3.1: Чотири питання

При розробці рівняння бухгалтерського обліку або балансу для нового майна виникає чотири питання, на які необхідно відповісти:

1. Що це таке?
2. Як його можна зберігати в системі?
3. Як його можна транспортувати через межу системи?
4. Як його можна генерувати або споживати?

У цьому розділі ми будемо використовувати ці питання, щоб направляти нас, коли ми розробляємо баланс маси, побудований на фундаментальному фізичному принципі збереження маси.

3.1.1 Що таке маса?

Масу можна описати різними способами. Ньютон описав його як «міру інерції» тіла; однак це не дуже корисно без визначення інерції. Аналогічно, ми могли б визначити це як кількість речовини; однак, це також несправно саме тому, що нехтує ідеєю інерції.

Ця проблема визначення є поширеною в науці і мові в цілому. Будь-яке визначення має бути необхідним, спиратися на інші слова, які, як передбачається, розуміються. У науці та техніці ми будемо використовувати оперативне визначення, щоб забезпечити точне визначення нового терміна або поняття. Оперативне визначення - це серія кроків або операцій, які необхідно виконати для визначення кількості або поняття, про яку йде мова.

Використовуючи такий підхід, масу будь-якого об'єкта можна було б описати з точки зору маси стандартного або еталонного об'єкта:

Маса: З точки зору гравітаційної маси еталонного об'єкта

Ставлення гравітаційної маси об'єкта до гравітаційної маси стандартного або еталонного об'єкта дорівнює відношенню ваги об'єкта невідомої маси до ваги стандартного об'єкта.

Дане визначення передбачає, що розуміється поняття ваги. Альтернативне визначення може бути розроблено з другого закону Ньютона, який пов'язує силу\(\vec{F}\), масу системи\(m\) і прискорення\(\vec{a}\),\(\vec{F} = m \vec{a}\):

Маса: За інерційною масою еталонного об'єкта

Ставлення інерційної маси об'єкта до інерційної маси стандартного або еталонного об'єкта дорівнює відношенню прискорення об'єкта до прискорення опорного об'єкта, коли обидва об'єкти піддаються однаковій силі.

Як ви дізналися з фізики, інерційна маса і гравітаційна маса об'єкта рівні. Для наших цілей ми візьмемо визначення маси як невизначений термін і покладаємося на ваш фон з фізики.

3.1.2 Як можна зберігати масу в системі?

Маса - це внутрішня властивість матерії. Будь-яка система, яка містить речовину, має масу. Якщо маса частинки є\(m_i\), то маса системи частинок\(m_{sys}\) дорівнює сумі маси окремих частинок:

\[ m_{sys} = \sum_{i=1}^n m_i \nonumber \]

Оскільки маса системи залежить від кількості частинок (або ступеня) системи, ми визнаємо, що маса також є великою властивістю.

Більш загально, масу системи можна знайти шляхом інтеграції щільності маси\(\rho\) над об'ємом системи\(V_{sys}\).

\[ m_{sys} = \int \limits_{V_{sys}} \rho \, dV \nonumber \]

Масова щільність або частіше просто щільність речовини визначається як маса на одиницю об'єму. Оскільки він має значення в точці, щільність є інтенсивною властивістю. Розміри щільності становлять\([\text{M}]/[\text{L}]^3\). Типові одиниці щільності знаходяться\(\text{kg/m}^3\) в СІ і\(\text{lb} \cdot \text{m/ft}^3\) в УСК.

Взагалі речовини можна класифікувати як нестисливі, так і стисливі. Нестисливе речовина - це та, щільність якого постійна щодо як простору, так і часу. По-справжньому нестисливих речовин немає; однак багато речовин можуть бути змодельовані як нестисливі за певних умов. Наприклад, гідравлічна рідина у ваших автомобільних гальмівних магістрах по суті нестислива. Те ж саме стосується більшості рідин і твердих речовин. Сжимається речовина - це та, щільність якого може значно змінюватися під час зміни стану. До цієї категорії потрапляють гази і пари.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Система

Щоб краще зрозуміти значення цього простого співвідношення, розглянемо систему і систему координат на малюнку 3-1. Залежно від того, відкрита це або закрита система, маса системи може змінюватися з часом. Математично ми б сказали, що маса системи залежить від часу,\(m_{sys} = m_{sys}(t)\). Щільність маси\(\rho\) в будь-якій точці системи може залежати як від її положення, так\((x,y,z)\) і від часу\((t)\), т\(\rho = \rho (x,y,z,t)\). Заміна цих термінів назад в Eq. \(\PageIndex{2}\)у нас є

\[ m_{sys} (t) = \int\limits_{V_{sys}} \rho (x,y,z,t) \, dV \nonumber \]

Зверніть увагу, як інтеграція над системним об'ємом видаляє просторову залежність, залишаючи лише залежність від часу. Зазвичай ми не будемо виписувати просторову та часову залежність, як у Eq. \(\PageIndex{3}\); однак, ви повинні пам'ятати, що ці варіації можуть існувати.

Приклад — Маса в сонячному ставку

Сонячний ставок містить стратифіковану суміш солі та води. Сонячна водойма має прямокутний перетин площею поверхні\(1000 \ \text{m}^2\) і рівномірну глибину\(6 \ \text{m}\). Щільність суміші солоної води змінюється залежно від відстані нижче поверхні\(h\) відповідно до співвідношення\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h/\text{m})^2\) де\(\rho_{H2O} = 998 \text{kg/m}^3\). Визначте масу солоної води в ставку, в кілограмах.

Рішення

Відомо: Сонячний ставок містить стратифіковану суміш солі і води.

Знайти: Маса солоної води в ставку, в\(\text{kg}\).

Аналіз:

Почнемо з математичного співвідношення, яке визначає масу всередині системи з точки зору її масової щільності та об'єму:

\[ m_{sys(t)} = \int\limits_{V_{sys}} \rho _{(x, y, z, t)} \, dV \nonumber \]

Оскільки щільність залежить лише від глибини\(h\), має сенс визначити диференціальний об'єм як\(dV = A_{surface} \ dh\) і межі інтеграції від\(0 \to H\). Поєднання цього з співвідношенням щільності дає

\[ \begin{align*} m_{sys} &= \int\limits_{0}^{H} \rho_{H2O} \left[ 1 + 0.001 \left( \frac{h}{\text{m}} \right) ^2 \right] \underbrace{ \left( A_{surface} \, dh \right) }_{V_{sys}} \\ &= \rho_{H2O} A_{surface} \left. \left[ h + \frac{0.001}{3} \frac{h^3}{\text{m} ^2} \right] \ \right\vert_{0}^{H} \\ &= \rho_{H2O} A_{surface} \left[ H + \frac{0.001}{3} \frac{H^3}{\text{m} ^2} \right] = \underbrace{ \rho_{H2O} \left[ 1 + \frac{0.001}{3} \left( \frac{H}{\text{m}} \right)^2 \right] }_{\rho_{average}} \underbrace{ \left( A_{surface} H \right) }_{V_{sys}} \end{align*} \nonumber \]

Підставляючи в цифри, ми маємо

\[ \begin{align*} m_{pond} &= \left( 998 \frac{ \text{kg} }{ \text{m}^3 } \right) \times \left[ 1 + \frac{0.001}{3} \left( \frac{6 \ \text{m}}{\text{m}} \right)^2 \right] \times \left[ \left( 1000 \ \text{m}^2 \right) \left( 6 \ \text{m} \right) \right] \\ &= \left[ (998) (1 + 0.012) (6000) \right] \left[ \frac{ \text{kg} }{ \text{m}^3 } \cdot \text{m}^2 \cdot \text{m} \right] \\ &= 6.06 \times 10^6 \ \text{kg} \end{align*} \nonumber \]

Коментарі:

1. Зверніть увагу на форму рівняння для щільності. Це рівняння є розмірно однорідним, оскільки воно правильно працює з будь-яким набором одиниць. Якби рівняння було представлено без одиниці виміру у виразі, тобто\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h)^2\) замість того\(\rho / \rho_{H2O} = 1+0.001(h/ \text{m})^2\), рівняння могло б бути використано правильно лише в тому випадку, якщо числові значення завжди\(h\) подавалися в метрах.
2. Також зверніть увагу на те, як розрахунки вперше були зроблені символічно. Це кращий метод для вирішення завдань, оскільки дозволяє відстежувати фізику, не заблукаючи в цифрах. Зверніть увагу, як нам вдалося визначити обсяг ставка\(V_{pond}\), і середню щільність\(\rho_{avg}\), на останньому етапі розрахунку. Постійне з'єднання нашої математики з нашим фізичним розумінням проблеми забезпечує безперервну перевірку нашої роботи.
3. Підставляючи в величину фізичних величин, зверніть увагу\(H\( and \(\rho_{H2O}\), як ми підставляємо як в число, так і в одиницю. Строго кажучи, якби ми залишали одиниці, вираз було б математично неправильним. Одним із підходів до спрощення розрахунків, особливо коли ви маєте справу з незнайомими одиницями, є розділення числових та одиничних обчислень на дві частини, як показано в задачі.

3.1.3 Як можна транспортувати масу через межу системи?

Існує два способи, за допомогою яких маса може перетинати межу системи:

• Грубий рух маси через межу.
• Мікроскопічний рух маси за рахунок молекулярної дифузії.

У цьому курсі ми зупинимося лише на першому механізмі. Зокрема, ми визначимо масову витрату\(\dot{m}\) як часову швидкість, з якою маса перетинає межу. Масова витрата має розміри\([\text{M}]/[\text{T}]\). Типові одиниці знаходяться\(\text{kg/s}\) в СІ, і\(\text{lb m/s}\) або\(\text{slugs/s}\) в УСК.

3.1.4 Як можна створити або знищити масу?

Виходячи з вашого минулого досвіду, як би ви відповіли на це питання? Якщо ви сказали: «Це не може!» ви визнаєте фундаментальний фізичний закон, відомий як Збереження маси. Визнаючи, що маса - це власність, ми можемо констатувати цей закон наступним чином: Маса - це збережена власність.

Зокрема, це означає, що, виключаючи перетворення енергії в масу, неможливо генерувати або споживати масу.

3.1.5 Збираємо все разом

Поєднуючи те, що ми дізналися з перших чотирьох розділів про масу, ми можемо використовувати нашу структуру бухгалтерського обліку або балансу, щоб написати наступне збереження рівняння маси або балансу маси:

\[ \frac{d m_{sys}}{dt} = \sum_{in} \dot{m}_i - \sum_{out} \dot{m}_e \nonumber \]

де перше підсумовування проходить по всіх входах (входах), а друге підсумовування - над усіма виходами (виходами). На словах можна сказати, що

Часова швидкість зміни маси в системі дорівнює сумі масових витрат в систему за вирахуванням суми масових витрат поза системою.

Іншим твердженням може бути

Швидкість накопичення маси всередині системи дорівнює чистому масовому витраті в систему.

Як і в будь-якому з наших рівнянь балансу, зверніть увагу, що всі терміни рівняння балансу мають незалежні визначення і можуть бути розраховані незалежно від інших виразів. Унікальний внесок цього балансу маси та пов'язаного з ним фізичного закону, Збереження маси, полягає в тому, що зараз ми маємо унікальний зв'язок між усіма цими величинами.