6.23: Проблеми

1. Розглянемо взаємодію двох атомів вуглецю кожен з одним електроном в прикордонній$2p_{z}$ атомній орбіталі. Припускаючи, що положення атомів фіксовані, гамільтоніан системи складається з оператора кінетичної енергії та двох куломбічних потенційних членів: одного для центрального атома і одного для його сусіда:

$H=T+V_{1}+V_{2}$

Припустимо, що хвильова функція в цій системі двох атомів може бути записана як

$\psi = c_{1}\phi_{1}+c_{2}\phi_{2}$

де$\phi_{1}$ і$\phi_{2}$ є$2p_{z}$ атомними орбіталями на першому і другому атомах вуглецю відповідно і і$c_{1}$ і$c_{2}$ є константами.

Власна енергія визначається як

$\alpha_{r} = \left< \phi_{r}| T+V_{r} |\phi_{r} \right>$

Перехідні взаємодії визначаються як

$\beta_{sr} = \left< \phi_{s}| V_{s} |\phi_{r} \right>$

Раніше ми припускали, що інтеграл перекриття між прикордонними орбіталями на атомних ділянках s і r може бути наближений як

$S_{sr} = \left< \phi_{s}|\phi_{r} \right> = \delta_{sr}$

Не варто робити тут такого припущення і показувати, що електронні енергії системи задовольняють.

$$\det (H - ES) = 0 \nonumber$$

де H - гамільтонова матриця 2 × 2, а S - матриця перекриття 2 × 2, а E - константа.

(а) Запишіть кожну матрицю в Рівняння (6.24.1) з точки зору власних енергій, стрибкових інтегралів та інтегралів перекриття.

(б) За яких умов можна безпечно ігнорувати інтеграли перекриття?

2.

(а) Розглянемо потенціал$V(x) = -V_{0}\delta(x)$, намальований нижче.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Потенціал дельта-функції.

(i) Показати, що хвильова функція задається$\phi_{1}(x) = \sqrt{k}e^{-k|x|}$ де$k = \frac{mV_{0}}{\hbar^{2}}$

(ii) Показати, що енергія зв'язаних станів (E<0) дорівнює$E_{1} = -\frac{mV_{0}^{2}}{2\hbar^{2}}$.

(b) Тепер додайте другий потенціал дельта-функції при x = a.

тобто якщо попередній гамільтоніан був$H_{1} = -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{d^{2}}{dx^{2}}-V_{0}\delta(x)$, новий гамільтоніан - це$H = H_{1}+V$ де$V = -V_{0}\delta(x-a)$

Малюнок$\PageIndex{2}$: Два потенціали дельта-функції.

Нехай хвильова функція нової системи буде наближена$\psi=c_{1}\phi_{1}+c_{2}\phi_{2}$ де$\phi_{2} = \phi_{1}(x-a)$ і$c_{1}$ і$c_{2}$ є константами.

Самостійна енергія є$\alpha = \left< \phi_{1}|H_{1}|\phi_{1} \right>$

Взаємодія стрибків є$\beta = \left< \phi_{2}|V|\phi_{1} \right>$

Крім того, визначають інтеграл перекриття$S = \left< \phi_{1}|\phi_{2} \right>$, і$\gamma = \left< \phi_{1}|V|\phi_{1} \right>$

Оцінюючи вирази

$\left< \phi_{1} |H| \psi \right> = E \left< \phi_{1}|\psi \right>$

і

$\left< \phi_{2} |H| \psi \right> = E \left< \phi_{2}|\psi \right>$

показати, що

\ (\ left (\ begin {масив} {cc}
\ альфа+\ гамма &\ альфа S+\ бета\
\ альфа S+\\ beta &\ alpha+
\ гамма\ кінець {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив} {l}
c_ {1}\
c_ {2}
\ кінець {масив}\ праворуч) = E\ left (\ begin {масив} {c_}
1 & S \\
S & 1
\ end {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {l}
c_ {1}\
c_ {2}
\ end {масив}\ справа)\)

Тепер покажіть, що$\alpha = \frac{-mV_{0}^{2}}{2\hbar},\ \beta = \frac{-mV_{0}^{2}}{\hbar^{2}}e^{-ka},\ S(1+ka)e^{-ka}, \text{ and } \gamma=\frac{-mV_{0}^{2}}{\hbar^{2}}e^{-2ka}$

Відкидаючи терміни$e^{-2ka}$, що містять, показують, що матриця зводиться до$E \approx \alpha \pm \beta$

3. Для молекул, де кожен атом вуглецю вносить принаймні один делокалізований електрон до$\pi$ орбіталі, ми можемо використовувати периметральну орбітальну теорію вільних електронів, яка описана нижче.

Припустимо, що розглянута молекула є круговим кільцем атомів і припускають нескінченний квадратний потенціал ями.

(а) Показати, що енергетичні рівні молекули при цьому наближенні є

$E = \frac{h^{2}m_{l}^{2}}{2m_{e}L^{2}}$

де де$m_{l}$ - ціле число, а L - периметр молекули.

Підказка: Гамільтоніан у полярних координатах задається:

$\hat{H} = \frac{\hbar^{2}}{2m_{e}}\left( \frac{d^{2}}{dr^{2}}+\frac{1}{r}\frac{d}{dr}+\frac{1}{r^{2}}\frac{d^{2}}{d\phi^{2}} \right)$

(b) Відповідно до наближення теорії орбіти вільних електронів периметра, структура енергетичного рівня антрацену показана на малюнку 6.24.3 нижче.

Малюнок$\PageIndex{3}$: Молекулярна та енергетична структура антрацену.

(i) Чому існує рішення для$m_{l} = 0$ в антрацені, але немає рішення для n = 0 в нескінченній квантовій ямі?

(ii) Чому$m_{l}$ в антрацені існують розв'язки для негативу, але немає розв'язків для негативних n в нескінченній квантовій ямі? Підказка: розглянемо принцип виключення Паулі.

(c) Обчисліть молекулярні орбіталі та проміжок HOMO-LUMO антрацену. Візьміть a = 1.38Å як довжину зв'язку C-C. Припустимо, що кожен атом С дарує 1 електрон прикордонним орбіталям.

4. Розглянемо періодичну молекулу, що складається з двох різних змінних типів атомів, проілюстрованих нижче (наведені прикордонні орбіталі).

Малюнок$\PageIndex{4}$: Періодичний масив з двох різних атомів.

(а) Скільки атомів знаходиться в одиничній клітині цієї молекули? Використовуючи періодичні граничні умови і припускаючи молекулярні хвильові функції форми Блоха, знайдіть енергетичні рівні.

(б) Знайти щільність станів.

5. Смугова структура молекулярних кристалів

$\phi({\bf{r}})$Дозволяти бути HOMO типової молекули. Як і в більшості стабільних молекул,$\phi({\bf{r}})$ повністю зайнятий і містить два електрони.

На відміну від звичайних кристалічних напівпровідників, таких як Si, одиничні клітини в молекулярному кристалі утримуються разом слабкими силами ван дер Ваальса. Типовим значенням взаємодії найближчих сусідів у твердому тілі, пов'язаному ван дер Ваальсом, є

$\beta=\left< \phi({\bf{r+R}})|H| \phi({\bf{r}})\right> \approx -10\ meV$

де H - гамільтоніан для взаємодії між найближчими сусідами, а R - сукупність векторів решітки, що з'єднують молекулу при r з найближчими сусідами.

(а) Обчисліть структуру «валентної» зони кубічного молекулярного кристала цієї молекули. Нехай$\left<\phi({\bf{r}})|H| \phi({\bf{r}})\right> = \alpha$. (Див. Рис. 6.24.5 нижче).

Малюнок$\PageIndex{5}$: Будова простого кубічного молекулярного кристала

(б) Показати, що всі молекулярні кристали із заповненими ГОМО є ізоляторами.

6. Розглянемо наступний полімер:

Малюнок$\PageIndex{6}$: Полімер.

Припустимо, відстань між атомами на лінійній магістралі є$a_{0}$, як показано на малюнку. Крім того, припустимо, що всі атоми є одним елементом,$\beta_{1}$ і$\beta_{2}$ є стрибковими взаємодіями між атомами, як показано, власна енергія кожного атома є$\alpha$, і припускаємо, що кожен атом вносить один електрон.

(а) Що таке примітивна одинична клітина і примітивний гратчастий вектор?

(b) Показати, що співвідношення дисперсії задається

$E = \alpha +\beta_{2}\ cos(ka_{0}) \pm \sqrt{\beta_{2}^{2}\ cos^{2}(ka_{0})+2\beta_{1}^{2}(1+cos(ka_{0}))}$

(c) Полімер металевий або ізоляційний?

7. Транзистори графенові та вуглецеві нанотрубки

(а) З посиланням на смугову структуру графена, показану нижче, поясніть, чому графен при згортанні в нанотрубки може бути або металевим, або напівпровідниковим?

(b) Використовуючи графік k -простору, показаний нижче, визначити, чи є наступні (n, m) нанотрубки металевими або напівпровідниковими. Нагадаємо, що нанотрубки - це згорнуті графенові листи з обгортковим вектором$\bar{w}=na_{1}+ ma_{2}=(n,m)$.

i) (0,6)

ii) (Н, Н)

іii) (3,9)

iv) (3,5)

Малюнок$\PageIndex{7}$: K точок у графені.

(c) В даний час існує великий інтерес до використання графена (на відміну від вуглецевих нанотрубок) як канального матеріалу для польових транзисторів. Ідея полягає в тому, щоб виготовити цілі чіпи на одному аркуші графена.

Спочатку графен депонується якимось чином (в даний час це технологічний виклик). Далі графен вирізається. Нарешті, контакти і ізолятори затвора осідають.

Чому графен вирізається? Поясніть з посиланням на частинки в коробці моделі провідників.

8. Вуглецеві нанотрубки

(а) Доведіть тотожності в рівнянні (6.21.3) та рівнянні (6.21.4).

(b) Вивести рівняння (6.21.6) з рівняння (6.21.5).

9. Це питання стосується молекули, показаної нижче.

а) Запишіть гамільтонову матрицю для цієї молекули з точки зору параметрів щільного зв'язування$\alpha$, і$\beta$.

б) Запишіть енергію для цієї молекулярної орбіти з точки зору$\alpha$ і$\beta$.

в) Порівняйте щільність станів HOMO і LUMO попередньої молекули з наведеною нижче.