7.4: Теорема Парсеваля

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32770

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Інформація про теорему Парсеваля.

Властивості перетворення Фур'є та деяких корисних пар перетворень наведено в цій таблиці. Особливо важливою серед цих властивостей є теорема Парсеваля, яка стверджує, що потужність, обчислена в будь-якій області, дорівнює потужності в іншій.

\[\int_{-\infty }^{\infty }s^{2}(t)dt=\int_{-\infty }^{\infty }\left ( \left | S(f) \right | \right )^{2}df \nonumber \]

Практичне значення має властивість спряженої симетрії: Коли s (t) є дійсним, спектр на негативних частотах дорівнює комплексному сполученню спектра на відповідних позитивних частотах. Отже, нам потрібно лише побудувати ділянку позитивної частоти спектра (ми можемо легко визначити залишок спектра).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Скільки операцій перетворення Фур'є потрібно застосувати для повернення вихідного сигналу:

\[\mathfrak{F}(...(\mathfrak{F}(s)))=s(t) \nonumber \]

Рішення

\[\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(s(t)))))=s(t) \nonumber \]

Ми знаємо, що

\[\mathfrak{F}(S(f))=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{-(i2\pi ft)}df=\int_{-\infty }^{\infty }S(f)\overline{e^{i2\pi f(-t)}}df=s(-t) \nonumber \]

Отже, два перетворення Фур'є, застосовані до s (t), дають s (-t). Нам потрібно ще два, щоб повернути нас туди, де ми почали.