Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

A1: Виведення закону Планка про розподіл

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    26921

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Альберт Ейнштейн розробив простий, але ефективний аналіз індукованого випромінювання та поглинання випромінювання разом із спонтанним випромінюванням, який може бути використаний для отримання формули Планка для теплового випромінювання.

    Розглянемо два енергетичні рівні для молекул в матеріалі. Нижній з двох позначається як\(E_1\) і вище як\(E_2\). Імовірність переходу від рівня 1 до рівня 2 через індуковане поглинання приймається пропорційною щільності енергії на одиницю частотного інтервалу, (\(du/d \nu\)). Аналогічним чином ймовірність індукованого переходу від рівня 2 до рівня 1 також приймається пропорційною (\(du/d\nu\)). Ці дві ймовірності приймаються бути\(B_{12}(du/d\nu)\) і\(B_{21}(du/d\nu)\), відповідно, де\(B_{12}\) і\(B_{21}\) є константами. Імовірність спонтанного випромінювання приймається постійною\(A_{21}\).

    \(N_1\)\(N_2\)Дозволяти і бути кількість молекул в енергетичних станах 1 і 2 відповідно. Для рівноваги кількість переходів від 1 до 2 має дорівнювати числу від 2 до 1; т. Е.

    \[\underbrace{N_1\left[B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)\right]}_{\text{flow up}} = \underbrace{N_2\left[B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu} \right)+ A_{21} \right]}_{\text{flow down}} \nonumber \]

    Це означає, що співвідношення зайнятості енергетичних рівнів повинно бути

    \[\dfrac{N_2}{N_1} = \dfrac{B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)}{ B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right) + A_{21}} \label{einstein2} \]

    Але зайнятості даються розподілом Больцмана як

    \[N_1 = N_0 \exp \left(− \dfrac{E_1}{kT} \right) \nonumber \]

    і

    \[N_2 = N_0 \exp \left(−\dfrac{E_2}{kT} \right) \nonumber \]

    де\(k\) постійна Больцмана і\(T\) абсолютна температура. \(N_0\)це просто константа, яка не має значення для решти аналізу.

    Таким чином, згідно з розподілом Больцмана

    \[\dfrac{N_2}{N_1} = \exp \left(−\dfrac{E_2−E_1}{kT} \right) \label{boltz2} \]

    Тому для радіаційної рівноваги рівняння\ ref {boltz2} і\ ref {einstein2} можуть бути встановлені один на одного і

    \[\exp\left(−\dfrac{E_2−E_1}{kT} \right) = \dfrac{B_{12}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right)}{ B_{21}\left(\dfrac{du}{d\nu}\right) + A_{21}} \nonumber \]

    Ця умова може бути вирішена для\((du/dν)\); т. Е.

    \[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}}{B_{12}\exp \left( \dfrac{E_2−E_1}{kT} \right)−B_{21}} \nonumber \]

    Розглянемо, що відбувається з вищевказаним виразом для як\(T \rightarrow \infty\). Це йде до

    \[\lim _ {T \rightarrow \infty} \dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}}{B_{12}−B_{21}} \nonumber \]

    Ейнштейн стверджував, що\((du/dν)\) повинен йти до нескінченності, як і\(T\) до нескінченності. Для цього потрібно, щоб\(B_{12}\) бути рівним\(B_{21}\).

    Таким чином

    \[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{\exp \left(\dfrac{E_2−E_1}{kT}\right)−1} \label{eq10} \]

    Тепер введено припущення Планка:

    \[E_2−E_1 = hν \nonumber \]

    Таким чином, рівняння\ ref {eq10} стає

    \[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{\exp \left(\dfrac{hv}{kT}\right)−1} \label{eq11} \]

    Закон про радіацію Rayleigh-Jeans говорить

    \[\dfrac{du}{d\nu}= \dfrac{8πkTν^2}{c^3} \label{RJ} \]

    Формула Планка повинна збігатися з законом Релія-Джинса для досить малих\(ν\). Зауважте, що показник у знаменнику Equation\ ref {eq11} може бути розширено (за допомогою розширення Тейлора):

    \[\exp\left(\dfrac{hν}{kT}\right) \approx 1 + \dfrac{hν}{kT} \nonumber \]

    для досить дрібних\(ν\).

    Це означає, що Equation\ ref {eq11} спрощує

    \[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{1 + (hν/kT) −1} = \dfrac{A_{21}/B_{21}}{hν/kT} \nonumber \]

    і, отже,

    \[\dfrac{du}{d\nu}= \left(\dfrac{A_{21}}{B_{21}} \right) \left( \dfrac{kT}{hν}\right) \label{eq20} \]

    Рівняння рівняння\ ref {RJ} і\ ref {eq20} для\((du/dν)\) дач

    \[ \left(\dfrac{A_{21}}{B_{21}}\right) \left(\dfrac{kT}{hν}\right) = \dfrac{8πkTν^2}{c^3} \nonumber \]

    що зводиться до

    \[\dfrac{A_{21}}{B_{21}} = \dfrac{8πhν^3}{c^3} \nonumber \]

    Таким чином

    \[\dfrac{du}{d\nu} = \dfrac{8πhν^³}{c^³} \dfrac{1}{\exp(hν/kT)−1} \nonumber \]

    Це формула Планка з точки зору частоти.

    Довідка

    1. К.Д. Меллер, Оптика, Університетські наукові книги, Мілл-Веллі, Каліфорнія, 1988.