7.4: Теорема Парсеваля

Цілі навчання

• Інформація про теорему Парсеваля.

Властивості перетворення Фур'є та деяких корисних пар перетворень наведено в цій таблиці. Особливо важливою серед цих властивостей є теорема Парсеваля, яка стверджує, що потужність, обчислена в будь-якій області, дорівнює потужності в іншій.

$$\int_{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)dt=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \left | S(f) \right | \right )^{2}df \nonumber$$

Практичне значення має властивість спряженої симетрії: Коли s (t) є дійсним, спектр на негативних частотах дорівнює комплексному сполученню спектра на відповідних позитивних частотах. Отже, нам потрібно лише побудувати ділянку позитивної частоти спектра (ми можемо легко визначити залишок спектра).

Вправа$\PageIndex{1}$

Скільки операцій перетворення Фур'є потрібно застосувати для повернення вихідного сигналу:

$$\mathfrak{F}(...(\mathfrak{F}(s)))=s(t) \nonumber$$

Рішення

$$\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(s(t)))))=s(t) \nonumber$$

Ми знаємо, що

$$\mathfrak{F}(S(f))=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{-(i2\pi ft)}df=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)\overline{e^{i2\pi f(-t)}}df=s(-t) \nonumber$$

Отже, два перетворення Фур'є, застосовані до s (t), дають s (-t). Нам потрібно ще два, щоб повернути нас туди, де ми почали.