1.24: Вільні частинки

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У вільному просторі потенціал, V, постійний всюди. Для простоти виставимо V = 0.

Далі вирішуємо Рівняння (1.23,5) з V = 0.

$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\psi(x)=E\psi(x) \nonumber$

Перестановка трохи дає диференціальне рівняння другого порядку в трохи більш чіткому вигляді

$\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}} = -\frac{2mE}{\hbar^{2}}\psi \nonumber$

Загальним рішенням є

$\psi(x)=\psi(0)\text{exp}[ikx] \nonumber$

де

$k=\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}} \nonumber$

Вставка залежності від часу (див. Рівняння (1.23.7)) дає

$\psi(x,t)=\psi(0)\text{exp}[i(kx-\omega t)] \nonumber$

де

$\omega = \frac{E}{\hbar}=\frac{\hbar k^{2}}{2m} \nonumber$

Таким чином, як і годиться рішення у вільному просторі - це плоска хвиля.