Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.18.2: Рідкі суміші: загальні рівняння

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    28433

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Задану бінарну рідку суміш готують з використанням рідини-1 і рідини -2 при температурі\(\mathrm{T}\) і тиску\(\mathrm{p}\), причому остання близька до стандартного тиску. Хімічні потенціали,\(\mu_{1}\left(\operatorname{mix} ; \mathrm{x}_{1}\right)\) і\(\mu_{2}\left(\operatorname{mix} ; \mathrm{x}_{2}\right)\) пов'язані зі складом мольної фракції,\(x_{1}\) і з\(x_{2} (= 1 - x_{1})\) використанням рівнянь (a)\(\mu_{1}^{*}(\ell)\) і (c) де і\(\mu_{2}^{*}(\ell)\) є хімічними потенціалами двох чистих рідких компонентів одночасно\(\mathrm{T}\) і\(\mathrm{p}\);

    \[\mu_{1}\left(\operatorname{mix} ; \mathrm{x}_{1}\right)=\mu_{1}^{*}(\ell)+\mathrm{R} \, \mathrm{T} \, \ln \left(\mathrm{x}_{1} \, \mathrm{f}_{1}\right)\]

    де

    \[\operatorname{limit}\left(x_{1} \rightarrow 1\right) f_{1}=1\]

    \[\mu_{2}\left(\operatorname{mix} ; \mathrm{x}_{2}\right)=\mu_{2}^{*}(\ell)+\mathrm{R} \, \mathrm{T} \, \ln \left(\mathrm{x}_{2} \, \mathrm{f}_{2}\right)\]

    де

    \[\operatorname{limit}\left(\mathrm{x}_{2} \rightarrow 1\right) \mathrm{f}_{2}=1\]

    Загальне рівняння коефіцієнта активності\(\mathrm{f}_{1}\) набуває наступного вигляду [1].

    \[\ln \left(f_{1}\right)=\sum_{k=1}^{k=\infty} \alpha_{k} \, x_{s}^{\lambda(k)}\]

    Рівняння (е) задовольняє умові,

    \[\operatorname{limit}\left(x_{2} \rightarrow 0\right) \ln \left(f_{1}\right)=0 ; f_{1}=1\]

    Параметр\(\alpha_{\mathrm{k}}\) характерний для суміші, температури і тиску. Нерухомість\(\lambda_{\mathrm{k}}\) - це реальне число. У межі, що рідка суміш розведена в хімічній речовині рідина-2, рівняння (е) спрощує рівняння (г).

    \[\ln \left(f_{1}\right)=\alpha \, x_{2}^{\lambda}\]

    У загальних рисах [2]

    \[x_{1} \, d \ln \left(f_{1}\right)+x_{2} \, d \ln \left(f_{2}\right)=0\]

    Поєднуємо рівняння (е) і (h) з\(\lambda_{k} \geq 2\) [3].

    \[\frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1} / \mathrm{f}_{2}\right)}{\mathrm{dx}_{2}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{2}} \, \frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1}\right)}{\mathrm{dx} \mathrm{x}_{2}}=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{k}=\infty} \alpha_{\mathrm{k}} \, \lambda_{\mathrm{k}} \, \mathrm{x}_{2}^{\lambda(\mathrm{k})-2}\]

    Рівняння (i) інтегровано до рівняння виходу (j), де\(\mathrm{I}\) є константою інтеграції.

    \[\ln \left(f_{2}\right)=\ln \left(f_{1}\right)-\sum_{k=1}^{k=\infty} \frac{\alpha_{k} \, \lambda_{k} \, x_{2}^{\lambda(k)-1}}{\lambda_{k}-1}-I\]

    Звідси [4,5]

    \ [\ почати {вирівняний}
    \ ln\ ліворуч (f_ {2}\ праворуч) &=\ ln\ ліворуч (f_ {1}\ праворуч) -\ sum_ {k=1} ^ {k=\ infty}\ frac {\ alpha_ {k}\,\ lambda_ {k}}\ left (x_ {2} ^ {\ лямбда (k) -1} -1\ праворуч) -\ sum_ {k=1} ^ {k=\ infty}\ альфа_ {k}\
    &=\ ln\ ліворуч (f_ {1}\ праворуч) -\ sum_ {k=1} ^ {k=\ infty}\ alpha_ {k}\,\ лівий [ \ frac {\ лямбда_ {k}} {\ лямбда_ {k} -1}\,\ лівий (x_ {2} ^ {\ лямбда- (k-1)} -1\ праворуч) -1\ праворуч]
    \ кінець {вирівняний}\]

    Іншими словами, надається, що\(\ln \left(f_{1}\right)\) відомо як функція\(x_{2}\), потім\(\ln \left(f_{2}\right)\) може бути обчислена.

    Виноски

    [1] Пригоджин і Р. Дефей, Хімічна термодинаміка, транс. Еверетт, Лонгманс Грін, Лондон, 1954 рік.

    [2] Для бінарної рідкої суміші рівняння Гіббса-Дюема пов'язує коефіцієнти активності\(\mathrm{f}_{1}\) і\(\mathrm{f}_{2}\). Таким чином,

    \[-S \, d T+V \, d p+n_{1} \, d \mu_{1}+n_{2} \, d \mu_{2}=0\]

    При нерухомому\(\mathrm{T}\) і\(\mathrm{p}\),\(\mathrm{n}_{1} \, \mathrm{d} \mu_{1}+\mathrm{n}_{2} \, \mathrm{d} \mu_{2}=0\)

    Розділити на\(\left(n_{1}+n_{2}\right)\);\(x_{1} \, d \mu_{1}+x_{2} \, d \mu_{2}=0\)

    \ [\ почати {зібрано}
    \ математика {x} _ {1}\,\ mathrm {d}\ ліворуч [\ mu_ {1} ^ {*} (\ ell) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ ліворуч (\ mathrm {x} _ {1}\,\ mathrm {f} _ {1})\ праворуч] +\ mathrm {x} _ {2}\,\ mathrm {d}\ ліворуч [\ mu_ {2} ^ {*} (\ ell) +\ mathrm {R}\,\ mathrm {T}\,\ ln\ ліворуч (\ mathrm {x} _ {2}\,\ mathrm {f} _ {2}\ правий\) праворуч] =0\\
    \ mathrm {x} _ {1}\,\ mathrm {d}\ n\ ліворуч (\ mathrm {x} _ {1}\,\ mathrm {f} _ {1}\ праворуч) +\ mathrm {x} _ {2}\,\ mathrm {d}\ вліво (\ mathrm {x} _ {2},\ mathrm {d} m {f} _ {2}\ праворуч) =0
    \\\ математика {x} _ {1}\,\ математика {d}\ вліво (\ математика {x} _ {1}\ праворуч) +\ mathrm {x} _ {1}\,\ mathrm {d}\ ln\ ліворуч (\ mathrm {f} _ {1}\ праворуч ) +\ mathrm {x} _ {2}\,\ mathrm {d}\ n\ ліворуч (\ mathrm {x} _ {2}\ праворуч) +\ mathrm {x} _ {2}\,\ mathrm {d}\ ln\ ліворуч (\ mathrm {f} _ {2}\ праворуч) =0
    \ кінець {зібраний}\]

    Але

    \[\mathrm{x}_{1} \, \mathrm{d} \ln \left(\mathrm{x}_{1}\right)+\mathrm{x}_{2} \, \mathrm{d} \ln \left(\mathrm{x}_{2}\right)=\left(\mathrm{x}_{1} / \mathrm{x}_{1}\right) \, \mathrm{dx} \mathrm{x}_{1}+\left(\mathrm{x}_{2} / \mathrm{x}_{2}\right) \, \mathrm{dx} \mathrm{x}_{2}\]

    Також\(\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=1\) так, щоб\(\mathrm{dx}_{1}+\mathrm{dx}_{2}=0\)

    [3] З рівняння (h) для бінарної рідкої суміші при фіксованому\(\mathrm{T}\) і\(\mathrm{p}\),

    \ [\ почати {масив} {r}
    \ лівий (1-x_ {2}\ праворуч)\,\ frac {d\ ln\ ліворуч (f_ {1}\ праворуч)} {d x_ {2}} +x_ {2}\,\ frac {d\ ln\ ліворуч (f_ {2}\ праворуч)} {d x_ {2}} =0\
    \ frac d\ ln\ ліворуч (f_ {1}\ право)} {d x_ {2}} -x_ {2}\,\ frac {d\ ln\ ліворуч (f_ {1}\ право)} {d x_ {2}} +x_ {2}\,\ frac {d\ ln\ ліворуч (f_ {2}\ праворуч)} {d x_ {2}} =0
    \ end {масив}\]

    Ділимо на\(x_{2}\) і переставляємо рівняння.

    \[\frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1}\right)}{\mathrm{dx} \mathrm{x}_{2}}-\frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{2}\right)}{\mathrm{dx}_{2}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{2}} \, \frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1}\right)}{\mathrm{dx} \mathrm{x}_{2}}\]

    Або,

    \[\frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1} / \mathrm{f}_{2}\right)}{\mathrm{dx} \mathrm{x}_{2}}=\frac{1}{\mathrm{x}_{2}} \, \frac{\mathrm{d} \ln \left(\mathrm{f}_{1}\right)}{\mathrm{dx_{2 }}}\]

    [4] З рівнянь (е) і (j),

    \[\ln \left(f_{2}\right)=\sum_{k=1}^{k=\infty} \alpha_{k} \, x_{2}^{\lambda(k)}-\sum_{k=1}^{k=\infty} \frac{\alpha_{k} \, \lambda_{k} \, x_{2}^{\lambda(k)-1}}{\lambda_{k}-1}-I\]

    Але при\(x_{2} = 1, f_{2} = 1\). Потім,

    \[0=\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{k}=\infty} \alpha_{\mathrm{k}}-\sum_{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{k}=\infty} \frac{\alpha_{\mathrm{k}} \, \lambda_{\mathrm{k}}}{\lambda_{\mathrm{k}}-1}-\mathrm{I}\]

    [5] Дж. Бронстед і П. Колмарт, Z. фіз. Хім.,1934, А168, 381 (як цитується у довідці 1).