1.24: Вільні частинки
- Page ID
- 31966
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У вільному просторі потенціал, V, постійний всюди. Для простоти виставимо V = 0.
Далі вирішуємо Рівняння (1.23,5) з V = 0.
\[ -\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=E\psi(x) \nonumber \]
Перестановка трохи дає диференціальне рівняння другого порядку в трохи більш чіткому вигляді
\[ \frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi \nonumber \]
Загальним рішенням є
\[ \psi(x)=\psi(0)\text{exp}[ikx] \nonumber \]
де
\[ k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} \nonumber \]
Вставка залежності від часу (див. Рівняння (1.23.7)) дає
\[ \psi(x,t)=\psi(0)\text{exp}[i(kx-\omega t)] \nonumber \]
де
\[ \omega = \frac{E}{\hbar}=\frac{\hbar k^{2}}{2m} \nonumber \]
Таким чином, як і годиться рішення у вільному просторі - це плоска хвиля.