2.3: Поточний

Last updated

Oct 25, 2022
Save as PDF
- 2.2: Скільки електронів? Статистика Фермі-Дірака
- 2.4: Метали та ізолятори

Marc Baldo
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Розподіл електронів всередині матеріалу визначає його провідність. Як приклад розглянемо деякі рухомі електрони в гаусовому хвильовому пакеті. Хвильовий пакет у свою чергу може бути описаний зваженою суперпозицією плоских хвиль. Тепер ми знаємо з попереднього розділу, що, якщо хвильовий пакет не зосереджений на k = 0 в k -просторі, то він буде рухатися і струм буде текти.

Є й інший спосіб подивитися на це. Зверніть увагу, що існують компоненти плоских хвиль з $+k_{z}$ обома і $-k_{z}$ хвильовими числами. Таким чином, навіть коли електрон нерухомий, компоненти хвильового пакета рухаються в обох напрямках. Але якщо кожен компонент, що рухається в $+k_{z}$ напрямку, врівноважується компонентом, що рухається в $-k_{z}$ напрямку, немає чистого струму.

Знімок екрана 2021-04-15 о 21.08.12.png — Малюнок $\PageIndex{1}$ : Хвильовий пакет без чистої швидкості. Відзначимо, що кожна плоска $+k_{z}$ хвильова складова з хвильовимчислом компенсується $-k_{z}$ плоскою хвильовою складовою з хвильовим числом. (b) Хвильовий пакет з чистою швидкістю в позитивному напрямку z асиметричний про $k_{z} = 0$ .

У цьому розділі ми покажемо, що ми можемо застосувати подібний аналіз до електронів всередині провідника. Наприклад, електрони в дроті займають стани з різними хвильовими числами, відомими як k -стани. Кожне з цих станів може бути змодельовано плоскою хвилею і існують стани, які поширюються в обох напрямках.

Нагадаємо, що для плоської хвилі

$E = \frac{\hbar^{2}k_{z}^{2}}{2m} \nonumber$

Це співвідношення між енергією і хвильовимчислом відомо як дисперсійне відношення. Для плоских хвиль це параболічна крива. Нижче кривої відсутні електронні стани. Таким чином, електрони перебувають в межах певної смуги енергій. $^{†}$

Скріншот 2021-04-15 о 21.11.38.png — Малюнок $\PageIndex{2}$ : Електрони в дроті займають стани з різними енергіями і хвильовими числами.

В умовах рівноваги дріт заповнюється електронами аж до енергії Фермі, $E_{F}$ . Електрони заповнюють обидва $+k_{z}$ і $-k_{z}$ стани, і поширюються однаково в обох напрямках. Струм не протікає. Ми говоримо, що ці електрони компенсуються.

Знімок екрана 2021-04-15 о 21.12.58.png — Малюнок $\PageIndex{3}$ : (а) В умовах рівноваги електрони спочатку заповнюють найнижчу енергію k -станів. Оскільки заповнені рівні числа $+k_{z}$ і $-k_{z}$ станів, чистий струм відсутній. (b) Коли $+k_{z}$ і $-k_{z}$ стани заповнені на різних рівнях, існує чистий струм.

Щоб чистий струм протікав, повинна бути різниця в кількості електронів, що рухаються в кожному напрямку. Таким чином, електрони, що рухаються в одному напрямку, не можуть перебувати в рівновазі з електронами, що рухаються в іншому. Ми визначаємо два квазі-рівні Фермі: $F^{+}$ це енергетичний рівень, коли стани з наполовину $k_{z}>0$ заповнені, $F^{-}$ є відповідним енергетичним рівнем для станів с $k_{z}<0$ . Ми бачимо, що потік струму пов'язаний з різницею в рівнях квазі Фермі та наявністю електронних станів між рівнями квазі Фермі. Якщо між $F^{+}$ і немає електронів $F^{-}$ , то матеріал є ізолятором і не може проводити заряд.

Скріншот 2021-04-15 о 21.15.55.png — Малюнок $\PageIndex{4}$ : Приклади металу (а) і ізолятора (б).

Підсумовуємо: струм переноситься некомпенсованими електронами.

$^{†}$ Строго смуга потребує верхньої, а також нижньої межі дозволеної енергії, тоді як проста модель плоских хвиль дає лише нижню межу. Пізніше ми також знайдемо верхні межі в більш точних моделям матеріалів. Зауважте також, що 0-d матеріали, такі як молекули або квантові точки, не мають смуг, оскільки електрони обмежені у всіх напрямках і не можуть бути змодельовані плоскою хвилею в будь-якому напрямку.