57×105<a0<5.9×106