3.2: Масова витрата
- Page ID
- 34369
Перш ніж приступити, нам потрібно розробити краще розуміння того, як розрахувати масову витрату. Нагадаємо, що ми раніше визначали масову витрату як часову швидкість, з якою маса перетинає межу системи. Зверніть увагу, що масова витрата насправді має значення лише оскільки стосується межі, для якої вона визначена.
Рисунок\(\PageIndex{1}\): Геометрія потоку через межу системи.
Щоб розрахувати масову витрату, розглянемо швидкість, з якою маса протікає через\(A\) межу системи з площею на рис\(\PageIndex{1}\). За визначенням, масовий витрата з системи визначається рівнянням
\[ \dot{m}_{out} = \int\limits_{A_{sys}} \rho \left( \mathbf{V}_{rel} \cdot \mathbf{n} \right) \, dA \nonumber \]
де
\[ \begin{align*} \rho &= \text{the fluid density,} \\ \mathbf{V}_{rel} &= \text{velocity (a vector) of the mass crossing the boundary measured with respect to the system boundary, and} \\ \mathbf{n} &= \text{is the unit vector normal to the differential area } dA \text{ and pointing out of the system.} \end{align*} \nonumber \]
Ключ до розуміння значення Eq. \(\PageIndex{1}\)полягає в тому, щоб згадати значення простого скалярного або точкового добутку двох векторів. Спочатку нагадаємо, що скалярний або точковий добуток двох векторів виробляє скаляр. Тепер застосування визначення цієї операції до одиничного вектора нормалі та вектору швидкості дає:
Малюнок\(\PageIndex{2}\): Визначення точкового добутку\(\vec{V}_{rel}\) і\(\hat{n}\).
\[ \begin{align*} V_{rel, n} &= |\mathbf{V}_{rel, n}| \\ &= \mathbf{V} \cdot \mathbf{n} = |\mathbf{V}| |\mathbf{n}| \cos \theta \\ &= \text{normal velocity of the mass relative to the boundary surface} \end{align*} \nonumber \]
Використовуючи цей результат, вираз масової витрати можна записати як
\[ \dot{m} = \int\limits_{A_{sys}} \rho V_{rel, n} \, dA \nonumber \]
Загалом, щільність\(\rho\) і нормальна швидкість\(V_{rel,n}\) можуть змінюватися в залежності від положення на граничній поверхні. Також зауважте, що ми скинули «out» індекс, оскільки наше спостереження за\(V_{rel,n}\) напрямком щодо системи визначає, чи є масова витрата в систему або поза нею.
Існують численні моделюючі припущення, які використовуються для опису поведінки реальних систем при побудові математичних моделей. Якщо потік має рівномірну щільність на кордоні потоку, то щільність просторово рівномірна на кордоні потоку. За цих умов,
\[ \dot{m} = \int\limits_{A_c} \rho V_{rel, n} \, dA = \rho \underbrace{ \int\limits_{A_c} V_{rel, n} \, dA } _{= \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }} = \rho \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }, \nonumber \]
більш просто виражається як
\[ \dot{m} = \rho \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } \quad \text{(uniform density)} \nonumber \]
де інтегралом відносної нормальної швидкості по площі поперечного перерізу потоку є об'ємна витрата,\(\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }\). Розміри об'ємної витрати є,\([\text{L}]^3/[\text{T}]\) а типові одиниці знаходяться\(\text{m}^3/\text{s}\) в СІ і\(\text{ft}^3/\text{s}\) в АЕС. Існує багато інших часто використовуваних одиниць для об'ємного витрати, включаючи галони на хв (\(\text{gpm}\)) та кубічні фути в хв (\(\text{cfm}\)).
Якщо обмежитися плоскими (плоскими) кордонами течії, то можливі кілька додаткових спрощень. Якщо потік на кордоні має рівномірну швидкість і рівномірну щільність, і щільність, і відносна швидкість виходять за межі інтеграла, і масова витрата стає
\[ \dot{m} = \rho A_c V_n \nonumber \]
Це одна з найбільш часто використовуваних форм для розрахунку масової витрати. Зверніть увагу, що ми скинули індекс «rel», щоб спростити позначення; однак вас попереджають, що всі масові та об'ємні витрати повинні бути розраховані щодо межі потоку. Для умов потоку, де щільність і нормальна швидкість змінюються в поперечному перерізі потоку, звичайною практикою є розбивання поперечного перерізу потоку на багато дрібних елементів, де Eq. \(\PageIndex{4}\)застосовується, а потім підсумовує результати, наприклад\(\dot{m} = \sum_{j} \left( \rho A_c V_{rel, n} \right) _j \). У багатьох випадках швидкість буде змінюватися в поперечному перерізі, але щільність буде відносно рівномірною. У цих умовах часто корисно записувати масову витрату з точки зору середньої швидкості\(V_{n, avg}\).
\[ \dot{m} = \rho A_c V_{n, avg} \quad \text{where } V_{n, avg} = \frac{ \dot{m} }{\rho A_c} = \frac{ \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } }{A_c} \nonumber \]
Повітря стабільно надходить по опалювальному каналу з квадратним перетином\(2H \times 2H\). Виміряний профіль швидкості по площі поперечного перерізу може бути описаний математично через положення в повітроводі\((x, \, y)\) і швидкість осьової лінії\(V_o\) (швидкість при (0,0)).
\[ V_n = V_o \left[ 1 - \left( \frac{x}{H} \right)^2 \right] \left[ 1 - \left( \frac{y}{H} \right)^2 \right] \nonumber \]
Визначте:
(а) об'ємний витрата, в\(\text{m}^3/\text{s}\), якщо\(V_o = 10 \text{m/s}\) і\(H = 0.3 \text{m}\), і
(б) відношення\(V_{avg}\) до\(V_o\).
Рішення
Відомо: Повітря тече в квадратному повітроводі із заданим профілем швидкості.
Знайти: (а) Об'ємний витрата, якщо\(V_o = 10 \text{m/s}\) і\(H = 0.3 \text{m}\). (b) Співвідношення\(V_{avg}\) до\(V_o\).
Задано: Ескіз і профіль швидкості показані вище.
Аналіз: Стратегія\(\rightarrow\) Оскільки дані Vn та площа, використовуйте визначення об'ємного витрати. Почнемо з визначення об'ємного витрати
\[ \begin{align*} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } &= \int\limits_{A_c} V_n \, dA \quad \text{where } dA = dx \ dy \\ &= \int\limits_{-H}^{H} \int\limits_{-H}^{H} \underbrace{ V_o \left[ 1 - \left( \frac{x}{H} \right)^2 \right] \left[ 1 - \left( \frac{y}{H} \right)^2 \right] }_{V_n} \, \underbrace{ dx \ dy }_{dA} \end{align*} \nonumber \]
Виводячи\(V_o\) за межі інтегралу та використовуючи симетрію для зміни меж інтеграції, ми маємо
\[ \dot{V} = 4 V_o \int\limits_{0}^{H} \int\limits_{0}^{H} \underbrace{ \left[ 1 - \left( \frac{x}{H} \right)^2 \right] \left[ 1 - \left( \frac{y}{H} \right)^2 \right] }_{V_n} \underbrace{ dx \ dy }_{dA} \nonumber \]
Інтеграція спочатку по відношенню до\(x\) -осі дає
\[ \int\limits_{0}^{H} \left[ 1 - \left( \frac{x}{H} \right)^2 \right] \ dx = \left[ x - \frac{1}{3} \frac{x^3}{H^2} \right]_0^H = \frac{2}{3} H \nonumber \]
Підставляючи назад в повний інтеграл і інтеграція по відношенню до\(y\) дає
\[ \begin{align*} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } &= 4 V_o \left( \frac{2}{3} H \right) \int\limits_{0}^{H} \left[ 1 - \left( \frac{y}{H} \right)^2 \right] \ dy = 4 V_o \left( \frac{2}{3} H \right) \left[ y - \frac{1}{3} \frac{y^3}{H^2} \right]_0^H = 4 V_o \left[ \frac{2}{3} H \right]^2 \\ &= \frac{16}{9} H^2 V_o \end{align*} \nonumber \]
Підстановка чисел в цей вираз дає об'ємну витрату як
\[ \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } = \frac{16}{9} \left( 0.3 \ \text{m} \right)^2 \left( 10 \ \frac{ \text{m} }{ \text{s} } \right) = 1.6 \ \text{m}^3 / \text{s} \nonumber \]
Тепер, щоб знайти відношення середньої до осьової швидкості, скористайтеся визначенням середньої швидкості:
\[ V_{avg} = \frac{ \dot{m} }{\rho A_c} = \frac{\dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- }}{A_c} = \frac{ \frac{16}{9} H^2 V_o }{ \left[ 2H \right]^2 } = \frac{4}{9} V_o \nonumber \]
Таким чином, середня швидкість\(\dfrac{4}{9}\) дорівнює швидкості центральної лінії.
Вода стабільно тече в річці. Перетин річки показано на малюнку нижче. Крім того, також показані поверхневі швидкості, виміряні, спостерігаючи за тим, як шматки дерева плавають нижче за течією.
Обчисліть (а) об'ємну витрату в\(\text{ft}^3/ \text{s}\) і (b) масову витрату, якщо щільність води дорівнює\(62.4 \ \text{lbm/ft}^3\).
Рішення
Відомі: Швидкості на поверхні річки і глибина річки в кожній локації.
Знайти: Об'ємний\(\text{ft}^3/\text{s}\) витрата в і масовий витрата, якщо\(\rho = 62.4 \text{lbm/ft}^3\).
Задано: Глибина каналу і швидкість поверхні наведені на малюнку вище.
Аналіз:
Стратегія Повинні\(\rightarrow\) бути в змозі застосовувати визначальне рівняння для об'ємного та масового витрати.
Припустімо, що\(\rightarrow \) швидкість рівномірна зверху вниз каналу. Визначальним рівнянням об'ємного витрати є
\[ \begin{align*} \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } &= \int\limits_{A_{surface}} V_n \, dA \\ &\simeq \sum_{i=1}^{N} A_{i} V_{avg, \ i} \simeq \sum_{i=1}^{N}\left(h_{i} \Delta x_{i}\right) V_{avg, \ i} \end{align*} \nonumber \]
Щоб виконати необхідну інтеграцію чисельно, ми можемо налаштувати таблицю:
| \(i\) | \(x \,\, (\text{ft})\) | \(V_n \,\, (\text{ft/s})\) | \(\Delta x\,\, (\text{ft})\) | \(h_i\,\, (\text{ft})\) | \(V_n (h \Delta x)\,\,(\text{ft}^3/\text{s})\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \ (i\) ">\(1\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(2.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(2.5\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(2.5\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(31.25\) |
| \ (i\) ">\(2\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(7.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(7.5\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(8.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(300.00\) |
| \ (i\) ">\(3\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(12.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(11.25\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(12.5\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(703.10\) |
| \ (i\) ">\(4\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(17.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(13.75\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(16.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(1100.00\) |
| \ (i\) ">\(5\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(22.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(15.0\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(18.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(1350.00\) |
| \ (i\) ">\(6\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(27.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(15.0\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(26.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(1950.00\) |
| \ (i\) ">\(7\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(32.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(15.0\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(37.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(2775.00\) |
| \ (i\) ">\(8\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(37.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(15.0\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(42.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(3150.00\) |
| \ (i\) ">\(9\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(42.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(15.0\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(36.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(2700.00\) |
| \ (i\) ">\(10\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(47.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(12.5\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(25.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(1562.50\) |
| \ (i\) ">\(11\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(52.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(7.5\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(15.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(562.50\) |
| \ (i\) ">\(12\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) ">\(57.5\) | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) ">\(2.5\) | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) ">\(5\) | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) ">\(5.0\) | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(62.50\) |
| \ (i\) ">\(.\) | \ (x\,\, (\ текст {ft})\) "> | \ (v_n\,\, (\ текст {ft/s})\) "> | \ (\ Дельта x\,\, (\ text {ft})\) "> | \ (h_i\,\, (\ текст {ft})\) "> | \ (v_n (h\ дельта х)\,\, (\ текст {ft} ^3/\ текст {s})\) ">\(16246.85\) |
Таким чином, середня об'ємна витрата\[ \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } = 16.2 \times 10^3 \, \text{ft}^3/\text{s} \nonumber \]
Масову витрату можна знайти, помноживши щільність води на об'ємну витрату:
\[\dot{m} =\rho \dot{ V\kern-0.8em\raise0.3ex- } = \left(62.4 \ \frac{\mathrm{lb}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{ft}^{3}}\right) \left(16200 \ \frac{\mathrm{ft}^{3}}{\mathrm{~s}} \right) = 1.01 \times 10^{6} \ \frac{\mathrm{lb}_{\mathrm{m}}}{\mathrm{s}} \nonumber \]
Коментар: Якщо ми визнаємо, що швидкість максимальна на вільній поверхні і нуль внизу, кращу оцінку можна отримати, якщо припустити, що середня швидкість становить деяку частку кількості на вільній поверхні. Наприклад, якщо припустити, що середня швидкість має\(4 / 5\) максимальну швидкість, то фактичний об'ємний витрата дорівнює\(13.0 \times 10^{3} \, \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{s}\).