9.2: Додаток B- Розміри та одиниці
- Page ID
- 34308
B.1 Розміри та одиниці виміру
Розглянемо наступне математичне твердження:\[L=3.00 \mathrm{~m} \nonumber \] Словами ви можете сказати: «Довжина\(L\) -\(3.00\) метри». Неявним в математичному виразі є вказівкою як фізичної величини, так і її розміру.
Природа або опис фізичної величини відомий як її вимір. Розмір фізичної величини виражається у вигляді певної кількості стандартних еталонних сум. Ці довідкові суми відомі як одиниці. У наведеному вище прикладі розмір - довжина, а одиниці - метри. (Зверніть увагу, що символ одиниці "\(m\)" є математичною сутністю, а не абревіатурою.) Для будь-якого заданого виміру існує нескінченна кількість можливих одиниць.
B.2 Системи одиниць і розмірів
Досвід показав, що існує набір незалежних розмірів, які можна використовувати для представлення всіх фізичних величин. Члени цього набору відомі як основні (первинні) розміри. Після того, як основні розміри були обрані, всі інші фізичні величини описуються з точки зору похідних (вторинних) розмірів.
Після того, як основні розміри були обрані, то можна вибрати відповідні їм одиниці - базові (первинні) одиниці. І, як ви могли очікувати, похідні розміри мають відповідний набір одиниць — похідні (вторинні) одиниці.
Існує безліч різних систем одиниць і розмірів, заснованих на виборі основних розмірів. Дві найпоширеніші системи агрегатів - це система СІ та американська інженерна система. У таблиці B.1 наведені базові блоки для цих двох систем.
| Кількість | SI Базові одиниці | Базові одиниці AES | ||
|---|---|---|---|---|
| Ім'я | Символ | Ім'я | Символ | |
| довжина | метр | \(\mathrm{m}\) | стопа | \(\mathrm{ft}\) |
| маси | кілограм | \(\mathrm{kg}\) | фунт-маса | \(\mathrm{lbm}\) |
| час | другий | \(\mathrm{s}\) | другий | \(\mathrm{s}\) |
| електричний струм | ампер | \(\mathrm{A}\) | ампер | \(\mathrm{A}\) |
| термодинамічна температура | Кельвін | \(\mathrm{K}\) | Ренкіна | \({ }^{\circ}\)R |
| кількість речовини | рити | \(\mathrm{mol}\) | фунт-крот | \(\mathrm{lbmol}\) |
| сила світла | кандела | \(\mathrm{cd}\) | кандела | \(\mathrm{cd}\) |
B.3 Розрахунки з розмірами та одиницями
Одиниці не забезпечили б значних проблем, якби нам не довелося їх використовувати в розрахунках. На жаль, помилки юнітів є одним з найлютіших ворогів інженера. Хоча вони завжди здаються банальними помилками в школі, на практиці наслідки можуть бути катастрофічними.
B.3.1 Розмірна однорідність
Всі теоретично похідні рівняння, що описують фізичні явища, повинні бути розмірно однорідними. Рівняння є розмірно-однорідним, якщо розміри обох сторін рівняння однакові і всі адитивні члени мають однакові розміри.
B.3.2 Перетворення одиниць
Найпоширеніші помилки використання одиниць виникають при перетворенні фізичної величини з одного набору одиниць в інший набір. Під час перетворення одиниць ви не змінюєте розмір фізичної величини, а лише числове значення, пов'язане з одиницями, в яких вона вимірюється.
Взаємозв'язок між двома одиницями для одного і того ж виміру зазвичай міститься в довіднику як відношення еквівалентності, наприклад\(1 \mathrm{~ft}=12 \mathrm{~in}\). Зауважте ще раз, що символи одиниць є математичними сутностями і їх не можна нехтувати.
Ключем до перетворення одиниць є нагадати, що множення математичного виразу на одиницю (1) не змінює величину математичного виразу. Коефіцієнт перетворення одиниць дорівнює одиниці і може бути побудований з співвідношення еквівалентності. Приклад B.1 показує, як перетворити оператори еквівалентності в коефіцієнти перетворення одиниць.
Перетворіть задані співвідношення еквівалентності в одиничні коефіцієнти перетворення.
\[ \begin{aligned} 1 \mathrm{~ft} = 12 \mathrm{~in} \quad\quad &\Rightarrow \quad\quad 1 = 12 \ \frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}} \\ 1 \mathrm{~slug} = 32.174 \mathrm{~lbm} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 32.174 \ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{slug}} \\ 1 \mathrm{~mol} = 0.001 \mathrm{~kmol} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 0.001 \ \frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{mol}} \\ 1 \mathrm{N} = 1 \ \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 1 \ \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{aligned} \nonumber \]
У лівій колонці показано співвідношення еквівалентності з довідника, а праворуч — коефіцієнти перетворення одиниць. Зверніть увагу, як було б математично неправильно просто скинути символи одиниці.
Приклад B.2 ілюструє, як виконати просте перетворення одиниць для тиску, тепер, коли ми маємо коефіцієнти перетворення одиниць.
З огляду на тиск\(13.0 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2}\), перетворити тиск в\(\mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{2}\).
\[ p = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} \times \left(12 \ \frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}}\right)^{2} = 1872.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^{2}} \nonumber \]
Тепер перетворіть значення тиску в\(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\).
\[p = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} \times \underbrace{\left(4.448 \ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{lbf}}\right)}_{1} \times \underbrace{\left(\frac{1 \mathrm{~in}}{0.0254 \mathrm{~m}}\right)^{2}}_{1} = 89,627 \ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}} \nonumber \]
Якщо все зроблено, правильно проміжні вузли слід скасувати. Перевірте це, малюючи лінії через одиниці, які скасовують.
Приклад B.2 є відносно простим. Однак іноді ви стикаєтеся з одиничним перетворенням, яке, здається, є як одиницею, так і перетворенням виміру. Однак перетворити розміри неможливо. Приклад B.3 демонструє цей тип перетворення одиниць.
Кінетична енергія на одиницю маси для бейсболу може бути описана виразом\(k e=(1 / 2) V^{2}\). Обчисліть кінетичну енергію на одиницю маси в кілоджоулі на кілограм, якщо швидкість бейсболу дорівнює\(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
\[\begin{aligned} ke &= \frac{\mathrm{V}^{2}}{2} = \frac{\left(10 \ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^{2}}{2} = 50 \ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \\[5pt] &= 50 \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \times \underbrace{\left[\frac{\left(\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right)}{\left(\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right)}\right]}_{1} = \left[50 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right] \times \left[\frac{\dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}}{\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}}\right] = 50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \times \frac{\left[\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right]}{\mathrm{kJ}} \\[5pt] &= 50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \times \frac{\left[\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right]}{\mathrm{kJ}} \times \underbrace{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{1000 \mathrm{~J}} \right]}_{1} \times \underbrace{\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}}\right]}_{1} \times \underbrace{\left[ \frac{\mathrm{N}}{\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \right]}_{1} = 0.050 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]
Процедура тут полягала в тому, щоб помножити обчислену величину у другому рядку на коефіцієнт перетворення одиниць, сформований з бажаних кінцевих одиниць. Тоді це було лише питання масажу одиниць, поки ми не усунули всі, крім бажаних комбінацій. Якщо цього досягти не вдалося, то запропонована конверсія дійсно є перетворенням розмірів, і це неможливо.
B.4 Обробка одиниць у рівняннях
Помилки одиниці також можуть виникати в рівняннях, коли ви підставляєте числові значення в символьні рівняння. Щоб запобігти цьому типу помилок, слід виконати три кроки:
- завжди записуйте одиниці з числом, коли ви підставляєте числове значення,
- запишіть коефіцієнти перетворення одиниць і покажіть алгебру, яка скасовує одиниці, і
- показати перетворення одиниць як окремий крок.
Останній крок не завжди необхідний, але це завжди гарна ідея, коли перетворення складні. Крім того, це корисний крок для новачків. Цей підхід продемонстровано на прикладі В.4.
Резервуар містить\(15 \mathrm{~mol}\) ідеальний газ. Тиск в баку є\(1500 \mathrm{~kPa}\) і обсяг бака є\(10 \mathrm{~m}^3\). Ідеальною газовою константою є\(8.314 \mathrm{~kJ} / ( \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K})\). Визначаємо температуру газу в баку.
\[ \begin{aligned} & \text{The ideal gas equation is } pV = n \bar{R} T. \\ & \text{We solve for } T = \frac{pV}{n \bar{R}} \\ &\therefore T = \frac{pV}{n \bar{R}} = \frac{(1500 \mathrm{~kPa}) \times \left(10 \mathrm{~m}^{3}\right)}{(15 \mathrm{~kmol}) \times \left(8.314 \ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K}}\right)} = \frac{15000 \ \mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^{3}}{124.71 \ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}} \times \underbrace{\left[ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^{3}} \right]}_{1} = 120.3 \mathrm{~K} \end{aligned} \nonumber \]
Знову ж таки, перевірка полягає в тому, щоб перевірити, чи скасовують відповідні одиниці.
B.5 Вага і маса
Люди часто плутають терміни вага і маса. Вага предмета - це сила, що чиниться земним гравітаційним полем на об'єкт. Математично\(W=m g\), де\(m\) знаходиться маса об'єкта і\(g\) місцева напруженість гравітаційного поля. Локальну напруженість гравітаційного поля також називають локальним прискоренням сили тяжіння.
Стандартними значеннями для локальної напруженості гравітаційного поля є\[g = 9.80665 \mathrm{~N} / \mathrm{kg} = 32.174 \mathrm{~lbf} / \mathrm{slug} = 1.000 \mathrm{~lbf} / \mathrm{lbm}. \nonumber \]
Стандартними значеннями для локального прискорення сили тяжіння є\[g = 9.80665 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} = 32.174 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2} . \nonumber \]
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ: Чому ці дві інтерпретації\(g\) придумують подібні цифри, але різні одиниці?
Значну частину плутанини щодо маси і ваги можна безпосередньо віднести до того, що маса і сила одиниць в американській інженерній системі обидва називаються «фунтами». Щоб усунути цю проблему, настійно рекомендується говорити лише про фунт-силу\((\mathrm{lbf})\) або фунт-масу\((\mathrm{lbm})\). Ви б ніколи не сплутали ньютон з кілограмом, але тоді вони мають різні назви. На жаль, ви все ще знайдете «фунт» і «»\(\mathrm{lb}\) часто використовуються для означають як масу, так і вагу. Завжди підходьте до «фунтів» з обережністю при виконанні розрахунків. Пам'ятайте, що вага об'єкта завжди є функцією локальної напруженості гравітаційного поля, але його маса не залежить від гравітаційного поля.
B.6 Проблеми
Обчисліть величину фізичних величин в зазначених одиницях. Показати всі ваші роботи, тобто явно показати використання коефіцієнтів перетворення одиниць і те, як одиниці скасування. Якщо неможливо зробити зазначені конверсії, будь ласка, вкажіть причини, чому ви вважаєте, що це так. [Підказка: Часто доводиться розбивати вторинну одиницю на її первинні одиниці або інші вторинні одиниці в процесі перетворення на бажані вторинні одиниці. Див. Приклад B.3 у Додатку B приміток ES201.]
(а) Тиск:\(100 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2} = \text{_______________ } \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2} = \mathrm{bar}\)
б) Енергія на одиницю маси:\(2000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{slug} = \text{_______________ } \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm} = \text{_______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \)
c) Твір тиску та об'єму: [»\(\text{psi}\) "дорівнює «фунтів-сила на квадратний дюйм,»\(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}\)]
\(3000 \mathrm{~psi} \cdot \mathrm{ft} = \text{_______________ } \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} = \text{_______________ } \mathrm{N} / \mathrm{kg} \)
На одній з місячних висадок астронавти збирали місячні скелі для вивчення ще на землі. Вага порід, виміряний на Місяці, був\(50 \mathrm{~lbf}\). Сила тяжіння на Місяці - це\(1 / 6\) величина на землі. (Багато разів це стверджується як «Прискорення гравітації на\(1 / 6\) Місяці - це значення на землі».)
(а) Визначте масу порід, зібраних на Місяці, в слимаках\(\mathrm{lbm}\) і в слимаках.
(б) Визначити масу і вагу гірських порід назад на землю, в\(\mathrm{lbm}\) і\(\mathrm{lbf}\), відповідно.
(c) Газетний звіт з пізнішої посадки на Місяць повідомляє, що астронавти зібрали «200 фунтів гірських порід». Яка, якщо така є, додаткова інформація вам знадобиться для того, щоб фактично вказати кількість порід, які вони привезли назад? (Будьте обережні, роблячи неявні припущення.)
Одиниці для фізичної величини часто можуть здаватися суперечить опису, який використовується для них. Хорошим прикладом є загальні одиниці для «енергії на одиницю маси». Показуючи всі кроки, розробте та перевірте наступний коефіцієнт перетворення:\(1 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm} = 32.174 \mathrm{~ft}^{2} / \mathrm{s}^{2}\).
Зверніть увагу, що обидва\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\) і\(\mathrm{ft}^{2} / \mathrm{s}^{2}\) є правильними одиницями для\([\mathrm{energy}] / [\mathrm{mass}]\).
Обчисліть величину фізичних величин в зазначених одиницях. Покажіть всі свої роботи. [Не шукайте лише один коефіцієнт перетворення одиниці в таблиці.] Якщо неможливо зробити зазначені конверсії, будь ласка, вкажіть причини, чому ви вважаєте, що це так.
а) Динамічна в'язкість:\(15 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}) = \text{________________ } \mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s} = \text{_______________ } \mathrm{slug} / \mathrm{ft} \cdot \mathrm{s} \)
б) Тиск:\(100 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2} = \text{________________ } \mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{2} = \text{________________ } \mathrm{bar}\)
в) Енергія на одиницю маси:\(2000 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{slug} = \text{______________ } \mathrm{ft}^{2} / \mathrm{s}^{2} = \text{______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \)
г) Твір тиску та питомий об'єм:
\(3000 \mathrm{~bar} \cdot \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg} = \text{______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} = \text{________________ } \mathrm{Btu} / \mathrm{s}\)
Наступні одиничні коефіцієнти еквівалентності для моменту інерції були скопійовані зі стандартного підручника керування:\ [1\ mathrm {~lb}\ cdot\ mathrm {in}\ cdot\ mathrm {s} ^ {2} ^ {2} ^ {2}}\ quad\ mathrm {}\ quad 1\ mathrm {~g}\ cdot\ mathrm {см}\ cdot\ mathrm {s} ^ {2} =980
\ mathrm {~g}\ cdot\ mathrm {см} ^ {2}\ номер\]
Швидке обстеження, здається, вказує на деякі дивні результати, які є розмірно неузгодженими, наприклад\(1 \mathrm{~in} \cdot \mathrm{s}^{2} = 386 \(\mathrm{~in}^{2}\) і\(1 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{s}^{2}=980 \mathrm{~cm}^{2}\). Як це може бути? Що робити, якщо автор розрізняв\(\mathrm{lbf}\) (фунт-сила) і\(\mathrm{lbm}\) (фунт-маса) і між\(\mathrm{g}_{\mathrm{f}}\) (грам-сила) і\(\mathrm{g}_{\mathrm{m}}\) (грам-маса)? Чи зробило б це вирази вище розмірно правильними? Будь ласка, поясніть.
Місячний десантний корабель має масу\(5000 \mathrm{~lbm}\) на поверхні землі.
(а) Визначте наступну інформацію, коли об'єкт знаходиться на поверхні землі:
- вага об'єкта в\(\mathrm{lbf}\)
- маса маси об'єкта в слимаках
(б) Визначте наступну інформацію для об'єкта, коли він сидить на поверхні Місяця, якщо сила тяжіння на Місяці має\(1 / 6\) значення на землі:
- вага об'єкта в\(\mathrm{lbf}\)
- маса об'єкта в\(\mathrm{lbm}\) і слимаків
(c) Нечасто використовувана одиниця сили, фундаль, визначається наступним виразом:\[1 \text { poundal } = 1 \mathrm{~lbm} \cdot \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2} \nonumber \] Визначте вагу предмета в фундалах, коли він знаходиться на поверхні землі і поверхні Місяця.
Місячний десантний корабель має масу\(5000 \mathrm{~kg}\) на поверхні землі.
(а) Визначте наступну інформацію, коли об'єкт знаходиться на поверхні землі:
- вага об'єкта в ньютонах
- маса маси предмета в кілограмах.
(б) Визначте наступну інформацію для об'єкта, коли він сидить на поверхні Місяця, якщо сила тяжіння на Місяці має\(1 / 6\) значення на землі:
- вага об'єкта в ньютонах
- маса предмета в кілограмах.
(c) Хоча це не стандартна одиниця виміру, іноді ви знайдете сили, виражені через кілограм сили, наприклад\(1 \mathrm{~kgf}=9.81 \mathrm{~kg} \cdot\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\). Визначте вагу предмета в тому випадку,\(\mathrm{kgf}\) коли він знаходиться на поверхні землі і поверхні Місяця.
Інженери часто визначають одиниці, які полегшують їх життя і спрощують розрахунки. Обчисліть величину фізичних величин в зазначених одиницях. Зверніться до хорошого інженерного посібника, щоб знайти одиниці термінів, з якими ви незнайомі. Покажіть всі свої роботи. [Не шукайте лише один коефіцієнт перетворення одиниці в таблиці.] Якщо неможливо зробити зазначені конверсії, будь ласка, вкажіть причини, чому ви вважаєте, що це так.
(a) Одиниця маси:\(1 \mathrm{~blob} = 1 \mathrm{~lbf} / \left(\mathrm{in} / \mathrm{s}^{2} \right)\)
\(100 \mathrm{~blobs} = \text{_______________ } \mathrm{lbm} = \text{_______________ } \mathrm{kg}\)
(b) Одиниці об'єму:\(\text{acre-foot}\)
\(10 \text{ acre-foot} = \text{_______________ } \mathrm{ft}^{3} = \text{_______________ } \mathrm{gal}\)
(c) Одиниця площі:\(\text{circular mils}\)
\(1000 \text{ circular mils} = \text{_______________ } \mathrm{in}^{2} = \text{_______________ } \mathrm{mm}^{2}\)
(d) Одиниця електричного опору:\(\mathrm{microhms} \text{-} \mathrm{cm}\)
\(1000 \text{ microhms-cm} = \text{_______________ } \text{ohms-in} = \text{_______________ } \text{volt-cm} / \mathrm{amp}\)
(е) Одиниця електричної індуктивності:\(1 \mathrm{~henry} = 1 \text{volt-s} / \mathrm{amp}\)
\(100 \mathrm{~henrys} = \text{_________________ } \mathrm{joule} / \mathrm{amp}^{2} = \text{_________________ } \text{hp-s}^{3} / \mathrm{coulomb}^{2}\)
Одиниці енергії і потужності часто зустрічаються в самих різних формах. Обчисліть величину фізичних величин в зазначених одиницях. Покажіть всі свої роботи. [Не шукайте лише один коефіцієнт перетворення одиниці в таблиці.] Якщо неможливо зробити зазначені конверсії, будь ласка, вкажіть причини, чому ви вважаєте, що це так.
(а)\(100 \mathrm{~hp} = \text{_______________ } \mathrm{kW} = \text{_______________ } \mathrm{J} / \mathrm{s}\)
(б)\(100 \text{ kW-h} = \text{_______________ } \text{hp-s} = \text{_______________ } \mathrm{J}\)
(c)\(1000 \text{ lbf-in}^{3} = \text{_______________ bar-cm}^{2} = \text{_______________ ft-lbf}\)
(г)\(1000 \mathrm{~J} = \text{_______________ N-m} = \text{_______________ Btu-h}\)
(е)\(1000 \mathrm{~Btu} = \text{_______________ J-ft} = \text{_______________ hp-h}\)