9.2: Точні та неточні диференціали

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18235

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Поки ми обговорювали, як обчислити сумарний диференціал функції. Якщо вам задано функцію більше однієї змінної, ви можете обчислити її сумарний диференціал за допомогою визначення загального диференціала функції\(u\): (\(du=\left(\frac{\partial u}{\partial x_1} \right)_{x_2...x_n} dx_1+\left( \frac{\partial u}{\partial x_2} \right)_{x_1, x_3...x_n} dx_2+...+\left( \frac{\partial u}{\partial x_n} \right)_{x_1...x_{n-1}} dx_n\)). У вас буде один термін для кожної незалежної змінної. Що робити, якщо нам дано диференціал (напр.

\[dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\]

див. Приклад 9.1) і нас просять обчислити функцію, сумарний диференціал якої дорівнює\(dz\)? Це в основному працює Приклад 9.1 назад: ми знаємо диференціал, і ми шукаємо функцію. Речі трохи складніше, ніж це, тому що не всі диференціали є загальними диференціалами функції. Наприклад, з наведеного вище прикладу ми знаємо, що

\[dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\]

є загальним диференціалом

\[z(x,y)=3x^3+3yx^2+xy^2.\]

Однак диференціал не\(dz = xydx + x^2 dy\) є загальним диференціалом будь-якої функції\(z(x,y)\). Ви можете записати кожну функцію на\(z(x,y)\) цій планеті, обчислити їх загальні диференціали, і ви ніколи не побачите\(dz = xydx + x^2 dy\) у своєму списку.

Тому питання, яке ми вирішуємо, полягає в наступному: заданий диференціал, 1) це загальний диференціал будь-якої функції? 2) якщо це так, яка функція?

Щоб проілюструвати питання, припустимо, нам наведено диференціал нижче (зверніть увагу, що я перейшов на\(P, V,\) і\(T\), які змінні ви часто стикаєтеся в термодинаміці):

\[\label{eq:diff6} dP=\frac{RT}{V-b}dT+\left[\frac{RT}{(V-b)^2}-\frac{a}{TV^2}\right]dV\]

Питання в тому, чи це загальний диференціал функції\(P=P(T,V)\) (нам кажуть, що\(a\) і\(b\) є константами, і ми вже знаємо, що\(R\) це константа). За визначенням загального диференціала, якщо функція існує, її сумарний диференціал буде дорівнює:

\[\label{eq:diff7} dP=\left (\frac{\partial P}{\partial T} \right )_{V} dT+\left (\frac{\partial P}{\partial V} \right )_{T} dV\]

Порівнюючи рівняння\ ref {eq:diff6} і\ ref {eq:diff7}, якщо функція існує, її похідні повинні бути такими:

\[\label{eq:diff8a} \left (\frac{\partial P}{\partial T} \right )_{V}=\frac{RT}{V-b}\]

\[\label{eq:diff8b} \left (\frac{\partial P}{\partial V} \right )_{T}=\left[\frac{RT}{(V-b)^2}-\frac{a}{TV^2}\right]\]

Якщо знайти функцію\(P=P(T,V)\), яка одночасно задовольняє цим рівнянням, ми знаємо, що Equation\ ref {eq:diff6} буде її сумарним диференціалом.

З Рівняння\ ref {eq:diff8a} ми можемо обчислити\(P\) шляхом інтеграції щодо\(T\) константи\(V\):

\[\label{eq:diff9} \int dP=\int \frac{RT}{V-b}dT\rightarrow P=\frac{R}{V-b}\frac{T^2}{2}+f(V)\]

де ми включили константу інтеграції (\(f(V)\)), яка може бути будь-якою функцією\(V\) (ми інтегруємо в константу\(V\)).

Для того, щоб отримати вираз для\(P(T,V)\), нам потрібно з'ясувати,\(f(V)\) щоб ми могли завершити праву частину Equation\ ref {eq:diff9}. Для цього ми візьмемо похідну від\(P\) (Equation\ ref {eq:diff9} щодо та порівняємо з рівнянням\ ref {eq:diff8b}:\(V\)

\[\label{eq:diff10} \left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T=-\frac{RT^2}{2(V-b)^2}+\frac{df(V)}{dV}\]

Дивлячись на Equation\ ref {eq:diff8b} і\ ref {eq:diff10}, ми бачимо, що два вирази не збігаються, незалежно від того, для якої функції ми вибрали\(f(V)\). Це означає, що Equation\ ref {eq:diff6} не є загальним диференціалом будь-якої функції\(P(V,T)\). Ми називаємо ці диференціали неточними диференціалами. Якщо диференціал є загальним диференціалом функції, ми будемо називати диференціальний точний.

Те, що ми зробили досі, є правильним, але це не найпростіший спосіб перевірити, чи є диференціал точним чи неточним. Існує, насправді, дуже простий спосіб перевірити на точність. Ми виведемо процедуру нижче, але в майбутньому ми можемо використовувати її, не виводячи її кожного разу.

Враховуючи диференціал\(dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy\), диференціал є точним, якщо

\[\label{eq:test} \left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y\]

Якщо Equation\ ref {eq:test} не виконується, диференціал є неточним. Наприклад, якщо\(dz=(9x^2+6xy+y^2)dx+(3x^2+2xy)dy\), функції\(f_1\) і\(f_2\) є\(f_1=9x^2+6xy+y^2\) і\(f_2=3x^2+2xy\). Для перевірки цього диференціала виконуємо часткові похідні

\[\left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x =6x+2y\]

\[\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y=6x+2y\]

Дві похідні однакові, і тому диференціал вважається точним.

Доведемо, чому працює тест Equation\ ref {eq:test}. Розглянемо диференціал форми\(dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy\). Якщо диференціал точний, то це загальний диференціал функції\(z(x,y)\), а отже:

\[\label{eq:diff11} dz=f_1(x,y)dx+f_2(x,y)dy=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy\]

Ми знаємо, що змішані часткові похідні функції не залежать від порядку їх обчислення:

\[\left (\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} \right )=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right ) \nonumber\]

З рівняння\ ref {eq:diff11},

\[f_1(x,y)=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} \rightarrow \left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} \right ) \nonumber\]

\[f_2(x,y)=\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} \rightarrow \left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y=\left (\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} \right ) \nonumber\]

Оскільки змішані часткові похідні однакові, для точного диференціального:

\[\left(\frac{\partial f_1(x,y)}{\partial y} \right )_x=\left(\frac{\partial f_2(x,y)}{\partial x} \right )_y\]

Це рівняння вірно лише для точного похідного, оскільки ми вивели його, припускаючи, що функція\(z=z(x,y)\) існує, тому її змішані часткові похідні однакові. Ми можемо використовувати цей зв'язок, щоб перевірити, чи є диференціал точним чи неточним. Якщо рівність Equation\ ref {eq:test} тримається, диференціал є точним. Якщо він не тримається, це неточно.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Перевірте, чи є наступний диференціал точним чи неточним:

\[dz=\frac{1}{x^2}dx-\frac{y}{x^3}dy \nonumber\]

Рішення

Щоб перевірити, чи\(dz\) є точним чи неточним, ми порівнюємо наступні похідні

\[\left(\frac{\partial (1/x^2)}{\partial y} \right )_x\overset{?}{=}\left(\frac{\partial (y/x^3)}{\partial x} \right )_y \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (1/x^2)}{\partial y} \right )_x=0 \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (y/x^3)}{\partial x} \right )_y=-3yx^{-4} \nonumber\]

Ми робимо висновок, що\(dz\) це неточно, і тому немає функції, сумарний диференціал\(z(x,y)\) якої є\(dz\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Визначте, чи є наступний диференціал точним чи неточним. Якщо вона точна, визначте\(z=z(x,y)\).

\[dz=(2x+y)dx+(x+y)dy \nonumber\]

Рішення

Щоб перевірити, чи\(dz\) є точним чи неточним, ми порівнюємо наступні похідні

\[\left(\frac{\partial (2x+y)}{\partial y} \right )_x\overset{?}{=}\left(\frac{\partial (x+y)}{\partial x} \right )_y \nonumber\]

Якщо ця рівність дотримується, диференціал є точним.

\[\left(\frac{\partial (2x+y)}{\partial y} \right )_x=1 \nonumber\]

\[\left(\frac{\partial (x+y)}{\partial x} \right )_y=1 \nonumber\]

Тому диференціал точний. Тому що це точно, це загальний диференціал функції\(z(x,y)\). Загальний диференціал\(z(x,y)\) - це, за визначенням,

\[dz=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy \nonumber\]

Порівняння цього виразу з диференціалом\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\):

\[\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y}=(2x+y)\]

\[\label{eq:examplea} \left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=(x+y)\]

Щоб знайти\(z(x,y)\), ми можемо інтегрувати перший вираз частково щодо\(x\) збереження\(y\) постійної:

\[\int dz=z=\int (2x+y)dx=x^2+xy+f(y) \nonumber\]

Поки що у нас є\[\label{eq:exampleb} z = x^2+xy+f(y)\]

тому нам потрібно знайти функцію,\(f(y)\) щоб завершити вираз вище і закінчити проблему. Для цього візьмемо похідну відносно та порівняємо\(z\) з Equation\ ref {eq:examplea}.\(y\) Похідна від Рівняння\ ref {eq:exampleb} така:

\[\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=x+\frac{df(y)}{dy} \nonumber\]

порівнюючи з Equation\ ref {eq:examplea} ми помічаємо\(\frac{df(y)}{dy}=y\), що і інтегруючи, ми отримуємо\(f(x)=y^2/2+c\)

Отже,\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\) є загальним диференціалом\(z=x^2+xy+y^2/2+c\).

Ми можемо перевірити свій результат, працюючи над проблемою в зворотному напрямку. Якщо нам дано\(z=x^2+xy+y^2/2+c\) і нас попросять обчислити його загальний диференціал, ми б застосували визначення:

\[dz=\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} dx+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x} dy \nonumber\]

і тому, що

\[\left (\frac{\partial z}{\partial x} \right )_{y} =y+2x \nonumber\]

\[+\left (\frac{\partial z}{\partial y} \right )_{x}=y+x \nonumber\]

ми б написали\(dz=(2x+y)dx+(x+y)dy\), що є диференціалом, який ми були дані в задачі.

Перевірте два додаткових розв'язаних прикладів у цьому відео: http://tinyurl.com/kq4qecu