9.5: Збереження енергії, принцип роботи та енергія та баланс механічної енергії

Коли студенти залишають фізику механіки і знайомляться з більш загальним принципом збереження енергії, вони часто намагаються зрозуміти, як це пов'язано з більш обмеженим принципом роботи-енергії та механічним енергетичним балансом. Або, як часто студенти простіше кажучи: «Яке енергетичне рівняння я повинен використовувати?»

Наступні примітки (1) ілюструють, як більш обмежені принципи пов'язані з фундаментальним збереженням енергії та (2) дають студентам список припущень моделювання, які можуть бути визнані та застосовані до конкретної проблеми для відновлення механічного енергетичного балансу.

Оскільки цей курс наголошує на побудові конкретних проблем рішень з фундаментальних принципів, тобто збереження енергії в даному випадку, цей матеріал найкраще вводити після того, як студенти прочитали Розділ 7.1, 7.2 та 7.3 глави 7 і перед тим, як їм будуть призначені будь-які завдання домашнього завдання типу «робота-енергія» зазвичай зустрічається в базовому курсі механіки.

1. Збереження енергії, принцип робота-енергія та механічний енергетичний баланс - Ці примітки описують (1) як принцип робота-енергія розробляється із збереження лінійного імпульсу, (2) як механічний енергетичний баланс може бути розроблений із збереження енергії, (3) як робота-енергія Принцип і механічний енергетичний баланс пов'язані, і (4) коли студенти повинні використовувати кожен. Крім того, ці ноти також вводять енергію пружини як тип механічної енергії.
2. Резюме — короткий зміст розділу вище.
3. Коли я можу почати аналіз з механічного енергетичного балансу для замкнутої системи? — Ці примітки надають три різні підходи з моделюванням припущень для зменшення загального рівняння збереження енергії до більш обмеженого механічного енергетичного балансу. [Ці примітки чітко використовують модель нестисливої речовини, щоб пов'язати зміну температури з внутрішньою зміною енергії.]

1. Збереження енергії, принцип роботи та енергія та механічний енергетичний баланс

При вивченні техніки та фізики ви зіткнетеся з низкою інженерних концепцій, пов'язаних з енергією. Три з найпоширеніших - збереження енергії, принцип роботи та енергія та баланс машинобудування. Збереження енергії розглядається в цьому курсі як один із всеосяжних і фундаментальних фізичних законів. Інші два поняття є особливими випадками і застосовуються лише за обмежених умов. Мета цієї записки - переглянути родовід Принципу «Робота-енергія», показати, як розробляється більш загальний механічний енергетичний баланс із збереження енергії, і, нарешті, описати умови, за яких механічний енергетичний баланс є кращим перед принципом робота-енергія.

Принцип роботи та енергії для частинки

Розглянемо частинку маси\(m\) і швидкості, що\(\vec{V}_{G}\) рухається в гравітаційному полі міцності за\(\vec{g}\) умови дії поверхневої сили\(\vec{R}_{\text {surface}}\). За цих умов написання Збереження лінійного імпульсу для частинки дає наступне:\[\frac{d}{dt} \left(m \vec{V}_{G}\right) = \vec{R}_{\text {surface}} + m \vec{g} \label{SM.1.1} \] Формування точкового добутку Eq. \((\mathrm{SM.}1.1)\)зі швидкістю частинки і перестановкою термінів дає швидкісну форму принципу «Робота-Енергія» для частинки:\[\frac{d}{dt} \underbrace{\left(m \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Kinetic} \\ \text{energy} \end{array}} +\frac{d}{dt} \underbrace{(mgz)}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} = \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} \left(E_{K} + E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}} \label{SM.1.2} \]

Нагадаємо, що механічна сила визначається як\(\dot{W}_{\text {mech, in}} = \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}\), точковий добуток поверхневої сили зі швидкістю її точки прикладання. Оскільки частинка не має ступеня і тільки однієї швидкості, точка прикладання поверхневої сили і частка завжди мають однакову швидкість.

Інтеграція Eq. \((\mathrm{SM}.1.1)\)щодо відстані або еквалайзера. \((\mathrm{SM}.1.2)\)щодо часу дає більш звичне співвідношення для зміни кінетичної енергії, зміни гравітаційної потенційної енергії та механічної роботи:\[\begin{array}{c} \displaystyle \Delta \underbrace{\left(m \frac{V_{G}{ }^{2}}{2}\right)}_{=E_{K}} + \Delta \underbrace{\left(mgz_{G}\right)}_{=E_{GP}} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \underbrace{\vec{V}_{G} \ dt}_{=d \vec{s}} = \underbrace{\int\limits_{1}^{2} \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \ d \vec{s}}_{=\delta W_{\text {mech in}}} }_{=W_{\text {mech, in}}} \\ \displaystyle \Downarrow \\ \Delta E_{K} + \Delta E_{GP} = W_{\text {mech, in}} \end{array} \label{SM.1.3} \]

Це відоме як скінченно-часова форма принципу роботи-енергії для частинки. Нагадаємо, що механічна робота є тимчасовим інтегралом механічної потужності і може бути розрахована як точковий добуток поверхневої сили і зміщення точки її застосування. Знову ж таки, зміщення точки прикладання поверхневої сили однозначне для частинки, оскільки воно таке ж, як і зміщення частинки.

Хоча принцип робота-енергія використовує енергетичну мову - енергію, роботу, потужність - він не додає нічого нового, що не могло бути виявлено завдяки ретельному застосуванню Збереження лінійного імпульсу.

Збереження енергії та механічний енергетичний баланс замкнутої системи

Написавши Збереження енергії для замкнутої системи, ми отримуємо швидку форму збереження енергії для замкнутої системи:\[\frac{d}{dt} \left(E_{sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \label{SM.1.4} \] Обмежуючи себе лише трьома типами енергії—внутрішньою енергією\(U\), кінетичною енергією\(E_{K}\) та гравітаційною потенційною енергією\(E_{GP}\) - ми маємо наступний результат:\[\frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \]

Хоча відмінності дещо штучні, ми розділимо енергію на дві групи: теплову та механічну енергію. Внутрішня енергія зазвичай класифікується як теплова енергія, оскільки зміна внутрішньої енергії системи часто пов'язана зі зміною температури. Інші дві енергії класифікуються як механічна енергія, оскільки зміна кінетичної енергії або гравітаційної потенційної енергії системи може здійснюватися виключно шляхом застосування поверхневої сили та пов'язаної з нею механічної роботи. Крім того, ми розділимо робочу передачу енергії (потужності) на два терміни: механічна робота, де є ідентифікована поверхнева сила, і немеханічна робота, наприклад електромонтажні роботи.

Використовуючи ці нові відмінності між механічними та тепловими явищами, ми можемо переписати Eq. \((\mathrm{SM.}1.5)\)і згрупуйте механічні та термічні терміни, як показано нижче:\[\begin{array}{c} \dfrac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{Q}_{\text{net, in}} + \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}}}_{=\dot{W}_{\text{net, in}}} \\ \underbrace{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Rate of change} \\ \text{of the} \\ \text{mechanical energy} \\ \text{in the system} \end{array}} &= \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}}}_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy by} \\ \text{mechanical work} \end{array}} + \underbrace{ \left[\dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}} - \dfrac{d}{dt} \left(U_{sys}\right)\right] }_{\begin{array}{c} \text{Net production rate} \\ \text{of mechanical energy} \\ \text{inside the system} \end{array}} \\ &\Downarrow\\ \dfrac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{E}_{\text{net, mech, prod}} \end{array} \nonumber \]

Це називається формою швидкості механічного енергетичного балансу для замкнутої системи. Він припадає на зберігання, транспортування та виробництво або руйнування механічної енергії в замкнутій системі. На словах,

час-швидкість зміни механічної енергії в системі дорівнює чистої швидкості транспортування енергії при механічній роботі (чиста механічна потужність) в систему плюс чистий коефіцієнт вироблення механічної енергії всередині системи.

Загалом, термін чистого виробництва може приймати як позитивні, так і негативні значення.

Введення та наявність виробничого терміну не порушує Збереження енергії, оскільки ми рахуємо лише один тип енергії, і однією з характеристик енергії є те, що вона може зберігатися по-різному. [Розглянемо мармуровий кочення вгору і вниз по сторонам дерев'яної салатниці. Якщо втрат немає, відбувається безперервний обмін між кінетичною та гравітаційною потенційною енергією, і якщо б підраховувати лише кінетичну енергію, вона по черзі здавалася б вироблятися, а потім руйнуватися. Ідея підрахунку лише одного типу енергії аналогічна ідеї підрахунку лише одного хімічного виду (Species Accounting), використовуваного раніше в нашому дослідженні Збереження маси.

Механічний енергетичний баланс = принцип роботи та енергії?

Ми вже показали, що принцип роботи та енергії для частинки є прямим нащадком збереження лінійного імпульсу, а механічний енергетичний баланс для замкнутої системи виріс із збереження енергії. Переписані нижче разом, ми бачимо, що вони схожі, хоча одна написана для частинки, а інша - для більш загальної замкнутої системи:

\[\begin{aligned} &\text{Work-Energy Principle for a particle (Supplementary Materials 1.2):} \\ &\quad\quad\quad\quad \frac{d}{dt} \left(E_{K}+E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}} \\ \text{ } \\ &\text{Mechanical Energy Balance for a closed system (Supplementary Materials 1.6):} \\ &\quad\quad\quad\quad \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} + \dot{E}_{\text {net, mech, prod}} \end{aligned} \nonumber \]

Єдиною суттєвою відмінністю між двома рівняннями є термін чистої норми виробництва механічної енергії.

Якщо ми можемо знайти сукупність умов, при яких механічна енергія не виробляється і не руйнується, принцип роботи та енергія механічного балансу містять ту саму інформацію. Отже, важливе питання полягає в тому, коли це відбувається? Без створення інклюзивного переліку умов викладемо тільки один набір умов:

Механічна енергія не буде вироблятися і не руйнуватися всередині замкнутої системи, якщо (1) матеріали в системі є нестисливими, (2) немає внутрішнього тертя або тертя між частинами замкнутої системи, і (3) тільки механічна робота відбувається на межі системи. (Зверніть увагу, що це не забороняє тертя на межі системи.)

Цей набір умов узгоджується з умовами, які зазвичай посилаються при застосуванні принципу «Робота-енергія». Коли ці умови виконуються, Механічний енергетичний баланс відтворює результати Принципу «Робота-Енергія» з додатковою перевагою, що він застосовується до будь-якої замкнутої системи. Якщо є обмеження на внутрішнє тертя послаблено, ми покажемо пізніше, що механічну енергію можна тільки зруйнувати. З огляду на це, умови, які не виробляють або не руйнують механічну енергію, часто представляють найкращу або ідеальну поведінку системи. (Ця ідея буде вивчена далі, коли ми зіткнемося з Другим законом термодинаміки та принципом обліку ентропії.)

Додавання пружин (пружної енергії) до механічного енергетичного балансу для замкнутої системи

Тепер, коли ми показали взаємозв'язок між принципом роботи та енергією та балансом механічної енергії, ми хочемо включити додатковий тип енергії, який можна обробляти в рамках нашого механічного енергетичного балансу - пружну або пружинну енергію.

Зазвичай ми будемо розглядати тільки справжні механічні пружини. Припускаючи лінійну пружину без гістерезису або внутрішнього тертя, енергію, що зберігається в пружині, можна обчислити з наступного рівняння:\[\begin{array}{ll} & E_{\text {Spring}} &= \dfrac{1}{2} k \left(x - x_{0}\right)^{2} \\ \text { where } \quad\quad & k &= \text{spring constant [Force/Length]} \\ & x_{0} &= \text {unstretched length of the spring} \\ & x &= \text {stretched length of the spring} \end{array} \nonumber \] Зверніть увагу, що нерозтягнута пружина не зберігає механічної енергії, і що лінійна ідеальна пружина зберігає енергію, коли вона стискається або розтягується.

Включаючи цю додаткову форму механічної енергії, ми маємо розширену форму механічного енергетичного балансу для замкнутої системи:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} + \dot{E}_{\text {net, mech, prod}} \nonumber \] Це найзагальніша форма, яку ми представимо.

Підсумок - Коли слід і чи можу я використовувати механічний енергетичний баланс?

Хоча загальна форма може бути корисною, ур. \((\mathrm{SM.}1.8)\)є найбільш корисним, коли ми можемо припустити, що немає механічної енергії виробництва або руйнування. У цих умовах ми маємо розширену форму швидкості механічного енергетичного балансу для замкнутої, нестисливої системи без внутрішнього тертя та лише механічної роботи:\[\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}} \nonumber \] Інтегрована щодо часу ми відновлюємо форму скінченного часу:\[\Delta E_{K, \ sys} + \Delta E_{GP, \ sys} + \Delta E_{Spring, \ sys} = W_{\text {net, mech, in}} \nonumber \] Якщо ваша система містить лише нестисливе об'єктів, немає внутрішнього тертя, і тільки механічна робота відбувається на кордоні системи тоді можна і потрібно використовувати Eq. \((\mathrm{SM.}1.9)\)або\((\mathrm{SM.}1.10)\) замість повного збереження енергії. Це також замінить принцип роботи-енергії для частинки, якщо ви не знайдете особливої переваги, починаючи з збереження лінійного імпульсу та інтеграції. При правильному та правильному застосуванні баланс механічної енергії, представлений в еквалайзері. \((\mathrm{SM.}1.9)\)і Eq. \((\mathrm{SM.}1.10)\)може зробити все, що може принцип «Робота-Енергія» і більше.

---

2. Резюме

Принцип роботи та енергії для частинки

... Почніть зі збереження лінійного імпульсу для частинки (Equation\ ref {SM.1.1}):\[\frac{d}{dt} \left(m \vec{V}_{G}\right) = \vec{R}_{\text {surface}}+m \vec{g} \nonumber \]

... Сформуйте точковий добуток зі швидкістю центру мас\(\vec{V}_{G}\) і визначте кінетичну енергію, енергію гравітаційного потенціалу і механічну потужність для отримання швидкісної форми принципу робота-енергія для частинки (Equation\ ref {SM.1.2}):\[\frac{d}{dt} \underbrace{\left(m \frac{\mathrm{V}^{2}}{2}\right)}_{\begin{array}{c} \text{Kinetic} \\ \text{energy} \end{array}} +\frac{d}{dt} \underbrace{(mgz)}_{\begin{array}{c} \text {Gravitational} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} = \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \vec{V}_{G}}_{\begin{array}{c} \text {mechanical} \\ \text{potential} \\ \text{energy} \end{array}} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K} + E_{GP}\right) = \dot{W}_{\text {mech, in}}} \nonumber \]

... Інтегрувати швидкість форми принципу робота-енергія протягом часового інтервалу для отримання скінченно-часової форми принципу робота-енергія для частинки (Equation\ ref {SM.1.3}):\[\begin{array}{c} \displaystyle \Delta \underbrace{\left(m \frac{V_{G}{ }^{2}}{2}\right)}_{=E_{K}} + \Delta \underbrace{\left(mgz_{G}\right)}_{=E_{GP}} = \int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} \vec{R}_{\text {surface}} \cdot \underbrace{\vec{V}_{G} \ dt}_{=d \vec{s}} = \underbrace{\int\limits_{1}^{2} \underbrace{\vec{R}_{\text {surface}} \cdot \ d \vec{s}}_{=\delta W_{\text {mech in}}} }_{=W_{\text {mech, in}}} \\ \displaystyle \Downarrow \\ \boxed{\Delta E_{K} + \Delta E_{GP} = W_{\text {mech, in}}} \end{array} \nonumber \]

Збереження енергетичного та механічного енергетичного балансу замкнутої системи

... Почніть з швидкості форми збереження енергії для замкнутої системи:\[\frac{d}{dt} \left(E_{sys}\right) = \dot{Q}_{\text {net, in}} + \dot{W}_{\text {net, in}} \nonumber \]

... Класифікують енергію на два типи — механічну проти теплової. Механічна енергія може бути досягнута без зміни температури системи, тоді як теплова енергія зазвичай вимагає зміни температури або тиску системи. Терміни перегрупування ми маємо курсову форму механічного енергетичного балансу (в загальному механічна енергія, як і будь-який один тип енергії, не зберігається). (Див. Рівняння\ ref {SM.1.4})

\[\begin{aligned} \frac{d}{dt} \left(U_{sys} + E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{Q}_{\text{net, in}} + \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}}}_{= \dot{W}_{\text{net, in}}} \\ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \underbrace{\dot{W}_{\text{net, mech, in}}}_{\begin{array}{c} \text{Transport rate} \\ \text{of energy by} \\ \text{mechanical work} \end{array}} + \underbrace{\left[\dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, nonmech, in}} - \frac{d}{dt} \left(U_{sys}\right)\right]}_{\begin{array}{c} \text{Net production rate of mechanical energy} \\ \text{inside the system} \\ ( \text{May be } >, \ <, \text{ or } =0) \end{array}} \\ \frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys}\right) &= \dot{W}_{\text{net, mech, in}} + \dot{E}_{\text{net, mech, prod}} \end{aligned} \nonumber \]

Значення терміну виробництва механічної енергії залежить від технологічного процесу. Якщо система містить тільки нестисливі речовини, термін вироблення механічної енергії завжди менше або дорівнює нулю, тобто механічна енергія руйнується в реальних процесах. Коли термін вироблення/руйнування механічної енергії дорівнює нулю, баланс механічної енергії та принцип робота-енергія ідентичні.

Коли механічний енергетичний баланс = принцип роботи та енергії?

Коли механічна енергія не створюється і не руйнується, Механічний енергетичний баланс відтворює результати принципу «Робота-енергія» з додатковою перевагою, що вона застосовується до будь-якої замкнутої системи. Хоча не все включено, один корисний набір умов, при яких це відбувається, наступний:

Механічна енергія не буде вироблятися і не руйнуватися всередині системи, якщо

1. система закрита,
2. всі речовини в системі нестисливі,
3. немає тертя (розсіювання) всередині або між частинами закритої системи, і
4. єдина передача енергії на межі системи - механічна робота. (Зауважте, що це не забороняє тертя на граничну систему.)

Якщо всі ці умови стосуються вашої системи, ви можете і повинні почати свій аналіз з механічного енергетичного балансу і встановити термін виробництва на нуль!

Ці умови узгоджуються з припущеннями, які ви робите при розробці та застосуванні принципу «Робота-Енергія». Умови, які не виробляють або не руйнують механічну енергію, часто представляють найкращу або ідеальну поведінку системи. Крім того, багато типів завдань, які ви вирішували в фізиці, в яких задіяні консервативні сили, можна вирішити за допомогою механічного енергетичного балансу.

Нова форма механічної енергії — Пружини (Пружна енергія)

Для ідеальної лінійної пружини, тобто відсутність гістерезису або внутрішнього тертя, величина сили, що чиниться пружиною\(|F|\), пропорційна стисненню/розтягуванню пружини від її нерозтягнутої (вільної) довжини, т\(|F|=k|\delta|\).\(\delta\) Нестиснута або нерозтягнута пружина має нульову пружинну (пружну) енергію. Коли лінійна ідеальна пружина відхиляється (стискається або розтягується), вона зберігає енергію пружини. Пружини також можуть мати кінетичний, гравітаційний потенціал та внутрішню енергію; однак кількість енергії пружини (пружності) залежить лише від відхилення пружини. Пружна енергія, що зберігається в лінійній ідеальній пружині, може бути розрахована наступним чином:\[\begin{aligned} E_{\text{Spring}} &= \frac{1}{2} k \delta^{2} = \frac{1}{2} k \left|x-x_{o}\right|^{2} \\ \text{where} \quad\quad\quad k &= \text{spring constant } [\mathrm{Force} / \mathrm{Length}] \\ \delta &= \left|x-x_{o}\right| = \text{spring deflection (compression or extension) from its free length} \\ x_{o} &= \text{length of the unstretched spring, sometimes called the "free length"} \\ x &= \text{length of the stretched or compressed spring} \end{aligned} \nonumber \]

При використанні збереження енергії (або механічного енергетичного балансу) для вирішення проблеми з пружинами зазвичай вигідно розмістити пружини всередині системи. Якщо вони залишаються зовні, сила пружини (вектор) дійсно працює на систему. При розміщенні всередині системи вплив пружин обробляється через зміну енергії пружини в системі.

Підсумок - Коли я повинен використовувати механічний енергетичний баланс?

Якщо ваша система (1) замкнута, містить лише (2) нестисливі об'єкти, не має (3) внутрішнього тертя (тертя/розсіювання всередині або між частинами системи), і має (4) тільки механічну роботу перенесення енергії на межі, то механічна енергія «Збережено», і ви можете, можливо, і повинні почати свій аналіз з механічного енергетичного балансу (форма швидкості або форма скінченного часу), припускаючи, що механічне виробництво/руйнування однаково дорівнює нулю. \[\boxed{\frac{d}{dt} \left(E_{K, \ sys} + E_{GP, \ sys} + E_{Spring, \ sys}\right) = \dot{W}_{\text {net, mech, in}}} \quad \text { or } \quad \boxed{\Delta E_{K, \ sys} + \Delta E_{GP, \ sys} + \Delta E_{Spring, \ sys} = W_{\text {net, mech, in}}} \nonumber \]

3. За яких умов механічний енергетичний баланс (економія механічної енергії) діє для замкнутої системи? Які припущення я повинен зробити?

Механічний енергетичний баланс замкнутої системи (з механічною енергією)

\[\begin{array}{ll} \text { Rate Form } & \dfrac{d E_{\text {sys, mech}}}{dt} = \dfrac{d}{dt} \left(E_{\text{Kinetic}} + E_{\text{Gravitational}} + E_{\text{Spring}}\right) = \dot{W}_{\text {mech, net, in}} \\ { } \\ \text { Finite-Time Form } & \Delta E_{\text {sys, mech}} = \Delta E_{\text{Kinetic}} + \Delta E_{\text{Gravitational}}+\Delta E_{\text{Spring}} = W_{\text {mech, net, in}} \end{array} \nonumber \]У всіх випадках, коли енергія підлягає підрахунку, ми ЗАВЖДИ починаємо з застосування повного рівняння збереження енергії, як правило, у формі швидкості. Потім ми переходимо до механічного енергетичного балансу (MEB) одним із трьох підходів:

ПІДХІД #1 - (Бажаний підхід)

Починається з рівняння збереження енергії і підкреслює механіку припущення s (без згадки про тепловіддачу і т.д.), щоб перейти безпосередньо до механічного енергетичного балансу (MEB), де механічна енергія зберігається:

Припустимо:

1. Закрита система
2. нестисливе речовина
3. Тільки механічна робота/потужність на кордоні
4. Відсутність внутрішнього тертя, тобто всередині тіл або між поверхнями всередині системи

ПІДХІД #2

Починається з рівняння збереження енергії і підкреслює припущення термодинаміки без моделі речовини:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, i }} + \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right) \nonumber \]

Припустимо:

1. Закрита система
2. Відсутність тепловіддачі, тобто адіабатична система
3. Відсутність зміни внутрішньої енергії, т. Е.\(\Delta U=0\)

ПІДХІД #3

Починається з рівняння збереження енергії та підкреслює припущення термодинаміки, включаючи модель нестисливої речовини:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} + \sum_{\text{in}} \dot{m}_{i} \left(h_{i}+\frac{V_{i}^{2}}{2}+g z_{i}\right) - \sum_{\text{out}} \dot{m}_{e} \left(h_{e}+\frac{V_{e}^{2}}{2}+g z_{e}\right) \nonumber \]

Припустимо:

1. Закрита система
2. нестисливе речовина
3. Відсутність тепловіддачі, тобто адіабатична система
4. Ізотермічний процес, тобто відсутність зміни температури\((\Delta T=0)\)