Search

1.4: Абстракція. Що таке група?
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/01%3A_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/1.04%3A_%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%86%D1%96%D1%8F._%D0%A9%D0%BE_%D1%82%D0%B0%D0%BA%D0%B5_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B0%3F
Ви можете собі уявити, що набір з трьох ананасів, або набір з трьох чоловік, або набір з трьох пляшок. Так само, як число описує всі множини з певною кількістю речей в ньому, дана група описує всі об'...Ви можете собі уявити, що набір з трьох ананасів, або набір з трьох чоловік, або набір з трьох пляшок. Так само, як число описує всі множини з певною кількістю речей в ньому, дана група описує всі об'єкти з певним видом симетрії. Так само симетричний многочлен $f(x,y)=x+y$ має дві симетрії, одну від залишення в $f$ спокої, а одну від обміну двома змінними $x$ і $y$ . Якщо ми думаємо про перемикання $x$ і $y$ як відображення, ми бачимо, що обличчя і многочлен якось мають однакову симетрію!
6.3: Підрахунок
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/06%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B4%D1%96%D1%97/6.03%3A_%D0%9F%D1%96%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%85%D1%83%D0%BD%D0%BE%D0%BA
First notice that the sum of the size of the fixed sets $S^g$ is equal to the sum of the size of the stabilizer groups $G_s$ : Both are counting the number of pairs $(g,s)$ such that \(g\cdot s=s...First notice that the sum of the size of the fixed sets $S^g$ is equal to the sum of the size of the stabilizer groups $G_s$ : Both are counting the number of pairs $(g,s)$ such that $g\cdot s=s$ . $\sum_{g\in G} |S^g| = \sum_{s\in S} |G_s|$ $= \sum_{s\in S} |G|/\mathord |G\cdot s|$ $= |G| \sum_{s\in S} \frac{1}{|G\cdot s|}$ $= |G| \sum_{S/\mathord G} 1$ $= |G| |S/\mathord G|$
2: Групи I
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8_I
Ми даємо точне визначення групи і досліджуємо деякі різні групи в контексті цього визначення. Дописувачі та атрибуція Template:ContribDenton
1.3: Симетричні многочлени
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/01%3A_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D1%96%D1%8F/1.03%3A_%D0%A1%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D1%96_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8
f - симетричний многочлен, якщо кожен спосіб перемикання навколо (тобто перестановки) змінних залишає однакові.
6.1: Групові дії
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/06%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B4%D1%96%D1%97/6.01%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B4%D1%96%D1%97
Групові дії повертають нас до нашого первісного погляду на групи як заходи симетрії.
8.3: Евклідові домени
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/08%3A_%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D1%8F_II/8.03%3A_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D1%96%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D1%96_%D0%B4%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%B8
Ми можемо зробити щось подібне з многочленами: Дано два поліноми $f$ and $g$ , we can divide $f$ by $g$ and uniquely write $f=Qg+R$ , where $Q$ is a polynomial and $R$ is a polynomial of lo...Ми можемо зробити щось подібне з многочленами: Дано два поліноми $f$ and $g$ , we can divide $f$ by $g$ and uniquely write $f=Qg+R$ , where $Q$ is a polynomial and $R$ is a polynomial of lower degree than $g$ . Кінцевий коефіцієнт, $q_k$ divides both $g$ and $f$ : You can see this by writing $f=q_0g+r_0$ , and then expanding $r_0$ : $f=q_0(q_1r_0 + r_1)+r_0$ .
Передмова
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/00%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BD%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80%D1%96%D1%8F/04%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%BC%D0%BE%D0%B2%D0%B0
Математична освіта в Кенії важка на обчислення (це відносно легше викладати та оцінювати), але часто не вистачає, коли справа доходить до навчання студентів творчо мислити про математику та справді ро...Математична освіта в Кенії важка на обчислення (це відносно легше викладати та оцінювати), але часто не вистачає, коли справа доходить до навчання студентів творчо мислити про математику та справді розуміти предмет, який він стосується світу поза тестом. З іншого боку, ці ж учні зазвичай дуже готові до більш творчого підходу до математики: хороші навички в розрахунку забезпечують хоча б хорошу інтуїцію для роботи з числами, і дають хороший фундамент, з якого потрібно будувати.
8: Кільця II
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/08%3A_%D0%9A%D1%96%D0%BB%D1%8C%D1%86%D1%8F_II
При роботі з різними кільцями (і різними видами кілець) швидко виникають питання про те, які знайомі властивості одного кільця можуть переноситися на інше. Щоб проілюструвати таке питання, ми проведем...При роботі з різними кільцями (і різними видами кілець) швидко виникають питання про те, які знайомі властивості одного кільця можуть переноситися на інше. Щоб проілюструвати таке питання, ми проведемо цю главу, говорячи про поділ. Дописувачі та атрибуція Template:ContribDenton
2.4: Перестановки
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/02%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8_I/2.04%3A_%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B0%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B8
Перестановка $n$ distinct objects is just a listing of the objects in some order. For example, $[c,b,a]$ is a permutation of the set $\{a,b,c\}$ of three objects. From our mathematical point of v...Перестановка $n$ distinct objects is just a listing of the objects in some order. For example, $[c,b,a]$ is a permutation of the set $\{a,b,c\}$ of three objects. From our mathematical point of view, the objects we use don't actually matter; all we care about is the order they are arranged in. You can think of each number as just counting the objects involved: first object, second object, $n$ th object.
5.4: Класифікація скінченних груп
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/05%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8_IV/5.04%3A_%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D0%B8%D1%84%D1%96%D0%BA%D0%B0%D1%86%D1%96%D1%8F_%D1%81%D0%BA%D1%96%D0%BD%D1%87%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D0%B3%D1%80%D1%83%D0%BF
Ми можемо повторювати цю процедуру до нескінченності (взявши $x$ in $A_1$ and writing $A_1$ as a product, and so on), until we obtain a decomposition \(A=\mathbb{Z}_{m_1}\otimes \mathbb{Z}_{m_k}\...Ми можемо повторювати цю процедуру до нескінченності (взявши $x$ in $A_1$ and writing $A_1$ as a product, and so on), until we obtain a decomposition $A=\mathbb{Z}_{m_1}\otimes \mathbb{Z}_{m_k}$ , a product of cyclic groups. В основному, хоча, групи типу Lie - це певні групи матриць із записами з скінченного поля, які ми побачимо в наступному розділі. «Спорадичні» групи - це лише ті групи, які не вписуються ні в один з трьох інших класів!
5.3: Теорема ізоморфізму
https://ukrayinska.libretexts.org/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%90%D0%B1%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BA%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%82%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%B0_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0/%D0%92%D1%81%D1%82%D1%83%D0%BF_%D0%B4%D0%BE_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%97%D1%87%D0%BD%D0%B8%D1%85_%D1%81%D1%82%D1%80%D1%83%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80_(Denton)/05%3A_%D0%93%D1%80%D1%83%D0%BF%D0%B8_IV/5.03%3A_%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D1%96%D0%B7%D0%BE%D0%BC%D0%BE%D1%80%D1%84%D1%96%D0%B7%D0%BC%D1%83
Indeed, in any coset $gK$ all elements map to the same element of the image. $\rho(gk)=\rho(g)\rho(k)=\rho(g)1=\rho(g)$ for any $k\in K$ . Карта $\phi$ is onto, since any element in the image ma...Indeed, in any coset $gK$ all elements map to the same element of the image. $\rho(gk)=\rho(g)\rho(k)=\rho(g)1=\rho(g)$ for any $k\in K$ . Карта $\phi$ is onto, since any element in the image may be written as $\rho(g)$ for some $g$ , which is also the image of $gK$ under $\phi$ . Третя теорема ізоморфізму має особливо приємне твердження: $(G/\mathord N)/\mathord (H/\mathord N) \sim G/\mathord H$ , which one can relate to the the numerical identity