1.1: Загальні зауваження

1 - Вступ

Загальні зауваження

Електронно-парамагнітно-резонансна (ЕПР) спектроскопія менш відома і менш широко застосовується, ніж ЯМР-спектроскопія. Причина полягає в тому, що ЕПР-спектроскопія вимагає непарних електронів, а сполучення електронів, як правило, енергетично сприятливе. Отже, лише мала частка чистих речовин демонструють сигнали ЕПР, тоді як спектроскопія ЯМР застосовується майже до будь-якої сполуки, про яку можна подумати. З іншого боку, оскільки електронне сполучення лежить в основі хімічного зв'язку, непарні електрони пов'язані з реактивністю. Відповідно, ЕПР-спектроскопія є дуже важливою методикою для розуміння радикальних реакцій, процесів перенесення електронів та каталізу перехідних металів, які пов'язані з «реакційною здатністю непарного електрону». Деякі види з непарними електронами хімічно стабільні і можуть бути використані як спінові зонди для дослідження систем, де спектроскопія ЯМР працює в межах роздільної здатності або не може надати достатню інформацію для повної характеристики структури та динаміки. Цей лекційний курс знайомить з основами застосування ЕПР-спектроскопії на реактивних або каталітично активних формах, а також на спінових зондах.

Багато понять в ЕПР-спектроскопії пов'язані з аналогічними поняттями в ЯМР-спектроскопії. Отже, лекції з ЕПР-спектроскопії будуються на матеріалі, який був введений раніше в лекціях з ЯМР-спектроскопії. Цей матеріал коротко повторюється і посилюється в цьому сценарії і подібності, а також відмінності вказуються. Таке пов'язане лікування двох методик не зустрічається у вступних підручниках. Підкреслюючи це посилання, курс підкреслює розуміння фізики, яка лежить в основі спектроскопії ЯМР та ЕПР замість фокусування на окремих областях застосування. Ми прагнемо до розуміння спектрів на фундаментальному рівні та розуміння того, як параметри спінового гамільтоніана можуть бути виміряні з найкращою чутливістю та роздільною здатністю.

Глава 2 сценарію вводить електронний спін, пов'язує його з ядерним спіном і обговорює, які взаємодії сприяють спіновий гамільтоніан парамагнітної системи. Глава 3 розглядає взаємодію електронів Зеемана, відхилення$g$ значення зв'язаного електрона від$g$ значення вільного електрона та прояв$g$ анізотропії в твердотільних ЕПР-спектрах. У главі 4 представлена надтонка взаємодія між електронними та ядерними спинами, яка надає найбільшу інформацію про електронну та просторову структуру парамагнітних центрів. Розглянуто спектральний прояв у рідкому та твердому стані для спектрів спіна електронів та ядерних спінів. У главі 5 розглядаються явища, що виникають, коли надтонка взаємодія настільки велика, що для ядерного спіна порушується наближення високого поля. У цій ситуації формально заборонені переходи стають частково дозволеними і змішування енергетичних рівнів призводить до зміни резонансних частот. У главі 6 розглядається, як зв'язок між електронними спинами описується в спині гамільтоніана, залежно від його розміру. Протягом$3-6$ розділів введені взаємодії електронного спіна пов'язані з електронною та просторовою структурою.

Глава 7-9 присвячена експериментальним методикам. У розділі 7 безперервно-хвильовий$(\mathrm{CW})$ ЕПР представлений як найбільш універсальний і чутливий метод вимірювання спектрів ЕПР. Вимоги до отримання добре вирішених спектрів з високим співвідношенням сигнал/шум виведені з перших фізичних принципів. У розділі 8 розглядаються дві методики вимірювання надтонких муфт у спектрах ядерних частот, де вони краще вирішуються, ніж у спектрах ЕПР. Експерименти електронно-ядерного подвійного резонансу (ENDOR) використовують спінову поляризацію електронів та виявлення електронних спінів з метою підвищення чутливості таких вимірювань, але все ж покладаються на пряме збудження ядерних спінів. Експерименти з модуляцією електронної спінової ехо-оболонки (ESEEM) покладаються на заборонені електронно-ядерні спінові переходи, розглянуті в главі 5. Глава 9 розглядає вимірювання розподілу відстані в нанометровому діапазоні шляхом відокремлення дипольно-дипольної зв'язку між електронними спинами від інших взаємодій.

Заключна глава 10 представляє спіновий зондування і спіновий трепінг і, в той же час, демонструє застосування понять, які були введені в попередніх розділах.

У деяких моментах (дипольно-дипольний зв'язок, пояснення спектроскопії CW EPR з точки зору рівнянь Блоха) цей сценарій лекції значно перекривається з частиною сценарію лекції ЯМР. Це призначене для того, щоб зробити сценарій ЕПР досить самодостатнім. Зауважте також, що цей сценарій лекції служить двом цілям. По-перше, вона повинна служити підмогою у вивченні предмета і підготовці до іспиту. По-друге, це довідковий матеріал, коли ви пізніше стикаєтеся з парамагнітними видами у власних дослідженнях і вам потрібно отримати інформацію про них за допомогою спектроскопії ЕПР.

Пропоновані читання та електронні ресурси

Не існує підручника з ЕПР-спектроскопії, який розглядає весь матеріал цього курсу на базовому рівні. Однак багато концепцій охоплюються заголовком із серії Оксфордських хімічних праймерів Чечика, Картера та Мерфі [CCM16]. Фізично налаштовані студенти також можуть оцінити старий стандартний підручник Вейля, Болтона та Верца [WBW94].

Для деяких змодельованих спектрів та напрацьованих прикладів у цих конспектах на домашній сторінці лекцій наведені сценарії Matlab або блокноти Mathematica. Частина числового моделювання заснована на EasySpin Стефан Столл (http://wWW. easypin.org/) та інша частина на SPIDYAN Стефан Прібітцер (http://www. epr. ethz. ch/software. html). Обчислення з формалізмом оператора продукту вимагають пакету Mathematica Spino.m Сержа Боентгеса, який доступний на домашній сторінці курсу. Альтернативним великим пакетом для таких аналітичних обчислень є SpinDynamica Малкольма Левітта (http://Www. spindynamica. soton. ac. uk/). Останнім, але не менш важливим пакетом для числового моделювання магнітно-резонансних експериментів є ШПИНАТ Іллі Купрова та ін. (http://spindynamics. орг/ Spinach.php). Для квантово-хімічних обчислень спінових гамільтонових параметрів, ймовірно, найбільш універсальною програмою є вільно доступний пакет ORCA (https://orcaforum. cec.mpg.de/).

Магнітний резонанс вільного електрона

Магнітний момент вільного електрона Відмінності ЕПР та ЯМР спектроскопії

Взаємодії в електронно-ядерних спінових системах Загальний розгляд спінових взаємодій Електронно-ядерний спіновий гамільтоніан

2 - Електрон спін

$2.1$Магнітний резонанс вільного електрона

Магнітний момент вільного електрона

Як елементарна частинка, електрон має властивий кутовий момент, який називається спіном. Спінове квантове число є таким чином$S=1 / 2$, що у зовнішньому магнітному полі вздовж$z$ можна спостерігати лише два можливих значення для$z$ складової цього моменту моменту$+\hbar / 2$, що відповідають магнітному квантовому числу $m_{S}=+1 / 2(\alpha$стан$)$ і$-\hbar / 2$, відповідне магнітному квантовому$m_{S}=-1 / 2$ числу ($\beta$стан$)$. Різниця енергій між відповідними двома станами електрона виникає в результаті магнітного моменту, пов'язаного зі спіном. Для класичної обертової частинки з елементарним зарядом$e$, моментом імпульсу$J=\hbar S$ і масою$m_{e}$ цей магнітний момент обчислюється до

$$\vec{\mu}_{\text {classical }}=\frac{e}{2 m_{e}} \vec{J}$$

Співвідношення заряду до маси$e / m_{e}$ набагато більше для електрона, ніж відповідне відношення для ядра, де воно порядку$-e / m_{p}$, де$m_{p}$ маса протона. Вводячи магнетон$\mu_{\mathrm{B}}=\hbar e /\left(2 m_{e}\right)=9.27400915(23) \times 10^{-24} \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$ Бора і квантово-механічний поправочний коефіцієнт$g$, ми можемо переписати Eq. (2.1) як

$$\vec{\mu}_{\mathrm{e}}=g \mu_{\mathrm{B}} \vec{S}$$

Дірак-релятивістська квантова механіка забезпечує корекцію$g=2$, яку також можна знайти в нерелятивістській похідній. Точні вимірювання показали, що$g$ величина вільного електрона трохи відхиляється від$g=2$. Необхідну корекцію можна вивести за допомогою квантової електродинаміки, що веде до$g_{e}=2.00231930437378(2)$. Різниця енергій між двома спіновими станами вільного електрона у зовнішньому магнітному полі$B_{0}$ задається

$$\hbar \omega_{S}=g_{e} \mu_{\mathrm{B}} B_{0}$$

так що гіромагнітне співвідношення вільного електрона є$\gamma_{e}=-g_{e} \mu_{\mathrm{B}} / \hbar$. Цей гіромагнітний коефіцієнт відповідає$28.025 \mathrm{GHz}$ резонансній частоті в полі$1 \mathrm{~T}$, яка в рази приблизно в 658 більше, ніж ядерна частота Зеемана протона.

Відмінності між ЕПР та ЯМР спектроскопією

Більшість відмінностей між спектроскопією ЯМР та ЕПР є результатом цього набагато більшого магнітного моменту електрона. Поляризація Больцмана більша за цим фактором і при тому ж магнітному полі виявлені фотони мають енергію, більшу за цим фактором. Час релаксації приблизно на коефіцієнт$658^{2}$ коротше, що дозволяє набагато швидше повторювати експерименти ЕПР порівняно з експериментами ЯМР. В результаті ЕПР-спектроскопія набагато чутливіша. Стандартне приладобудування з електромагнітом, що працює в полі близько$0.35 \mathrm{~T}$ і на НВЧ-частотах близько$9.5 \mathrm{GHz}$ (X діапазон), може виявити близько$10^{10}$ спінів, якщо зразок має незначні діелектричні мікрохвильові втрати. У водному розчині органічні радикали можуть бути виявлені при концентраціях аж до$10 \mathrm{nM}$ часу вимірювання декількох хвилин.

Через великий магнітний момент спіна електронів високотемпературне наближення може бути порушено без використання екзотичного обладнання. Енергія спінового переходу вільного$k_{\mathrm{B}} T$ електрона збігається з тепловою енергією при температурі$4.5 \mathrm{~K}$ і полі приблизно$3.35 \mathrm{~T}$ відповідному частоті близько$94 \mathrm{GHz}$ (W смуга). Аналогічним чином, наближення високого поля може зламатися. Дипольно-дипольна взаємодія між двома електронними спинами в рази$658^{2}$ більше, ніж між двома протонами, і два непарних електрона можуть наближатися один до одного, ніж два протони. Розщеплення нульового поля, що виникає в результаті такого зв'язку, може становити значну частку взаємодії електронів Зеемана або навіть може перевищувати її в магнітних полах, де зазвичай проводяться експерименти з ЕПР$(0.1-10 \mathrm{~T})$. Надтонка зв'язок між електроном і ядром може легко перевищувати ядерну частоту Зеемана, що призводить до пробою наближення високого поля для ядерного спіна.

$2.2$Взаємодії в електронно-ядерних спінових системах

Загальний розгляд спінових взаємодій

Спини взаємодіють з магнітними полями. Взаємодія зі статичним зовнішнім магнітним полем$B_{0}$ - це взаємодія Зеемана, яке зазвичай є найбільшим спіновим взаємодією. На досить великих полах, де тримається високопольове наближення, взаємодія Зеемана визначає напрямок квантування спіна. У цій ситуації$m_{S}$ є хорошим квантовим числом, і якщо наближення високого поля також має місце для ядерного спіна$I_{i}$, магнітне квантове число також$m_{I, i}$ є хорошим квантовим числом. Енергії всіх спінових рівнів потім можуть бути виражені параметрами, які кількісно визначають спінові взаємодії та магнітними квантовими числами. Вектор всіх магнітних квантових чисел визначає стан спінової системи.

Спини також взаємодіють з місцевими магнітними полями, індукованими іншими спинами. Зазвичай непарні електрони зустрічаються рідко, так що кожен спін електронів взаємодіє з декількома ядерними спинами в його околицях, тоді як кожен ядерний спін взаємодіє тільки з одним спіном електронів (рис.2.1). Надтонка взаємодія між електроном і ядерним спіном зазвичай набагато менше, ніж електронна взаємодія Зеемана, за винятком іонів перехідних металів. На відміну від цього, для ядер, що знаходяться в безпосередній близькості від електронного спіна, надтонка взаємодія може бути більшою, ніж ядерна взаємодія Зеемана на полах, де зазвичай вимірюються спектри ЕПР. У цьому випадку, який обговорюється в главі 6, наближення високого поля$m_{I, i}$ руйнується і не є хорошим квантовим числом. Надтонкі зв'язки з ядрами актуальні до тих пір, поки вони принаймні такі ж великі, як швидкість$1 / T_{2 n}$ поперечної релаксації зв'язаного ядерного спіна. Менші муфти є невирішеними.

У деяких системах два і більше непарних електронів настільки близькі один до одного, що їх зв'язок перевищує їх поперечні швидкості релаксації$1 / T_{2 \mathrm{e}}$. Насправді, ізотропна частина цього зв'язку може значно перевищувати взаємодію електронів Зеемана і часто навіть теплову енергію,$k_{\mathrm{B}} T$ якщо два непарних електронів знаходяться в різних молекулярних орбіталах однієї і тієї ж органічної молекули (молекула триплетного стану) або якщо кілька непарних електронів належать високошвидкісний стан перехідного металу або іона рідкоземельного металу. У цій ситуації система найкраще описується в поєднаному поданні з

Малюнок 2.1: Схема взаємодій в електронно-ядерних спінових системах. Всі спини мають взаємодію Зеемана із зовнішнім магнітним полем$B_{0}$. Електронні спини (червоні) взаємодіють один з одним шляхом дипольно-дипольної взаємодії через простір і шляхом обміну за рахунок перекриття одиночно зайнятих молекулярних орбіталей (зелених). Кожен спін електронів взаємодіє з ядерними спинами (синіми) в його околицях надтонкими муфтами (фіолетовими). Муфти між ядерними спинами зазвичай незначні в парамагнітних системах, як і хімічні зрушення. Ці дві взаємодії занадто малі порівняно зі швидкістю релаксації поблизу електронного спіна.

спін електронної групи$S>1 / 2$. Ізотропна зв'язок між окремими електронними спинами не впливає на підрівневе розщеплення для заданого групового спінового квантового числа$S$. Анізотропна зв'язок, яка призводить до розщеплення підрівня, називається нульовим полем або тонкою взаємодією. Якщо взаємодія електронів Зеемана значно перевищує спін-спінову зв'язок, то зручніше описувати систему в плані окремих електронних спінів$S_{i}=1 / 2$. Ізотропна обмінна зв'язок$J$, яка випливає з перекриття двох одиночно зайнятих молекулярних орбіталей (SOMO), потім сприяє розщепленню рівня. Крім того, сприяє також дипольно-дипольна зв'язок через простір між двома електронними спинами.

Поняття$2.2 .1$ - одиночно зайнята молекулярна орбіталь (SOMO). Кожна молекулярна орбіталь може бути зайнята двома електронами з протилежним магнітним спіновим квантовим числом$m_{S}$. Якщо молекулярна орбіталь зайнята поодиноко, електрон непарний і його магнітне спінове квантове число може бути змінено шляхом поглинання або випромінювання фотонів. Орбіталь, яку займає непарний електрон, називається однозайнятою молекулярною орбіталлю (SOMO). Кілька непарних електронів можуть існувати в одній молекулі або металевому комплексі, тобто може бути кілька СОМО.

Ядерні спини в безпосередній близькості від електронного спина розслабляються набагато швидше, ніж ядерні спини в діамагнітних речовині. ${ }^{1}$Їх поперечні швидкості релаксації$1 / T_{2 n, i}$ таким чином перевищують муфти між ядерними спинами та хімічними зрушеннями. Ці взаємодії, які дуже важливі в спектроскопії ЯМР, незначні при спектроскопії ЕПР. Для ядерних спінів$1 / 2$ ніякої інформації про хімічну ідентичність ядра не може бути отримана, якщо не зрозуміла його надтонка зв'язок. Елемент можна ідентифікувати за допомогою ядерної взаємодії Зеемана. Для ядерних$I_{i}>1 / 2$ спінів інформація про хімічну ідентичність кодується в ядерному квадрупольному взаємодії, величина якого зазвичай перевищує$1 / T_{2 n, i}$.

Огляд всіх взаємодій та їх типової величини в одиницях частоти наведено на малюнку 2.2. Цей малюнок також ілюструє ще одну різницю між ЕПР та ЯМР спектроскопією. Кілька взаємодій, таких як взаємодія з нульовим полем, надтонка взаємодія, більші диполь-дипольні та обмінні зв'язки між електронними спинами, а також анізотропія взаємодії електронів Зеемана зазвичай перевищують смугу збудження найсильніших і найкоротших мікрохвильових імпульсів

${ }^{1}$Є виняток. Якщо швидкість поздовжньої релаксації електронів значно перевищує ядерну взаємодію Зеемана, на релаксацію ядерного спіна навряд чи впливає наявність спіна електронів. У цій ситуації ЕПР-спектроскопія неможлива, однак, які доступні. Послідовності імпульсів ЯМР, які покладаються на здатність збуджувати повний спектр певного типу спінів, таким чином, не можуть бути легко адаптовані до спектроскопії ЕПР.

Електронно-ядерний спіновий гамільтоніан

Враховуючи всі взаємодії, розглянуті в розділі 2.2.1, статичний спіновий гамільтоніан електронно-ядерної спінової системи в кутових одиницях частоти можна записати як

де індекс$i$ проходить по всіх ядерних спінів, індексів$k$ і$l$ пробігає по електронним спинам, а символ$\mathrm{T}$ позначає транспонування вектора або векторного оператора. Часто відразу доводиться розглядати тільки один спін електронів і один ядерний спін, так що спін гамільтоніана різко спрощується. Для$S>1$ спінів електронної групи можуть бути значними терміни з вищими потужностями спінових операторів. Ми не розглядаємо це ускладнення тут.

Взаємодія електронів$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{EZ}}$ Зеемана, як правило, анізотропна і, отже, параметризована$g$ тензорами$\mathbf{g}_{k}$. Він детально розглядається в главі 3. У ядерній взаємодії Зеемана$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{NZ}}$ ядерні частоти Зеемана$\omega_{I, i}$ залежать лише від елемента та ізотопу і, таким чином, можуть бути визначені, не знаючи електронної та просторової структури молекули. Надтонка взаємодія знову анізотропна і, таким чином, характеризується тензорами$\mathbf{A}_{k i}$. Він детально розглядається в главі 4. Всі електронно-електронні взаємодії пояснюються в главі 5. Взаємодія нульового поля$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ZFI}}$ є чисто анізотропною і, таким чином, характеризується безслідними тензорами$\mathbf{D}_{k}$. Взаємодія обміну часто є чисто ізотропною,$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{EX}}$ і будь-який анізотропний внесок не можна експериментально відрізнити від чисто анізотропної диполь-дипольної взаємодії$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{DD}}$. Значить, перша взаємодія характеризується скалярами,$J_{k l}$ а друге - тензорами$\mathbf{D}_{k l}$. Нарешті, ядерна квадрупольна взаємодія$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{NQI}}$ характеризується безслідними тензорами$\mathbf{P}_{i}$.

\ [\ почати {вирівняний} &\ hat {\ mathcal {H}} _ {0} =\ капелюх {\ математичний {H}} _ {\ математичний {EZ}} +\ hat {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {NZ}} +\ шапка {\ математична {H}} _ {\ mathrm {HFI}} +\ капелюх {\ математична {H}} {\ математична {H}} _ {\ математична {ZFI}} +\ hat {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {EX}} +\ hat {\ mathcal {H}} _ {\ математична {NQI}} _ {\ математична {NQI}}\ & =\ фрак {\ mu_ {\ математика {B}} {\ hbar}\ sum_ {k}\ vec {B} _ {0} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {g} _ {k}\ overrightarrow {\ hat {S}} _ {k} +\ sum_ {i}\ omega_ {I}\ шапка {Я} _ {z, i} +\ сума {k}\ сума _ {i}\ переправа стрілка {\ hat {S}} _ {k} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {A} _ {k i}\ переправа стрілка {\ hat {I}} _ {i} +\ sum_ {S_ {k} >1/2}\ переправа стрілка {\ hat {S}} _ {k} ^ {k} терм {T}}\ mathbf {D} _ {k}\ переправа стрілка {\ hat {S}} _ {k}\\ & +\ sum_ {k}\ sum_ {l\ neq k} J_ {k l}\ hat {Z, k}\ hat {S} _ {z, l} +\ sum_ {k}\ sum_ {l\ neq k}\ overrightarrow {\ hat {S} _ k} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {D} _ {k l}\ переправа стрілка {\ hat {S}} _ {l} +\ sum_ {I_ {i} >1/2}\ переправа {\ hat {I}} _ {i} ^ {\ mathrm {T}}\ mathbf {P} _ {i}\ над правою стрілкою {\ hat {I}} _ {i} \ кінець {вирівняний}\]

Взаємодія електрона Зеемана

Взаємодія нульового поля

Дипольно-дипольна взаємодія

між слабко зв'язаними електронними спинами

Однорідні ширини ліній EPR

Малюнок 2.2: Відносна величина взаємодій, які сприяють гамільтону електронно-ядерних спінових систем.

Фізичне походження$g$ зсуву Електрон Зеемана Гамільтонова Спектральний прояв взаємодії електронів Зеемана

Рідкий розчин Твердотільний

3 - Взаємодія електрона Зеемана

$3.1$Фізичне походження$g$ зсуву

Встановлено, що зв'язані електрони мають$g$ значення, що відрізняються від значення$g_{e}$ для вільного електрона. Вони залежать від орієнтації парамагнітного центру щодо вектора магнітного поля$\vec{B}_{0}$. Основною причиною цього зсуву$g$ значень є зв'язок спіна з орбітальним моментом електрона. $(\mathrm{SOC})$Спін-орбітальна зв'язок є чисто релятивістським ефектом і, таким чином, більша, якщо орбіталі важких атомів сприяють SOMO. У більшості молекул орбітальний момент моменту гасне в наземному стані. З цієї причини SOC призводить лише до невеликих або помірних$g$ зрушень і може розглядатися як збурень. Така обробка збуренням неприпустима, якщо основний стан вироджений або близький до виродженого.

Обробка збуренням розглядає збуджені стани, де непарний електрон не знаходиться в СОМО основного стану. Такі збуджені стани трохи домішуються до основного стану, і змішування виникає внаслідок орбітального оператора кутового імпульсу. Для простоти розглянуто випадок, коли основний внесок у$g$ зсув виникає з орбіталей, локалізованих на одному домінуючому атомі і одноелектронним SOC. До другого порядку в теорії збурень матричні елементи$g$ тензора потім можуть бути виражені як

$$g_{i j}=g_{e} \delta_{i j}+2 \lambda \Lambda_{i j}$$

де$\delta_{i j}$ дельта Кронекера, коефіцієнт$\lambda$ у термін зсуву - константа спін-орбітальної зв'язку для домінуючого атома, а елементи матриці$\Lambda_{i j}$ обчислюються як

$$\Lambda_{i j}=\sum_{n \neq 0} \frac{\left\langle 0\left|\hat{l}_{i}\right| n\right\rangle\left\langle n\left|\hat{l}_{j}\right| 0\right\rangle}{\epsilon_{0}-\epsilon_{n}}$$

де індекси$i$ і$j$ пробігають по декартових напрямках$x, y$, а$z$. Оператори$\hat{l}_{x}, \hat{l}_{y}$, і$\hat{l}_{z}$ є декартовими компонентами оператора кутового імпульсу,$|n\rangle$ позначає орбіту, де непарний електрон знаходиться в збудженій електронній конфігурації,$n=0$ відрахованої від SOMO конфігурація стану заземлення. Енергія цієї орбіти є$\epsilon_{n}$.

Оскільки добуток інтегралів перекриття в чисельнику з правого боку ур. (3.2) зазвичай позитивний, знак$g$ зсуву визначається знаменником. Знаменник позитивний, якщо парний електрон з повністю зайнятої орбіти просувається до наземного стану SOMO і негативним, якщо непарний електрон просувається до раніше незайнятої орбіти (рис.

Збудження парного електрона

$\varepsilon_{2}=$

$\varepsilon_{1}=$

$\begin{array}{ll}\varepsilon_{-1} & \mid \\ & \\ \varepsilon_{-2} & \end{array}$$\varepsilon_{0}-\varepsilon_{n}>0$

$\varepsilon_{0}-\varepsilon_{n}<0$

Малюнок 3.1: Домішка збуджених станів орбітальними операторами кутового імпульсу призводить до$g$ зсуву спін-орбітальної зв'язку. Різниця енергій в експресії збудження є позитивною для збудження парного електрона до наземного стану СОМО та негативною для збудження парного електрона до орбіталі вищої енергії.

3.1). Оскільки енергетичний розрив між SOMO та найнижчою незайнятою орбіталлю (LUMO) зазвичай більший, ніж між зайнятими орбіталями, члени з додатним чисельником домінують у сумі праворуч від еквалайзера (3.2). Тому позитивні$g$ зрушення зустрічаються частіше, ніж негативні.

Відповідна константа спін-орбітального зв'язку$\lambda$ залежить від елемента та типу орбіти. Вона масштабується приблизно з$Z^{4}$, де$Z$ знаходиться ядерний заряд. Якщо немає дуже низько лежачого збудженого стану (поблизу виродження основного стану), домінують внески важких ядер. Якщо їх немає, як у органічних радикалів, що складаються тільки з водню і елементів другого ряду,$\Delta g<10^{-2}$ спостерігаються$g$ зрушення тільки, характерні зрушення$1 \ldots 3 \times 10^{-3}$. Зауважимо, що це все ще перевищує типові хімічні зрушення ЯМР на один-два порядки. Для перехідних металів першого ряду$g$ зрушення мають порядок$10^{-1}$.

Для рідкісноземельних іонів обробка збуренням руйнується. Потім коефіцієнт Ланде$g_{J}$ можна обчислити з символу терміна для дуплету рівнів.

$$g_{J}=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L+1)}{2 J(J+1)}$$

де$J$ - квантове число для повного моменту моменту і$L$ квантове число для орбітального моменту моменту. Основними значеннями$g$ тензора є$\epsilon_{x} g_{J}, \epsilon_{y} g_{J}$, і$\epsilon_{z} g_{J}$, де$\epsilon_{i}$ with$i=x, y, z$ - відмінності між власними значеннями двох рівнів.$\hat{L}_{i}$

Якщо відома структура парамагнітного центру,$g$ тензор можна обчислити за допомогою квантової хімії. Це працює досить добре для органічних радикалів і досить добре для більшості іонів перехідних металів першого ряду. Деталі описані в [KBE04].

$g$Тензор є глобальною властивістю СОМО і легко інтерпретується тільки в тому випадку, якщо в ньому переважає внесок при одному атомі, що часто, але не завжди, буває у комплексів перехідних металів і рідкісноземельних іонів. Якщо парамагнітний центр має вісь$C_{n}$ симетрії с$n \geq 3$,$g$ тензор має осьову симетрію з основними значеннями$g_{x}=g_{y}=g_{\perp}, g_{z}=g_{\|}$. Для кубічної або чотиригранної симетрії$g$ величина ізотропна, але не обов'язково дорівнює$g_{e}$. Ізотропні$g$ значення також зустрічаються з дуже хорошим наближенням для іонів перехідного металу та рідкоземельних металів з напівзаповненими оболонками, таких як у комплексах Mn (II) ($3 d^{5}$електронна конфігурація) та комплексах Gd (III)$\left(4 f^{7}\right)$.

$3.2$Електрон Зееман Гамільтоніан

Розглянуто спін одного електронів$S$ і таким чином скидаємо суму та індекс$k$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{EZ}}$ в екв. (2.4). У системі головних осей (PAS)$g$ тензора ми можемо висловити електрон Зеемана Гамільтоніан як

\ [\ почати {вирівняний} \ hat {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {EZ}} &=\ frac {\ mu_ {\ mathrm {B}}} {\ hbar} B_ {0} (\ cos\ phi\ sin\ theta\ quad\ cos\ theta\ theta)\ left (\ begin {масив}} g_ {x} & 0\ 0\ 0 & g_ {y} & 0\ 0 & 0 & g_ {z} \ end {масив}\ праворуч)\ left (\ begin {масив } {c} \ капелюх {S} _ {x}\ \ капелюх {S} _ {y}\ \ капелюх {S} _ {z} \ кінець {масив}\ вправо)\\ &=\ frac {\ mu_ {\ mathrm {B}}} {\ hbar} B_ {0}\ лівий (g_ {x}\ cos\ phi\ sin\ тета\ капелюх {S} _ {x} +g_ {y}\ sin\ phi\ sin\ тета\ капелюх {S} _ {y} +g_ {z}\ cos\ тета\ капелюх {S} _ {z}\ праворуч) \ кінець {вирівняний}\]

де$B_{0}$ - магнітне поле$g_{x}, g_{y}$, і$g_{z}$ є основними значеннями$g$ тензора і полярних кутів$\phi$ і$\theta$ визначають орієнтацію магнітного поля в ПАС.

Цей гамільтоніан діагональний перетворенням Бліні, забезпечуючи

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{EZ}}^{B T}=\frac{\mu_{\mathrm{B}}}{\hbar} g_{\mathrm{eff}} B_{0} \hat{S}_{z}$$

з ефективним$g$ значенням при орієнтації$(\phi, \theta)$

$$g_{\mathrm{eff}}(\phi, \theta)=\sqrt{g_{x}^{2} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \phi+g_{y}^{2} \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \phi+g_{z}^{2} \cos ^{2} \theta}$$

Якщо анізотропія$g$ тензора значна,$z$ вісь в екв. (3.5) нахиляється від напрямку магнітного поля. Цей ефект незначний для більшості органічних радикалів, але не для іонів перехідних металів або рідкоземельних іонів. Eq. (3.6) для ефективних$g$ значень описує еліпсоїд (рис.$3.2$).

Малюнок 3.2: Еліпсоїд, що описує орієнтаційну залежність ефективного$g$ значення в ПАС$g$ тензора. При заданому напрямку вектору магнітного поля$\vec{B}_{0}$ (червоного кольору)$g_{\text {eff }}$ відповідає відстань між початком і точкою, де$\vec{B}_{0}$ перетинається еліпсоїдна поверхня.

Концепція 3.2.1 - Енергетичні рівні в високопольовому наближенні. У високопольовому наближенні енергетичний внесок гамільтонового члена до рівня з магнітними квантовими числами$m_{S, k}$ і$m_{I, i}$ може бути обчислений заміною$\hat{J}_{z, j}$ операторів$(J=S, I, j=k, i)$ відповідними магнітними квантовими числами. Це пов'язано з тим, що магнітні квантові числа - це власні значення$\hat{J}_{z, j}$ операторів, всі$\hat{J}_{z, j}$ оператори комутують один з одним, а внески з усіма іншими декартовими спіновими операторами незначні в цьому наближенні. Для електрона Зеемана енергетичний внесок є$m_{S} g_{\mathrm{eff}} \mu_{\mathrm{B}} B_{0} / \hbar$. Якщо наближення високого поля трохи порушено, цей вираз відповідає обробці збурень першого порядку. Правило вибору для переходів у спектроскопії ЕПР є,$\left|\Delta m_{S}\right|=1,\left|\Delta m_{I}\right|=0$ і воно застосовується строго до тих пір, поки наближення високого поля застосовується строго до всіх спинив. Це правило вибору є результатом збереження моменту моменту поглинання мікрохвильового фотона і того факту, що мікрохвильовий фотон взаємодіє з електронними спіновими переходами. Звідси випливає, що внесок першого порядку взаємодії електронів Зеемана в частоти всіх спінових переходів електронів однаковий, а саме$g_{\mathrm{eff}} \mu_{\mathrm{B}} B_{0} / \hbar$. Як ми побачимо в главі 7, спектри ЕПР зазвичай вимірюються на постійній мікрохвильовій частоті$\nu_{\mathrm{mw}}$ шляхом підмітання магнітного поля$B_{0}$. Тоді резонансне поле задається

$$B_{0, \mathrm{res}}=\frac{h \nu_{\mathrm{mw}}}{g_{\mathrm{eff}} \mu_{\mathrm{B}}}$$

Для ядерних спінових переходів взаємодія електронів Зеемана не сприяє частоті переходу.$\left|\Delta m_{S}\right|=0,\left|\Delta m_{I}\right|=1$

Спектральний прояв взаємодії електронів Зеемана

Рідкий розчин

У рідкому розчині молекули падають за рахунок броунівської обертальної дифузії. Часова шкала цього руху може характеризуватися часом обертальної кореляції$\tau_{\text {rot }}$, яка в нев'язких розчинниках становить порядок$10 \mathrm{ps}$ для малих молекул, і близько 100 нс для білків та інших макромолекул.$1 \mathrm{~ns}$ Для кулястої молекули з радіусом$r$ у розчиннику з в'язкістю$\eta$ час обертальної кореляції можна приблизно оцінити за законом Стокса-Ейнштейна

$$\tau_{\mathrm{r}}=\frac{4 \pi \eta r^{3}}{3 k_{\mathrm{B}} T}$$

Якщо цей час кореляції і максимальна різниця$\Delta \omega$ між частотами переходу будь-яких двох орієнтацій молекули в магнітному полі виконують відношення$\tau_{\mathrm{r}} \Delta \omega \ll 1$, анізотропія повністю усереднений і тільки ізотропне середнє значення частот переходу дорівнює спостерігається. Для дещо повільнішого обертання модуляція частоти переходу молекулярним перекиданням призводить до розширення лінії, оскільки це скорочує час поперечної релаксації$T_{2}$. У режимі повільного перекидання$\tau_{\mathrm{r}} \Delta \omega \approx 1$, де анізотропія неповністю усереднена і ширина лінії досягає максимуму. Для$\tau_{\mathrm{r}} \Delta \omega \gg 1$ цього спостерігається твердотільний спектр. Явища можна описати як багатосайтовий обмін між різними орієнтаціями молекули (див. Розділ 10.1.4), який є аналогом хімічного обміну, розглянутого в частині курсу лекцій ЯМР.

Для взаємодії електронів Зеемана швидке перекидання призводить до середнього резонансного поля

$$B_{0, \mathrm{res}}=\frac{h \nu_{\mathrm{mw}}}{g_{\mathrm{iso}} \mu_{\mathrm{B}}}$$

з ізотропним$g$ значенням$g_{\text {iso }}=\left(g_{x}+g_{y}+g_{z}\right) / 3$. Для малих органічних радикалів у нев'язких розчинниках на частотах Х-діапазону навколо$9.5 \mathrm{GHz}$ розширення лінії від$g$ анізотропії незначне. При частотах W-діапазону$94 \mathrm{GHz}$ для органічних радикалів і вже на частотах Х-діапазону для малих перехідних металевих комплексів таке розширення може бути суттєвим. Для великих макромолекул або у в'язких розчинниках у рідкому розчині можна спостерігати твердотільні, такі як EPR спектри.

Твердотільний

Для монокристалічного зразка резонансне поле при будь-якій заданій орієнтації можна обчислити за еквалайзером (3.7). Часто випускаються тільки мікрокристалічні порошки або зразок вимірюється в склоподібному замороженому розчині. В таких умовах всі орієнтації вносять однаковий внесок. Стосовно до

Малюнок 3.3: Форма лінії порошку для$g$ тензора з осьовою симетрією. (а) Щільність ймовірності знайти орієнтацію з полярним$\theta$ кутом пропорційна окружності кута кута$\theta$ на одиничній сфері. (b) Щільність ймовірності$P(\theta)$. Ефективне$g$ значення під кутом$\theta$ є$\sqrt{g_{\perp}^{2}+g_{\|}^{2}+\cos (2 \theta)\left(g_{\|}^{2}-g_{\perp}^{2}\right) / 2}$. (c) Схематична форма лінії порошку. Візерунок відповідає$g_{\perp}>g_{\|}$ для розгортки поля та частотної розгортки.$g_{\perp}<g_{\|}$ Через нахилу кадру ізотропне значення не$g_{\text {iso }}=\left(2 g_{\perp}+g_{\|}\right) / 3$ зустрічається під магічним кутом, хоча зсув невеликий, якщо$\Delta g=2\left(g_{\|}-g_{\perp}\right) / 3 \ll g_{\text {iso }}$.

полярні кути, це означає, що$\phi$ розподілений рівномірно, тоді як ймовірність зіткнутися з певним$\theta$ кутом пропорційна$\sin \theta$ (рис. 3.3). Лінійну форму спектра поглинання найлегше зрозуміти для осьової симетрії$g$ тензора. Переходи спостерігаються тільки в діапазоні між граничними резонансними полями при$g_{\|}$ і$g_{\perp}$. Спектр має глобальний максимум на$g_{\perp}$ і мінімум при$g_{\|}$.

У спектроскопії CW EPR ми спостерігаємо не форму лінії поглинання, а скоріше її першу похідну (див. Розділ 7). Ця похідна форма лінії має гострі риси на особливостях форми лінії спектра поглинання і дуже слабку амплітуду між ними (рис.$3.4$).

Концепція 3.3.1 - Вибір орієнтації. Розповсюдження спектра порошкового зразка або склоподібного замороженого розчину дозволяє відбирати молекули з певною орієнтацією по відношенню до магнітного поля. Для осьового$g$ тензора вибираються лише орієнтації поблизу$z$ осі$g$ тензора PAS при спостереженні поблизу резонансного поля$g_{\|}$. На відміну від цього, при спостереженні поблизу резонансного поля для$g_{\perp}$, орієнтації всередині всієї$x y$ площини ПАС сприяють. Для випадку орторомбічної симетрії з трьома різними основними значеннями$g_{x}, g_{y}$$g_{z}$, а також вузькі множини орієнтацій можна спостерігати на резонансних полах, що відповідають екстремальним$g$ значенням$g_{x}$ і $g_{z}$(Див. праву верхню панель на рис. 3.4). При проміжному основному значенні сприяє$g_{y}$ широкий діапазон орієнтацій, оскільки одне і те ж резонансне поле може бути реалізовано за орієнтаціями, відмінними від$\phi=90^{\circ}$ і$\theta=90^{\circ}$. Такий вибір орієнтації дозволяє підвищити роздільну здатність спектрів ENDOR і ESEEM (Глава 8) і спростити їх інтерпретацію осьової симетрії

орторомбічний

Малюнок 3.4: Імітовані спектри ЕПР-діапазону X для систем з лише$g$ анізотропією. Верхні панелі показують спектри поглинання, оскільки їх можна виміряти за допомогою ехо-виявленої польової ЕПР-спектроскопії. Нижні панелі показують першу похідну спектрів поглинання, коли вони виявляються за допомогою безперервної хвилі ЕПР. Картинки одиниць-сфери в правій верхній панелі візуалізують орієнтації, які вибираються на резонансних полах, відповідних основним значенням$g$ тензора.

Фізичне походження надтонкої взаємодії

Магнітні моменти електрона та ядерної спінової пари за допомогою магнітної диполь-дипольної взаємодії; подібно до дипольно-дипольної взаємодії між ядерними спинами, розглянутими в частині лекційного курсу ЯМР. Основна відмінність від випадку ЯМР полягає в тому, що у багатьох випадках точково-дипольний опис не є хорошим наближенням для спіна електронів, оскільки електрон розподіляється по СОМО. Розглядається ядро можна вважати також добре локалізованим в просторі. Тепер ми представляємо SOMO як лінійну комбінацію атомних орбіталей. Внесок від щільності спина в атомній орбіті іншого ядра (популяція непарного електрона в такій атомній орбіталі) можна наблизити, припускаючи, що непарний електрон є точковим диполем, локалізованим на цьому іншому ядрі.

Для щільності спина в атомних орбіталів на одному ядрі ми повинні розрізняти типи атомних орбіталів. На$s$ орбіталах непарний електрон має скінченну щільність ймовірності для проживання в ядрі, на нульовій відстані$r_{S I}$ до ядерного спіна. Це призводить до сингулярності дипольно-дипольної взаємодії, так як ця взаємодія масштабується с$r_{S I}^{-3}$. Сингулярність трактувала Фермі. Тому внесок у надтонку зв'язок від щільності спина на$s$ орбіталі на розглянутому ядрі називається контактною взаємодією Фермі. Через сферичної симетрії$s$ орбіталей контактна взаємодія Фермі є чисто ізотропною.

Для щільності спина в інших орбіталів ($p, d, f$орбіталів) на розглянутому ядрі дипольно-дипольна взаємодія повинна бути усереднена над просторовим розподілом електронного спіна в цих орбіталах. Цей середній показник не має ізотропного внеску. Тому щільність спина на$p, d, f$ орбіталах не впливає на спектри швидкодіючих радикалів або комплексів металів у рідкому розчині, а також на щільність спина в$s$ орбіталах інших ядер. Ізотропні муфти, виявлені в розчині, є результатом лише контактної взаємодії Фермі.

Оскільки ізотропний і чисто анізотропний внесок у надтонку зв'язок мають різне фізичне походження, ми відокремлюємо ці внески в надтонкому тензорі$\mathbf{A}_{k i}$, який описує взаємодію між електронним спіном$S_{k}$ і ядерним спіном$I_{i}$:

\ [\ mathbf {A} _ {k i} =A_ {\ mathrm {iso}, k i}\ лівий (\ початок {масив} {ccc} 1 & 0\ 0 & 1\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {масив}\ праворуч) +\ mathbf {T} _ {k i}\]

де$A_{\text {iso, } k i}$ - ізотропна надтонка муфта і$\mathbf{T}_{k i}$ чисто анізотропна зв'язок. Далі ми скидаємо електронні і ядерні спінові індекси$k$ і$i$.

Диполь-дипольна надтонка взаємодія

Анізотропний тензор надтонкого зв'язку даного ядра можна обчислити з$\mathbf{T}$ хвильової функції основного стану$\psi_{0}$ шляхом застосування принципу відповідності до класичної взаємодії двох точкових диполів.

$$T_{i j}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} g_{e} \mu_{\mathrm{B}} g_{\mathrm{n}} \mu_{\mathrm{n}}\left\langle\psi_{0}\left|\frac{3 r_{i} r_{j}-\delta_{i j} r^{2}}{r^{5}}\right| \psi_{0}\right\rangle$$

Такі обчислення реалізуються в програмах квантової хімії, таких як ORCA, ADF або Gaussian. Якщо SOMO розглядається як лінійна комбінація атомних орбіталів, внесок з окремої орбіти може бути виражений як добуток щільності спіна в цій орбіті з просторовим фактором, який можна обчислити раз назавжди. Просторові фактори були зведені в таблицю [KM85]. Взагалі ядра елементів з більшою електронегативністю мають більші просторові фактори. При тому ж просторовому факторі, як і для ізотопів одного і того ж елемента, надтонка зв'язок пропорційна ядерному$g$ значенню$g_{\mathrm{n}}$ і, таким чином, пропорційна гіромагнітному співвідношенню ядра. Отже, муфту дейтерію можна обчислити з відомої протонної муфти або навпаки.

Особлива ситуація стосується протонів, лужних металів і земельних лужних металів, які не мають значної щільності спина на$p-, d-$, або$f$ -орбіталі. У цьому випадку анізотропний внесок може виникнути лише через просторовий диполь-дипольний зв'язок з центрами спінової щільності в інших ядрах. У точково-дипольному наближенні надтонкий тензор потім задається

$$\mathbf{T}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} g_{e} \mu_{\mathrm{B}} g_{\mathrm{n}} \mu_{\mathrm{n}} \sum_{j \neq i} \rho_{j} \frac{3 \vec{n}_{i j} \vec{n}_{i j}^{\mathrm{T}}-\overrightarrow{1}}{R_{i j}^{3}}$$

де сума проходить над усіма ядрами$j$ зі значною щільністю спина$\rho_{j}$ (підсумована по всіх орбіталів цього ядра), крім ядра, що$i$ розглядається. Це$R_{i j}$ відстані між розглянутим ядром і центрами щільності спина, і$\vec{n}_{i j}$ є одиничними векторами вздовж напрямку від розглянутого ядра до центру щільності спина. Для протонів у комплексах перехідних металів часто є хорошим наближенням вважати щільність спина лише на центральному іоні металу. Відстань$R$ від протона до центрального іона потім можна безпосередньо вивести з анізотропної частини надтонкої зв'язку.

Надтонкі тензорні внески,$\mathbf{T}$ обчислені будь-яким із цих способів, повинні бути виправлені для впливу,$\mathrm{SOC}$ якщо$g$ тензор сильно анізотропний. Якщо домінантний внесок$\mathrm{SOC}$ виникає в одному ядрі, надтонкий тензор у цього ядра${ }^{1}$ може бути виправлений

$$\mathbf{T}^{(\mathrm{g})}=\frac{\mathbf{g} \mathbf{T}}{g_{e}}$$

Продукт g$\mathbf{T}$ може мати ізотропну частину, хоча$\mathbf{T}$ є чисто анізотропним. Цей ізотропний псевдоконтактний внесок залежить від відносної орієнтації$g$ тензора та дипольно-дипольного надтонкого тензора лише для спіну$\mathbf{T}$. Корекція незначна для більшості органічних радикалів, але не для парамагнітних іонів металів. Якщо внески$\mathrm{SOC}$ виникають з декількох центрів, необхідна корекція не може бути записана як функція$g$ тензора.

Фермі контактна взаємодія

Контактний внесок Fermi приймає форму

$$A_{\text {iso }}=\rho_{s} \cdot \frac{2}{3} \frac{\mu_{0}}{\hbar} g_{e} \mu_{\mathrm{B}} g_{\mathrm{n}} \mu_{\mathrm{n}}\left|\psi_{0}(0)\right|^{2}$$

${ }^{1}$Більшість літератури стверджує, що корекція повинна проводитися для всіх ядер. Як зазначив Френк Ніз, це неправда. Більш раннє обговорення цієї точки знаходиться в [Lef67] де$\rho_{s}$ щільність спина в$s$ розглянутій орбіті,$g_{\mathrm{n}}$ ядерне$g$ значення і$\mu_{\mathrm{n}}=\beta_{\mathrm{n}}=5.05078317(20) \cdot 10^{-27} \mathrm{~J} \mathrm{~T}^{-1}$ ядерний магнетон$\left(g_{\mathrm{n}} \mu_{\mathrm{n}}=\gamma_{\mathrm{n}} \hbar\right)$. Коефіцієнт$\left|\psi_{0}(0)\right|^{2}$ позначає ймовірність знайти електрон на цьому ядрі в основному стані з хвильовою функцією$\psi_{0}$ і був табульований [KM85].

Малюнок 4.1: Передача щільності спина механізмом спінової поляризації. Відповідно до принципу Паулі, два електрони в орбіталі зв'язку C-H повинні мати протилежний спіновий стан. Якщо непарний електрон знаходиться в$p_{z}$ орбіті на$\mathrm{C}$ атомі, для інших електронів на тому ж$\mathrm{C}$ атомі такий же спіновий стан трохи сприятливий, оскільки це мінімізує електростатичне відштовхування. Отже, для електрона в$\mathrm{H}$ атомі протилежний спіновий стан (ліва панель) трохи віддається перевагу над тим же спіновим станом (права панель). Позитивна щільність спина в$p_{z}$ орбіталі на$\mathrm{C}$ атомі індукує деяку негативну щільність спина в$s$ орбіталі на$\mathrm{H}$ атомі.

Спін поляризація

Внесок у надтонку зв'язок, обговорюваний до цього моменту, можна зрозуміти та обчислити на одноелектронній картині. Подальші внески виникають внаслідок кореляції електронів у молекулі. Припустимо, що$p_{z}$ орбіталь на атомі вуглецю сприяє SOMO, так що$\alpha$ спіновий стан електрона є кращим в цій орбіталі (рис.4.1). Електрони в інших орбіталах на тому ж атомі також матимуть невелику перевагу$\alpha$ стану (ліва панель), оскільки електрони з однаковим спіном, як правило, уникають один одного і, таким чином, мають менше електростатичного відштовхування. ${ }^{2}$Зокрема, це означає, що конфігурація віджиму в лівій панелі рис. $4.1$трохи краще, ніж той, що знаходиться на правій панелі. Відповідно до принципу Паулі, два електрони, які поділяють орбіталь$s$ зв'язку$\mathrm{C}-\mathrm{H}$ зв'язку, повинні мати антипаралельний спін. Таким чином, електрон в$s$ орбіталі атома водню, який пов'язаний з спін-несучим атомом вуглецю, має незначну перевагу до$\beta$ стану. Це відповідає негативному ізотропному надтонкому зв'язку безпосередньо пов'язаного$\alpha$ протона, яке індукується позитивним надтонким зв'язком сусіднього атома вуглецю. Ефект називається «спінова поляризація», хоча він не має фізичного відношення до поляризації електронних спінових переходів у зовнішньому магнітному полі.

Спінова поляризація важлива, оскільки вона передає щільність спина з$p$ орбіталей, де вона невидима в рідкому розчині та від атомів вуглецю з низькою природною кількістю магнітного ізотопу${ }^{13} \mathrm{C}$ до$s$ орбіталів на протони, де це може бути легко спостерігається в рідкому розчині. Цей перенесення відбувається, як у$\sigma$ радикалів, де непарний електрон локалізується на одному атомі, так і в$\pi$ радикалах, де він розподілений по$\pi$ системі. Останній випадок представляє більший інтерес, оскільки розподіл$\pi$ орбіти над ядрами можна відображати шляхом вимірювання та призначення ізотропних протонних надтонких зв'язків. Цю зв'язок можна передбачити за рівнянням Макконнелла

$$A_{\mathrm{iso}, \mathrm{H}}=Q_{\mathrm{H}} \rho_{\pi}$$

де$\rho_{\pi}$ - щільність спина у сусіднього атома вуглецю і$Q_{\mathrm{H}}$ є параметром порядку$-2.5 \mathrm{mT}$, який незначно залежить від структури$\pi$ системи.

${ }^{2}$Ця перевага електронів на одному атомі мати паралельний спін також є основою правила Гунда.

Рисунок 4.2: Картування LUMO та HOMO ароматичної молекули за допомогою вимірювань надтонких муфт після відновлення або окислення на один електрон. Зменшення призводить до аніонного радикала, SOMO якого є хорошим наближенням до найнижчої незайнятої молекулярної орбіталі (LUMO) нейтральної материнської молекули. Окислення призводить до катіонного радикала, SOMO якого є хорошим наближенням до найвищої зайнятої молекулярної орбіталі (HOMO) нейтральної материнської молекули.

Рівняння Макконнелла в основному застосовується для відображення LUMO та HOMO ароматичних молекул (рис. 4.2). Непарний електрон може бути введений в ці орбіталі шляхом одноелектронного відновлення або окислення, відповідно, не надто сильно обурюючи орбіталі. Ізотропні надтонкі зв'язки атома водню, безпосередньо зв'язаного з атомом вуглецю, повідомляють про внесок$p_{z}$ орбіталі цього атома вуглецю в$\pi$ орбіту. Виклики в цьому картографуванні двоякі. По-перше, важко призначити спостережувані зв'язки атомам водню, якщо модель розподілу$\pi$ орбіти вже доступна. По-друге, метод сліпий до атомів вуглецю без безпосередньо пов'язаного атома водню.

Надтонкий гамільтоніан

Розглянуто взаємодію одного електронного спіна$S$ з одним ядерним спіном$I$ і таким чином скидаються суми та індекси$k$ і$i$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{HFI}}$ в екв. (2.4). Загалом, всі елементи матриці надтонкого тензора$\mathbf{A}$ будуть ненульовими після перетворення Бліні в кадр, де взаємодія електронів Зеемана знаходиться вздовж$z$ осі (див. Ур. 3.5). Надтонкий гамільтоніан потім дається

\ [\ почати {вирівняний} \ капелюх {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {HFI}} =&\ left (\ begin {масив} {lll}\ hat {S}\ hat {S} _ {z}\ кінець {масив}\ праворуч) \ left (\ begin {масив} {ccc} A_ {х х} & А_ {х у} & A_ {x z}\\ A_ {y x} & A_ {y y} & A_ {y z}\\ A_ {z x} & A_ {z y} & A_ {z z} & A_ {z z} \ end {масив}\ праворуч)\ лівий (\ begin {масив} {c} \ hat {I} _ {x}\ \ капелюх {I} _ {y} \ капелюх {Я} _ {z}\ кінець {масив}\ право)\\ =& A_ {x x}\ капелюх {S} _ {х}\ шапка {I} _ {x} +A_ {x}\ шапка {S} _ {x}\ капелюх {Я} _ {у} +A_ {x y}\ капелюх {S} _ {х}\ шапка {я} _ {z}\ &+A_ {y x}\ шапка {S} _ {y} _ {x} +A_ {y}\ шапка {S} _ {y}} +A_ {у з}\ шапка {S} _ {y}\ капелюх {Я} _ {z}\ &+A_ {z x}\ капелюх {S} _ {z}\ капелюх {я} _ {х} +A_ {z}\ шапка {S} _ {z}\ шапка {Я} _ {y} +A_ {z z}\ шапка {S} _ {z}\ капелюх {Я} {Z}} \ end {вирівняний}\]

Зверніть увагу, що$z$ вісь системи координат ядерного спіна паралельна вектору магнітного поля,$\vec{B}_{0}$ тоді як вісь електронної спінової системи нахилена, якщо$g$ анізотропія значна. Отже, надтонкий тензор - це не тензор в суворому математичному сенсі, а скоріше матриця взаємодії.

У еквалайзері (4.7) термін$A_{z z} \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}$ є світським і повинен завжди зберігатися. Зазвичай наближення високого поля триває для електронного спіна, так що всі терміни, що містять$\hat{S}_{x}$ або$\hat{S}_{y}$ оператори, є несвітськими і можуть бути скинуті. Таким чином, усічений надтонкий гамільтоніан читає

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{HFI}, \text { trunc }}=A_{z x} \hat{S}_{z} \hat{I}_{x}+A_{z y} \hat{S}_{z} \hat{I}_{y}+A_{z z} \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}$$

Перші два члени з правого боку можна розглядати як визначальну ефективну поперечну зв'язок, яка є сумою вектора з довжиною$A_{z x}$ уздовж$x$ та вектором довжини$A_{z y}$ вздовж$y$. Довжина вектора суми дорівнює$B=\sqrt{A_{z x}^{2}+A_{z y}^{2}}$. Зрізаний надтонкий гамільтоніан спрощує, якщо взяти лабораторну рамну$x$ вісь для ядерного спіна уздовж напрямку цієї ефективної поперечної надтонкої муфти. У цьому кадрі у нас є

$$\hat{\mathcal{H}}_{\text {HFI,trunc }}=A \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}+B \hat{S}_{z} \hat{I}_{x}$$

де$A=A_{z z}$ кількісно обчислює світську надтонку$B$ муфту та псевдо-світську надтонку муфту. Остання зв'язок повинна розглядатися тоді і тільки в тому випадку, якщо надтонка зв'язок порушує наближення високого поля для ядерного спіна (див. Главу 6).

Якщо$g$ анізотропія дуже мала, як у випадку з органічними радикалами,$z$ осі двох спінових систем координат паралельні. У цій ситуації і для надтонкого тензора з осьовою симетрією,$A$ і$B$ може виражатися як

\ [\ почати {вирівняний} &A = A_ {\ mathrm {iso}} +Т\ ліворуч (3\ cos ^ {2}\ theta_ {\ mathrm {HFI}} -1\ праворуч)\\ &B = 3 T\ sin\ theta_ {\ mathrm {HFI}}\ cos\ theta_ { \ mathrm {HFI}}\]

де$\theta_{\text {HFI }}$ - кут між статичним магнітним полем$\vec{B}_{0}$ і віссю симетрії надтонкого тензора і$T$ - анізотропія надтонкої зв'язку. Основними значеннями надтонкого тензора є$A_{x}=A_{y}=A_{\perp}=A_{\text {iso }}-T$ і$A_{z}=A_{\|}=A_{\text {iso }}+2 T$. Псевдосвітський внесок$B$ зникає вздовж головних осей надтонкого тензора, де$\theta_{\mathrm{HFI}}$ є$0^{\circ}$ або$90^{\circ}$ або для чисто ізотропної надтонкої зв'язку. Отже, псевдосвітський внесок також може бути скинутий при розгляді швидкого падіння радикалів у рідкому стані. Розглянуто точково-дипольне наближення, де спін електронів добре локалізується за шкалою довжини електронно-ядерної відстані$r$ і припустимо, що$T$ виникає виключно з наскрізних космічних взаємодій. Це стосується водневих, лужних і земних іонів лугу. Потім знаходимо

$$T=\frac{1}{r^{3}} \frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} g_{e} \mu_{\mathrm{B}} g_{\mathrm{n}} \mu_{\mathrm{n}}$$

На даний момент ми припускаємо, що псевдосвітський внесок або мізерно малий, або може розглядатися як невелике збурення. Інший випадок розглядається в главі 6. На перший порядок потім дається внесок надтонкої взаємодії в енергетичні рівні$m_{S} m_{I} A$. У спектрі ЕПР кожне ядро зі$2 I+1$ спіном$I$ генерує електронні спінові переходи$\left|\Delta m_{S}\right|=1$, які можуть бути позначені значеннями$m_{I}=-I,-I+1, \ldots I$. У спектрі ядерних частот кожне ядро проявляє$2 S+1$ переходи с$\left|\Delta m_{I}\right|=1$. Для ядерних спінів$I>1 / 2$ у твердому стані кожен перехід додатково розщеплюється на$2 I$ переходи ядерним квадрупольним взаємодією. Внесок світської надтонкої зв'язку в частоти переходу електронів є$m_{I} A$, тоді як це$m_{S} A$ для ядерних частот переходу. В обох випадках розщеплення між сусідніми рядками надтонкого множника задається значенням$A$.

Спектральний прояв надтонкої взаємодії

Спектри ЕПР з рідким розчином

Оскільки кожне ядро розщеплює кожен спіновий перехід електронів на$2 I+1$ переходи з різною частотою, то кількість переходів ЕПР дорівнює$\prod_{i}\left(2 I_{i}+1\right)$. Деякі з цих переходів можуть збігатися, якщо надтонкі муфти однакові або цілі кратні один одному. Важливий випадок, коли надтонкі муфти точно такі ж є хімічно еквівалентними ядрами. Наприклад, два ядра$I_{1}=I_{2}=1 / 2$ можуть мати комбінації спінових станів$\alpha_{1} \alpha_{2}, \alpha_{1} \beta_{2}, \beta_{1} \alpha_{2}$, і$\beta_{1} \beta_{2}$. Внесок у частоти переходу є$\left(A_{1}+A_{2}\right) / 2,\left(A_{1}-A_{2}\right) / 2,\left(-A_{1}+A_{2}\right) / 2$, і

Малюнок 4.3: Надтонке розщеплення в спектрі ЕПР фенільного радикала. Найбільша надтонка зв'язок для двох еквівалентних ортопротонів генерує триплет ліній з відносною інтенсивністю$1: 2: 1$. Середнє з'єднання з двома еквівалентними метапротонами розбиває кожну лінію знову на$1: 2: 1$ візерунок, що веде до 9 ліній із співвідношенням інтенсивності$1: 2: 1: 2: 4: 2: 1: 2: 1$. Нарешті, кожна лінія розділена на дуплет невеликою надтонкою муфтою парапротона, що веде до ліній 18 з коефіцієнтом інтенсивності$1: 1: 2: 2: 1: 1: 2: 2: 4: 4: 2: 2: 1: 1: 2: 2: 1$.

$\left(-A_{1}-A 2\right) / 2$. Для еквівалентних ядер$A_{1}=A_{2}=A$ тільки з трьома лініями спостерігаються з$-A$ надтонкими$A, 0$ зсувами, а по відношенню до електронної частоти Зеемана. Незміщена центральна лінія має вдвічі більшу амплітуду, ніж зміщені лінії, що призводить до$1: 2: 1$ візерунка з розщепленням$A$. Для$k$ еквівалентних ядер з$I_{i}=1 / 2$ кількістю рядків дорівнює$k+1$ і відносні інтенсивності можуть бути виведені з трикутника Паскаля. Для групи$k_{i}$ еквівалентних ядер з довільним спіновим квантовим числом кількість рядків дорівнює$2 k_{i} I_{i}+1$.$I_{i}$ Множності груп рівнозначних ядер розмножуються. Отже, загальна кількість ліній ЕПР становить

$$n_{\mathrm{EPR}}=\prod_{i}\left(2 k_{i} I_{i}+1\right)$$

де індекс$i$ проходить над групами еквівалентних ядер.

Малюнок$4.3$ ілюструє на прикладі фенільного радикала, як виникає патерн мультиплету. Для радикалів з більш розширеними$\pi$ системами кількість ліній може бути дуже великим, і повністю вирішити спектр може стати неможливим. Навіть якщо спектр повністю вирішений, аналіз шаблону мультиплету може бути грізним завданням. Алгоритм, який добре працює для аналізу патернів з помірною кількістю рядків, наведено в [CCM16].

Ядерні частотні спектри рідинного розчину

Як згадувалося в розділі$4.2$, світська надтонка зв'язок$A$ може бути виведена з ядерних частотних спектрів, а також з спектрів ЕПР. Ширина ліній менша в спектрах ядерних частот, оскільки ядерні спини мають більш тривалий час поперечної релаксації$T_{2, i}$. Ще одна перевага спектрів ядерних частот виникає через те, що спін електронів взаємодіє з усіма ядерними спинами, тоді як кожен ядерний спін взаємодіє тільки з одним спіном електрона (рис. 4.4). Кількість ліній в ядерних частотних спектрах, таким чином, зростає лише лінійно з кількістю ядер, тоді як

Малюнок 4.4: Топології електронно-ядерної спінової системи для спектроскопії ЕПР (а) та ядерної спінової системи, типової для спектроскопії ЯМР (b). Через набагато більшого магнітного моменту спина електронів спін електронів «бачить» всі ядра, в той час як кожен ядерний спін в випадку ЕПР бачить тільки спін електронів. У випадку ЯМР кожен ядерний спін бачить один одного ядерний спін, породжуючи дуже багату, але важче аналізувати інформацію.

він зростає експоненціально в ЕПР-спектрах. У рідкому розчині кожна група еквівалентних ядерних спінів додає$2 S+1$ лінії, так що кількість рядків для$N_{\text {eq }}$ таких груп дорівнює

$$n_{\mathrm{NMR}}=(2 S+1) N_{\mathrm{eq}}$$

Спектри ядерних частот у рідкому розчині можна виміряти CW ENDOR, методикою, яка коротко розглядається в розділі 8.1.2.

$d$

Малюнок 4.5: Схеми енергетичного рівня (a, c) та ядерні частотні спектри (b, d) у слабкій надтонкій зв'язці$(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ та сильній надтонкій зв'язці (c, d) випадках для електронно-ядерної спінової системи$S=1 / 2$,$I=1 / 2$. Тут$\omega_{I}$ передбачається негативним і$A$ вважається позитивним. (а) У випадку слабкої зв'язку два ядерних спінових переходи (зелений) мають частоти$\left|\omega_{I}\right| \pm|A| / 2$.$|A| / 2<\left|\omega_{I}\right|$ (b) У випадку слабкої муфти дублет центрується на$\left|\omega_{I}\right|$ частоті і розділяється на$|A|$. (c) У випадку сильної зв'язки рівні$|A| / 2>\left|\omega_{I}\right|$ перетинаються для одного з електронних спінових станів. Два ядерні спінові переходи (зелений) мають частоти$|A| / 2 \pm\left|\omega_{I}\right|$. (d) У випадку сильної муфти дублет центрується на$|A| / 2$ частоті і розщеплюється на$2\left|\omega_{I}\right|$.

Ускладнення в інтерпретації ядерних частотних спектрів може виникнути через те, що надтонке взаємодія може бути більшим, ніж ядерна взаємодія Зеемана. Це проілюстровано на малюнку 4.5. Тільки в слабкому випадку зв'язку з$|A| / 2<\left|\omega_{I}\right|$ надтонким дублетом в ядерних частотних спектрах центрується$\left|\omega_{I}\right|$ і розщеплюється на$|A|$. У випадку сильної зв'язки надтонкі підрівні перетинаються для одного з спінових станів електронів, і ядерна частота$\left|\omega_{I}\right|-|A| / 2$ стає негативною. Оскільки знак частоти не виявлений, лінія знаходить на частоті$|A| / 2-\left|\omega_{I}\right|$ замість цього, тобто вона «дзеркальна» на нульовій частоті. Це призводить до дублет з центром на$|A| / 2$ частоті і розділений на$2\left|\omega_{I}\right|$. Розпізнавання таких випадків в добре дозволених спектрах рідкого стану спрощується тим, що ядерна частота Зеемана$\left|\omega_{I}\right|$ може приймати лише кілька значень, які відомі, якщо відомі ядерні ізотопи в молекулі і магнітному полі. Малюнок$4.6$ ілюструє, як будується ядерний частотний спектр фенільного радикала на основі таких міркувань. Спектр має лише 6 ліній, порівняно з лініями 18, що виникають у спектрі ЕПР на малюнку 4.3.

Малюнок 4.6: Схематичний ендор (ядерна частота) спектра фенільного радикала на частоті X-діапазону, де$\omega_{I} /(2 \pi) \approx 14 \mathrm{MHz}$. (а) Субспектр двох еквівалентних орто-протонів. Застосовується корпус міцної муфти. (b) Субспектр двох еквівалентних метапротонів. Застосовується випадок слабкого зчеплення. (c) Субспектр парапротона. Застосовується випадок слабкого зчеплення. (г) Повний спектр.

Твердотільні EPR спектри

У твердому стані побудова спектрів ЕПР ускладнюється тим, що електронна взаємодія Зеемана анізотропна. При кожній індивідуальній орієнтації молекули спектр виглядає як малюнок в рідкому стані, але від орієнтації залежать як центральна частота мультиплета, так і надтонкі розщеплення. Оскільки ці частотні розподіли неперервні, вирішені розщеплення зазвичай спостерігаються лише при особливостях лінійної форми форми взаємодії з найбільшою анізотропією. Для органічних радикалів на частотах Х-діапазону часто домінує надтонка анізотропія. На високих частотах або для іонів перехідних металів часто панує електронна анізотропія Зеемана. Точна форма лінії залежить не тільки від основних значень$g$ тензора і надтонкого тензорів, але і від відносної орієнтації їх PASs. Загальний випадок складний і вимагає числового моделювання, наприклад, EasySpin.

Однак досить часто зустрічаються прості випадки, коли домінує надтонка взаємодія тільки одного ядра$g$ і паС і надтонкого тензора збігаються. Наприклад, комплекси Cu (II) часто є квадратними площинними і, якщо всі чотири ліганди однакові, мають вісь$C_{4}$ симетрії. $g$Тензор ніж має осьову симетрію, а$C_{4}$ вісь є унікальною віссю. Надтонкі${ }^{63} \mathrm{Cu}$ тензори і${ }^{65} \mathrm{Cu}$ мають однакову симетрію і однакову унікальну вісь. Обидва ізотопи мають спінові$I=3 / 2$ і дуже схожі гіромагнітні співвідношення. Таким чином, спектри можна зрозуміти, розглядаючи один спін електронів$S=1 / 2$ і один ядерний спін$I=3 / 2$ з осьовими$g$ і надтонкими тензорами з однаковою віссю, що збігається.

У цій ситуації субспектри для кожного з ядерних спінових станів і$+3 / 2$ приймають аналогічну форму$m_{I}=-3 / 2,-1 / 2,+1 / 2$, як показано на малюнку$3.3$. Резонансне поле можна обчислити шляхом вирішення

$$\hbar \omega_{\mathrm{mw}}=\frac{\mu_{\mathrm{B}}}{B_{0, \mathrm{res}}}\left(2 g_{\perp}^{2} \sin ^{2} \theta+g_{\|}^{2} \cos ^{2} \theta\right)+m_{I}\left[A_{\text {iso }}+T\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)\right]$$

де$\theta$ - кут між віссю$C_{4}$ симетрії і вектором магнітного поля$\vec{B}_{0}$. Сингулярності зустрічаються при$\theta=0^{\circ}$ і$\theta=90^{\circ}$ і відповідають кутових частотах$\mu_{\mathrm{B}} B_{0} g_{\|}+m_{I} A_{\|}$ і$\mu_{\mathrm{B}} B_{0} g_{\perp}+m_{I} A_{\perp}$.

Малюнок 4.7: Побудова твердотільного спектра ЕПР для комплексу міді (II) з чотирма еквівалентними лігандами та квадратною плоскою координацією. Напрямки$g_{\|}$ і$A_{\|}$ головні осі збігаються з віссю$C_{4}$ симетрії комплексу (вставка). (a) Субспектри для чотирьох ядерних спінових станів з різним магнітним спіновим квантовим числом$m_{I}$. (б) Спектр поглинання. (c) Похідна спектра поглинання.

Побудова спектра ЕПР Cu (II) відповідно до цих міркувань показано на малюнку 4.7. Значення$g_{\|}$ і$A_{\|}$ можуть бути виведені шляхом аналізу сингулярностей поблизу низькопольового краю спектра. Біля краю високого поля надтонке розщеплення$A_{\perp}$ зазвичай не вирішується. Тут$g_{\perp}$ відповідає максимум спектра поглинання і нульового перетину його похідної.

Твердотільні ядерні частотні спектри

Знову ж таки, простіша ситуація зустрічається в ядерних частотних спектрах, оскільки ядерна частота Зеемана є ізотропною, а анізотропія хімічного зсуву мізерно мала порівняно з надтонкою анізотропією. Крім того, роздільна здатність набагато краща з причин, розглянутих вище, так що можна виявити менші гіпертонкі муфти та анізотропії. Якщо в анізотропії надтонкої зв'язку переважає наскрізний простір диполь-дипольного зв'язку з єдиним центром спінової щільності, як це часто буває для протонів, або шляхом внеску від щільності спина в одному$p$ або$d$ орбітальному, як це часто буває для інших ядер, Надтонкий тензор має майже осьову симетрію. У цьому випадку з форм ліній можна зробити висновок, чи застосовується випадок слабкої або сильної муфти і чи є ізотропна надтонка муфта позитивною чи негативною (рис. 4.8). Випадок з$A_{\text {iso }}=0$ відповідає шаблону Паке, розглянутому в ЯМР частини лекційного курсу.

Малюнок 4.8: Твердотільні ядерні частотні спектри для випадків з негативною ядерною частотою Зеемана$\omega_{I}$. (а) Слабкий випадок зчеплення з$A_{\text {iso }}>0$ і$A_{\text {iso }}>T$. (б) Слабкий випадок зчеплення з$A_{\text {iso }}<0$ і$\left|A_{\text {iso }}\right|>T$. (а) Корпус міцного зчеплення з$A_{\text {iso }}>0$ і$A_{\text {iso }}>T$. (б) Корпус міцного зчеплення з$A_{\text {iso }}<0$ і$\left|A_{\text {iso }}\right|>T$.

Біржова взаємодія

Фізичне походження і наслідки обмінної взаємодії

Якщо два непарні електрони займають SOMO в одній молекулі або в просторово близьких молекулах, хвильові функції$\psi_{1}$ і$\psi_{2}$ двох SOMO можуть перекриватися. Два непарних електронів можуть з'єднатися або з синглетним станом, або до триплетного стану. Енергетична різниця між синглетним і триплетним станом є обмінним інтегралом.

$$J=-2 e^{2} \iint \frac{\psi_{1}^{*}\left(r_{1}\right) \psi_{2}^{*}\left(r_{2}\right) \psi_{1}\left(r_{2}\right) \psi_{2}\left(r_{1}\right)}{\left|\vec{r}_{1} \vec{r}_{2}\right|} \mathrm{d} \vec{r}_{1} \mathrm{~d} \vec{r}_{2}$$

Існують різні умовності для знака$J$ і фактор 2 може бути відсутнім у частині літератури. При вживаній тут конвенції про знак, синглетний стан нижчий за енергією для позитивного$J$. Оскільки синглетний стан$S$ зі спіновою функцією$(|\alpha \beta\rangle-|\beta \alpha\rangle) / \sqrt{2}$ є антисиметричним щодо обміну двома електронами, а електрони є ферміонами, це відповідає ситуації, коли два електрони також могли займати однакову орбітальну. Це склеювання орбітального перекриття, відповідне антиферомагнітному упорядкуванню спина. Негативні$J$ відповідають нижчележачому триплетному стану, тобто антизв'язуючому орбітальному перекриттю та феромагнітному упорядкуванню спина. Триплетний стан має три підстани з хвильовими функціями$|\alpha \alpha\rangle$$(|\alpha \beta\rangle+|\beta \alpha\rangle) / \sqrt{2}$ для$\mathrm{T}_{+}$ держави, і для$\mathrm{T}_{0}$ держави, і$|\beta \beta\rangle$ для$\mathrm{T}_{-}$ держави. $\mathrm{T}_{-}$Стан$\mathrm{T}_{+}$ і є власнимистанами як при відсутності, так і при наявності$J$ зчеплення. $\mathrm{S}$Стани і$\mathrm{T}_{0}$ є власнимистанами для$J \gg \Delta \omega$, де$\Delta \omega$ різниця між електронними частотами Зеемана двох спинив. Для протилежного випадку$\Delta \omega \gg J$, власнимистанами є$|\alpha \beta\rangle$ і$|\beta \alpha\rangle$. Останній випадок відповідає високопольовому наближенню щодо обмінної взаємодії.

Для сильного обміну енергії приблизно$-(3 / 4) J$ для синглетного стану і$J / 4-\omega_{S}, J / 4$ і$J / 4+\omega_{S}$ для триплетної підстани$\mathrm{T}_{-}, \mathrm{T}_{0}$, і$\mathrm{T}_{+}$, відповідно, де$\omega_{S}$ знаходиться$J \gg \Delta \omega$ взаємодія електронів Зеемана, яка однакова для обох спинив в межах цього наближення. Якщо$J \gg 2 \pi \nu_{\mathrm{mw}}$ мікрохвильові фотони з енергією$h \nu_{\mathrm{mw}}$ не можуть збуджувати переходи між синглетним і триплетним підпростором спінового гільбертового простору. Тоді зручно використовувати пов'язане подання і розглядати два підпростори окремо один від одного. Синглетний підпростір відповідає діамагнітній молекулі і не сприяє ЕПР-спектрам. Триплетний підпростір можна описати груповим$S=1$ спіном двох непарних електронів. У зв'язаному поданні$J$ не входить спін гамільтоніан, так як він зміщує всі рівні підпростору на одну і ту ж енергію. $J<0$Бо стан триплет є основним станом і завжди можна спостерігати за допомогою спектроскопії ЕПР. Однак, як правило, один має$J>0$ і синглетний стан є основним станом. $k_{\mathrm{B}} T$До тих пір, поки не$\hbar J$ перевищує теплову енергію в великий коефіцієнт, стан триплета термічно збуджується і спостерігається. При цьому амплітуда сигналу ЕПР може збільшуватися, а не зменшуватися з підвищенням температури. Для органічних молекул цей випадок також рідкісний. Якщо$\hbar J \gg k_{\mathrm{B}} T$, з'єднання не подає сигнал ЕПР. Ще можна спостерігати стан триплет перехідно після фотозбудження до збудженого синглетного стану і міжсистемного переходу в стан триплета.

Слабка обмінна зв'язок спостерігається у бірадикалів з добре локалізованими СОМО, які розділені за шкалами довжини між$0.5$ і$1.5 \mathrm{~nm}$. У таких випадках обмінна зв'язок$J$ зменшується експоненціально з відстанню між двома електронами або з кількістю сполучених зв'язків, які розділяють два центри спінової щільності. Якщо два центри не пов'язані безперервним ланцюгом сполучених зв'язків, обмінна муфта рідко вирішується на відстанях, більших ніж$1.5 \mathrm{~nm}$. У будь-якому випадку, на таких великих відстанях обмінна муфта набагато менше, ніж дипольно-дипольна зв'язок між двома непарними електронами, якщо система не сполучена. Для слабкої обмінної муфти система зручніше описати в незв'язаному представленні з двома спинами$S_{1}=1 / 2$ і$S_{2}=1 / 2$.

Обмінна зв'язок також значуща при дифузійних зустрічах двох парамагнітних молекул в рідкому розчині. Такий динамічний спіновий обмін Гейзенберга можна уявити як фізичний обмін непарними електронами між стикаються молекулами. Це викликає раптову зміну спина гамільтоніана, що призводить до спін-релаксації. Типовим прикладом є розширення ліній в ЕПР-спектрах радикалів киснем, який має парамагнітний триплетний стан землі. При зіткненні радикалів одного типу також спостерігається розширення ліній, але вплив на спектри може бути більш тонким, оскільки спінові гамільтоніани стикаються радикалів однакові. При цьому обмін непарних електронів між радикалами змінюється тільки спіновий стан, але не спіновий гамільтоніан.

Обмін Гамільтоніан

Спіновий гамільтонівський внесок слабкою обмінною зв'язкою становить

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{EX}}=J\left(\hat{S}_{1 x} \hat{S}_{2 x}+\hat{S}_{1 y} \hat{S}_{2 y}+\hat{S}_{1 z} \hat{S}_{2 z}\right)$$

Цей гамільтоніан є аналогом$J$ зв'язку гамільтоніана в ЯМР-спектроскопії. Якщо два спини мають різні$g$ значення і поле досить високе$\left(g \mu_{\mathrm{B}} B_{0} / \hbar \gg J\right)$, обмінний гамільтоніан може бути обрізаний так само, як і$J$ зв'язок гамільтоніана в гетеронуклеарному ЯМР:

$$\hat{\mathcal{H}}_{\text {EX,trunc }}=J \hat{S}_{1 z} \hat{S}_{2 z}$$

Спектральний прояв обмінної взаємодії

При відсутності надтонкої зв'язку ситуація така ж, як і для$J$ зв'язку в ЯМР-спектроскопії. Обмінна зв'язок між подібними спинами (однакова частота електрона Зеемана) не впливає на спектри. Для радикалів у рідкому розчині зазвичай спостерігається надтонке зчеплення. У цьому випадку обмінна зв'язок дійсно впливає на спектри навіть для подібних спинив, як показано на малюнку$5.1$ для двох електронних спінів, пов'язаних з обмінним зв'язком,$S_{1}=1 / 2$ і$S_{2}=1 / 2$ з кожним з них з'єднані виключно з одним ядерним спіном$\left(I_{1}=1\right.$ і $I_{2}=1$, відповідно) з такою ж надтонкою муфтою$A_{\mathrm{iso}}$. Якщо обмінна муфта набагато менше, ніж ізотропна надтонка муфта, кожна з окремих ліній надтонкої трійки додатково розщеплюється на три лінії. Якщо розщеплення дуже маленьке, це може бути помітно лише у вигляді розширення лінії. При дуже великій обмінній зв'язці електронні спини рівномірно розподіляються по двох обмінних зв'язаних частинок. Значить, кожен з них має однакову надтонку зв'язок з обома ядрами. Ця зв'язок є половиною початкової надтонкої зв'язку, оскільки в середньому електронний спін має лише половину щільності спина на орбіталі даного ядра порівняно з випадком без обмінного зв'язку. Для проміжних обмінних муфт виникають складні схеми розщеплення, характерні для співвідношення між обмінною і надтонкої муфтою.

Малюнок 5.1: Вплив обмінної муфти$J$ на спектри ЕПР з надтонкою зв'язкою в рідкому розчині (моделювання). Спектри показані для двох електронних спинив$S_{1}=1 / 2$ і$S_{2}=1 / 2$ з однаковою ізотропною$g$ величиною і однаковою ізотропною надтонкою зв'язкою з ядерним спіном$I_{1}=1$ або$I_{2}=1$ відповідно. При відсутності обмінної муфти спостерігається триплет з$1: 1: 1$ амплітудним відношенням. Для невеликих обмінних муфт кожна лінія розбивається на триплет. При проміжних обмінних муфтах виникають складні візерунки з багатьма лініями. Для дуже сильної обмінної зв'язку кожен електронний спін пари з обома ядрами азоту з половиною ізотропної обмінної зв'язку. Спостерігається п'ятиплет з$1: 2: 3: 2: 1$ амплітудним співвідношенням.

$5.2$Дипольно-дипольна взаємодія

Фізична картина

Магнітна дипольно-дипольна взаємодія між двома локалізованими електронними спинами з магнітними моментами$\mu_{1}$ і$\mu_{2}$ приймає ту ж форму, що і класична взаємодія між двома магнітними точковими диполями. Енергія взаємодії

$$E=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \cdot \mu_{1} \mu_{2} \cdot \frac{1}{r^{3}} \cdot\left(2 \cos \theta_{1} \cos \theta_{2}-\sin \theta_{1} \sin \theta_{2} \cos \phi\right)$$

як правило, залежить від двох кутів$\theta_{1}$ і$\theta_{2}$ що точкові диполі включають з вектором між ними і від двогранного кута$\phi$ (рис. 5.2). Дипольно-дипольна взаємодія масштабується з оберненим кубом відстані між двома точковими диполями.

Загалом, дві електронні спини просторово розподілені у відповідних СОМО. Точково-дипольне наближення все ще є хорошим наближенням, якщо відстань$r$ набагато більше, ніж просторовий розподіл кожного електронного спіна. Подальше спрощення можливо, якщо$g$ анізотропія набагато менше ізотропного$g$ значення. У такому випадку дві прядки вирівнюються паралельно магнітному полю і, таким чином, також паралельні один одному, так що$\theta_{1}=\theta_{2}=\theta$ і$\phi=0$. Eq. (5.4) потім спрощує

$$E=-\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \cdot \mu_{1} \mu_{2} \cdot \frac{1}{r^{3}} \cdot\left(3 \cos ^{2} \theta-1\right)$$

яка є формою, відомою з ЯМР-спектроскопії.

Малюнок 5.2: Геометрія двох магнітних точкових диполів в загальній орієнтації. Кути$\theta_{1}$ і$\theta_{2}$ включаються між відповідними векторами магнітного моменту$\vec{\mu}_{1}$ або$\vec{\mu}_{2}$ вектором відстані$\vec{r}$ між точковими диполями. $\phi$Кут - двогранний кут.

Диполь-дипольний гамільтоніан

Для двох електронних спінів, які не обов'язково вирівняні паралельно зовнішньому магнітному полю, дипольно-дипольний термін зв'язку спінового гамільтоніана приймає вигляд

$$\widehat{H}_{\mathrm{dd}}=\widehat{S}_{1}^{\mathrm{T}} \underline{D} \widehat{S}_{2}=\frac{1}{r^{3}} \cdot \frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} \cdot g_{1} g_{2} \mu_{\mathrm{B}}^{2}\left[\widehat{S}_{1} \widehat{S}_{2}-\frac{3}{r^{2}}\left(\widehat{S}_{1} \vec{r}\right)\left(\widehat{S}_{2} \vec{r}\right)\right]$$

Якщо електрони розподілені в просторі, гамільтоніан повинен бути усереднений (інтегрований) над двома просторовими розподілами, оскільки рух електронів протікає на набагато швидшому часовому масштабі, ніж експеримент з ЕПР.

Якщо два непарних електрона добре локалізовані за шкалою довжини їх відстаней і їх спини вирівняні паралельно зовнішньому магнітному полю, то дипольно-дипольний гамільтоніан набуває вигляду

$$\hat{H}_{\mathrm{dd}}=\frac{1}{r^{3}} \cdot \frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} \cdot g_{1} g_{2} \mu_{\mathrm{B}}^{2}[\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}+\hat{D}+\hat{E}+\hat{F}]$$

з термінами диполярного алфавіту

\ [\ почати {вирівняний} \ капелюх {A} &=\ капелюх {S} _ {z}\ капелюх {I} _ {z}\ лівий (1-3\ cos ^ {2}\ тета\ праворуч)\ \ капелюх {B} &=-\ frac {1} {4}\ лівий [\ капелюх {S} ^ {+}\ капелюх {Я} ^ {-} +\ капелюх {S} {-}\ капелюх {Я} ^ {+}\ праворуч]\ ліворуч (1-3\ cos ^ {2}\ тета\ праворуч)\ \ капелюх {C} &=-\ frac {3} {2}\ ліворуч [\ капелюх {S} ^ {+}\ капелюх {I} _ {z} +\ капелюх {S} _ {z}\ капелюх {S} _ {z}\ капелюх {Я} \ sin\ тета\ cos\ тета e^ {-i\ phi} \\ капелюх {D} &=-\ frac {3} {2}\ лівий [\ капелюх {S} ^ {-}\ hat {I} _ {z}\ капелюх {я} ^ {-}\ право]\ грін\ тета\ cos\ тета е ^ {я}\ phi\\ \ капелюх {E} &=-\ розрив {3} {4}\ капелюх {S} ^ {+}\ капелюх {I} ^ {+}\ sin ^ {2}\ тета е^ {-2 i\ фі}\ \ капелюх {F} &=-\ frac {3} {4}\ капелюх {S} ^ {-}\ капелюх {Я} ^ {-} sin ^ {2}\ тета e^ {2 i\ phi} \ кінець {вирівняний}\]

Зазвичай ЕПР-спектроскопія проводиться на порах, де взаємодія електронів Зеемана набагато більше, ніж$50 \mathrm{MHz}$ дипольно-дипольна зв'язок, яка має величину близько на відстані$1 \mathrm{~nm}$ і від$50 \mathrm{kHz}$ на відстані$10 \mathrm{~nm}$. У цій ситуації терміни$\hat{C}, \hat{D}, \hat{E}$, і$\hat{F}$ є несвітськими і можуть бути відкинуті. $\hat{B}$Термін псевдосвітський і може бути скинутий тільки в тому випадку, якщо

Малюнок 5.3: Пояснення дипольно-дипольного зв'язку між двома спинами на локальній картині поля. При спіні спостерігача (синього кольору) місцеве магнітне поле індукується магнітним моментом спина партнера зчеплення (червоний). У світському наближенні актуальна лише$z$ складова цього поля, яка паралельна або антипаралельна зовнішньому магнітному полю$\vec{B}_{0}$. Величина цієї$z$ складової залежить від кута$\theta$ між зовнішнім магнітним полем і вектором спін-спіна$\vec{r}$. Для$\alpha$ (лівого) і$\beta$ (правого) станів партнерського спина локальне поле при спині спостерігача має однакову величину, але протилежний напрямок. У високотемпературному наближенні обидва ці стани однаково заселені. Зсув резонансної частоти спіна спостерігача, таким чином, призводить до розщеплення спінового переходу спостерігача, який вдвічі перевищує добуток локального поля при гіромагнітному відношенні спіна спостерігача.

різниця між електронними частотами Зеемана набагато більше, ніж у дипольно-дипольної зв'язку 1. У експериментах з подвійним резонансом електронів (ELDOR) різниця частот Лармора двох пов'язаних спінів може бути обрана за допомогою різниці двох мікрохвильових частот. Таким чином, можна збуджувати спінові пари, для яких потрібно враховувати лише світську частину спина гамільтоніана,

$$\widehat{H}_{\mathrm{dd}}=\omega_{\perp}\left(1-3 \cos ^{2} \theta\right) \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}$$

із

$$\omega_{\perp}=\frac{1}{r^{3}} \cdot \frac{\mu_{0}}{4 \pi \hbar} \cdot g_{1} g_{2} \mu_{\mathrm{B}}^{2}$$

Тоді дипольно-дипольна муфта має просту залежність від кута$\theta$ між зовнішнім магнітним полем$\vec{B}_{0}$ та вектором спін-спіна,$\vec{r}$ і муфту можна інтерпретувати як взаємодію спіна зі$z$ складовою локальне магнітне поле, яке індукується магнітним дипольним моментом партнера зв'язку (рис. 5.3). Оскільки середнє значення другого полінома Лежандра$\left(1-3 \cos ^{2} \theta\right) / 2$ за всіма кутами$\theta$ зникає, дипольно-дипольна взаємодія зникає при швидкому ізотропному русі. Вимірювання цієї взаємодії, таким чином, виконуються в твердому стані.

Диполь-дипольний тензор у світському наближенні має власні значення$\left(\omega_{\perp}, \omega_{\perp},-2 \omega_{\perp}\right)$. $d$Дипольно-дипольна муфта при будь-якій орієнтації$\theta$ задається

$$d=\omega_{\perp}\left(1-3 \cos ^{2} \theta\right)$$

Спектральний прояв дипольно-дипольної взаємодії

Схема енергетичного рівня і схематичний спектр для спінової пари з фіксованим кутом$\theta$ показані на малюнку$5.4 \mathrm{a}$ і b відповідно. Дипольно-дипольні муфти розщеплюють перехід або з'єднаного спина$d$. Якщо зразок є макроскопічно ізотропним, наприклад, мікрокристалічним порошком або склоподібним замороженим розчином, всі кути$\theta$ відбуваються з ймовірністю$\sin \theta$. Кожна лінія диполярного дуплета

${ }^{1}$Надтонка зв'язок спінів електронів може змінити цю умову.

Рисунок 5.4: Схема енергетичного рівня (а) та схематичний спектр (b) для дипольно-дипольної зв'язаної спінової пари при$\theta$ фіксованій орієнтації щодо магнітного поля. Частоти електрона Зеемана двох спинив є$\omega_{\mathrm{A}}$ і$\omega_{\mathrm{B}}$, відповідно. $d \ll\left|\omega_{\mathrm{A}}-\omega_{\mathrm{B}}\right|$Передбачається слабке зчеплення. $d$Диполярне розщеплення однакове для обох спинив. Залежно від однорідної ширини лінії$1 / T_{2}$ розщеплення може бути вирішено або не може бути вирішено. Якщо$\omega_{\mathrm{A}}$ і$\omega_{\mathrm{B}}$ поширюються, наприклад,$g$ анізотропією, дозвіл втрачається навіть для$d>1 / T_{2}$.

потім розширюється до порошкового малюнка, як показано на малюнку 3.3. Порошковий малюнок для$\beta$ стану партнерського спина є дзеркальним відображенням тієї, що для$\alpha$ стану, так як зсуви частоти місцевим магнітним полем мають протилежний знак для двох станів. Накладення двох осьових шаблонів порошку називається візерунком Паке (рис. 5.5). Центр візерунка Паке відповідає магічному куту$\theta_{\text {magic }}=\arccos \sqrt{1 / 3} \approx 54.7^{\circ}$. Дипольно-дипольна муфта зникає під цим кутом.

Малюнок 5.5: Шаблон Паке спостерігається для спінової пари з дипольно-дипольним зв'язком. (а) Розщеплення диполярного дублета змінюється залежно від кута$\theta$ між вектором спін-спіна та статичним магнітним полем. Орієнтації мають ймовірність$\sin \theta$. (b) Сума всіх дублетів для рівномірного розподілу напрямків спін-спінового вектора є патерном Пейка. «Роги» розділені на,$\omega_{\perp}$ а «плечі» розщеплюються$\omega_{\|}=2 \omega_{\perp}$. Центр візерунка відповідає магічному куту.

Картина Паке дуже рідко спостерігається в спектрі ЕПР, оскільки зазвичай інші анізотропні взаємодії більші, ніж дипольно-дипольна взаємодія між електронними спинами. Якщо умова слабкозчеплення$d \ll\left|\omega_{\mathrm{A}}-\omega_{\mathrm{B}}\right|$ виконана для переважної більшості всіх орієнтацій, то лінія ЕПР добре апроксимується згорткою патерну Паке з лінійною формою за відсутності дипольно-дипольної взаємодії. Якщо остання лінійна форма відома, наприклад, з вимірювання аналогічних зразків, які несуть лише одну з двох електронних спінів, візерунок Паке можна витягти шляхом деконволюції, а відстань між двома електронними спинами можна зробити висновок з розщеплення$\omega_{\perp}$ шляхом інвертування еквалайзера (5.15).

Взаємодія з нульовим полем

Фізична картина

Якщо кілька непарних спинив дуже сильно обмінюються в парі, то їх найкраще описати груповим спином$S$. Поняття найлегше зрозуміти для випадку двох електронних спінів, про які ми вже обговорювали в розділі 5.1.1. У цьому випадку синглетний стан з груповим спіном$S=0$ є діамагнітним і, таким чином, не спостерігається ЕПР. Три підрівні спостережуваного триплетного стану з груповим спіном$S=1$ відповідають магнітним квантовим числам$m_{S}=-1,0$, причому$+1$ при високому полі. Ці рівні розділені електронною взаємодією Зеемана. Переходи$m_{S}=-1 \leftrightarrow 0$ і$m_{S}=0 \leftrightarrow+1$ допускаються спінові переходи електронів, тоді як перехід$m_{S}=-1 \leftrightarrow+1$ є забороненим подвійним квантовим переходом.

При нульовому магнітному полі взаємодія електронів Зеемана зникає, але три триплетні підрівні не вироджуються, вони демонструють розщеплення нульового поля. Це пояснюється тим, що непарні електрони також дипольно-дипольні зв'язані. Інтеграція Eq. (5.6) над просторовим розподілом двох електронних спінів у відповідних SOMO забезпечує тензор взаємодії нульового поля$\mathbf{D}$, який може бути відлитий у формі, де він описує зв'язок групового спіна$S=1$ з самим собою [Rie07]. При нульовому полі триплетні підрівні не описуються магнітним квантовим числом$m_{S}$, яке є хорошим квантовим числом лише в тому випадку, якщо взаємодія електронів Зеемана набагато більше взаємодії з нульовим полем. Швидше за все, триплетні підрівні в нульовому полі пов'язані з основними напрямками осі тензора взаємодії нульового поля і тому маркуються$\mathrm{T}_{x}, \mathrm{~T}_{y}$, і$\mathrm{T}_{z}$, тоді як підрівні у високопольовому наближенні маркуються$\mathrm{T}_{-1}, \mathrm{~T}_{0}$, і $\mathrm{T}_{+1}$.

Це поняття може бути поширене на довільну кількість сильно пов'язаних електронних спінів. Випадки з до 5 сильно зв'язаних непарних електронів трапляються для іонів перехідних металів (d оболонка), а випадки з до 7 сильно зв'язаних непарних електронів - для рідкісноземельних іонів (f оболонки). Згідно з правилом Гунда, за відсутності лігандного поля державою з найбільшим груповим спином$S$ є стан землі. Іони Крамерса з непарною кількістю непарних електронів мають напівцілочисельний груповий спін$S$. Вони поводяться по-різному від некрамерів-іонів з парним числом електронів і цілочисельним груповим спіном$S$. Ця класифікація стосується теореми Крамерса, яка стверджує, що для симетричної системи часового розвороту з півцілим загальним спіном всі власні стани відбуваються у вигляді пар (пар Крамерса), які вироджуються при нульовому магнітному полі. Як наслідок, для іонів Крамерса стан землі при нульовому полі буде розщеплюватися при застосуванні магнітного поля. Для будь-якої мікрохвильової частоти існує магнітне поле, де перехід всередині землі дублет Крамерса спостерігається в спектрі ЕПР. Те ж саме не стосується цілочисельних груп спина, де стан заземлення не може бути виродженим при нульовому полі. Якщо взаємодія нульового поля більше, ніж максимальна доступна мікрохвильова частота, іони, що не крамерів, можуть бути непомітними за допомогою спектроскопії ЕПР, хоча вони існують у парамагнітному стані з високим спіном. Типовими прикладами таких безшумних іонів без крамерів EPR є$\mathrm{Ni}(\mathrm{II})\left(3 \mathrm{~d}^{8}, S=1\right)$ високошвидкісний і високий спін$\mathrm{Fe}(\mathrm{II})\left(3 \mathrm{~d}^{6}, S=2\right)$. У рідкісних випадках іони некрамерів спостерігаються ЕПР, оскільки основний стан може вироджуватися при нульовому магнітному полі, якщо поле ліганду має осьову симетрію. Відзначимо також, що «EPR безшумні» некрамерські іони можуть стати помітними при досить високій мікрохвильовій частоті і магнітному полі.

Для іонів перехідного металу та рідкісноземельних елементів взаємодія нульового поля не обумовлена виключно дипольно-дипольною взаємодією між електронними спинами. Спін-орбітальна зв'язок також сприяє, у багатьох випадках навіть сильніше, ніж дипольно-дипольна взаємодія. Квантово-хімічне прогнозування взаємодії нульового поля є активною сферою досліджень. Цілком обґрунтовані прогнози можна отримати для іонів перехідних металів, тоді як для іонів рідкісноземельних іонів зазвичай можливі лише порядкові оцінки.

Взаємодія нульового поля гамільтоніана

Гамільтоніан взаємодії нульового поля часто задається як

$$\hat{\mathcal{H}}_{\mathrm{ZFI}}=\overrightarrow{\hat{S}}^{\mathrm{T}} \mathbf{D} \overrightarrow{\hat{S}}^{\overrightarrow{\mathrm{S}}}$$

де${ }^{T}$ позначає транспонування оператора спінового вектора. У системі головних осей тензора розщеплення нульового поля (ZFS) гамільтоніан спрощує

\ [\ почати {вирівняний} \ капелюх {\ mathcal {H}} _ {\ mathrm {ZFI}} &=D_ {x}\ капелюх {S} _ {x} ^ {x} ^ {x} ^ {S}\ шапка {S} _ {z} _ {z} ^ {2}\ &D}\ шапка {S} _ {z} ^ {2}\ &D\ [S_ {z} ^ {2} -\ розрив {1} {3} S (S+1)\ праворуч] +E\ лівий (S_ {x} ^ {2} -S_ {y} ^ {2}\ праворуч) \ кінець {вирівняний}\]

де$D=3 D_{z} / 2$ і$E=\left(D_{x}-D_{y}\right) / 2$. Зведення до двох параметрів можливо, так як$\mathbf{D}$ є безслідовим тензором. Іншими словами, взаємодія нульового поля є чисто анізотропним. $D, E$Позначення передбачає, що$D_{z}$ основне значення при найбільшому абсолютному значенні$(D$ може бути від'ємним). Разом з відсутністю ізотропної складової це означає$D_{y}$, що, яка завжди є проміжною величиною, знаходиться або$D_{x}$ ближче до,$D_{z}$ або точно посередині між цими двома значеннями. Відповідно,$|E| \leq|D / 3|$. При осьової симетрії$E=0$. Осьова симетрія застосовується, якщо система має вісь$C_{n}$ симетрії с$n \geq 3$. При кубічної симетрії обидва$D$ і$E$ дорівнюють нулю. Для групового$S \geq 2$ спина провідним терміном$\mathrm{ZFS}$ є гексадекаполярний внесок, який масштабується з четвертою потужністю спінових операторів$\left(\hat{S}_{x}^{4}, \hat{S}_{y}^{4}, \hat{S}_{z}^{4}\right)$.

У високопольовому наближенні внесок ЗФС у гамільтоніан є$\omega_{D} S_{z}^{2}$ терміном. Іншими словами, до першого порядку в теорії збурень внесено внесок ЗФС в енергію спінового рівня з магнітними квантовими$m_{S}$ шкалами з$m_{S}^{2}$. Для дозволеного переходу$m_{S} \leftrightarrow m_{S}+1$ цей внесок є$\omega_{D}\left(2 m_{S}+1\right)$. Цей внесок зникає для центрального переходу$m_{S}=-1 / 2 \leftrightarrow 1 / 2$ іонів Крамерса. Більш загально, через масштабування енергій рівня з першим порядком внесок ZFS$m_{S}^{2}$ в перехідні частоти зникає для всіх$-m_{S} \leftrightarrow+m_{S}$ переходів.

Рисунок 5.6: Схематичні спектри CW EPR для триплетних$(S=1)$ станів у високому полі. Моделювання проводилися на частоті X-діапазону$9.6 \mathrm{GHz}$. (а) Осьова симетрія$(D=1 \mathrm{GHz}, E=0)$. Спектр є похідною від візерунка Паке. (б) Орторомбічна симетрія$(D=1 \mathrm{GHz}, E=0.1 \mathrm{GHz})$.

Спектральний прояв розщеплення нульового поля

Спектри найлегше зрозуміти в високопольовому наближенні. Досить часто відхилення від цього наближення є значними для ЗФС (див. Рис. 2.2), і про таких відхиленнях мова йде далі. Інший обмежувальний випадок, коли ZFS набагато більший за взаємодію електронів Зеемана (Fe (III) та більшість рідкісноземельних іонів), обговорюється в розділі 5.3.4.

Для триплетних станів$(S=1)$ з осьовою симетрією тензора ZFS спектром поглинання є патерном Паке (див. Розділ 5.2.3). При безперервно-хвильовому ЕПР виявляється похідна спектра поглинання, яка має вигляд, показаний на рис. 5.6 (а). Відхилення від осьової симетрії призводить до розщеплення «рогів» візерунка Паке на$3 E$, тоді як «плечі» візерунка не зачіпаються (рис.5.6 (б)). Триплетні стани органічних молекул часто спостерігаються після оптичного збудження синглетного стану і міжсистемного перетину. Таке міжсистемне перетин, як правило, призводить до різної сукупності триплетних підрівнів нульового поля$\mathrm{T}_{x}, \mathrm{~T}_{y}$, і$\mathrm{T}_{z}$. У цій ситуації система спина знаходиться не в тепловій рівновазі, а спина поляризована. Така спінова поляризація впливає на відносну інтенсивність сингулярностей лінійної форми в спектрах і навіть знак сигналу може змінюватися. Однак особливості все ще спостерігаються при тих же резонансних полах, тобто параметри$D$ і все ще$E$ можуть зчитуватися зі спектрів, як зазначено на рис. $5.6$.

Навіть якщо популяції потрійних підрівнів розслаблені до теплової рівноваги, спектр все одно може відрізнятися від спектру наближення високого поля, як показано на рис. $5.7$для збудженої нафталенової трійки (моделювання виконано на прикладі сценарію програмного пакету EasySpin http://WWW. easypin.org/). Бо$D=3 \mathrm{GHz}$ в полі близько$160 \mathrm{mT}$ (частота електрона Зеемана близько$4.8 \mathrm{GHz}$) високе поле наближення порушується і вже не$m_{S}$ є хорошим квантовим числом. Отже, формально заборонений подвійний квантовий перехід$m_{S}=-1 \leftrightarrow+1$ стає частково дозволеним. До першого порядку в теорії збурень цей перехід не розширюється ZFS. Тому вона дуже вузька в порівнянні з дозволеними переходами і з'являється з більшою амплітудою.

Малюнок 5.7: CW EPR спектр збудженої нафталенової триплет при тепловій рівновазі (моделювання на частоті$\mathrm{X}$ -діапазону$9.6 \mathrm{GHz}) . D \approx 3 \mathrm{GHz}, E \approx 0.41 \mathrm{GHz}$). Червоною стрілкою позначається сигнал полуполя, який відповідає формально забороненому подвійному квантовому переходу$m_{S}=-1 \leftrightarrow+1$.

Для іонів Крамерса в спектрах зазвичай переважає центральний$m_{S}=-1 / 2 \leftrightarrow 1 / 2$ перехід, який не ZFS-розширений до першого порядку. До другого порядку в теорії збурень ZFS-розширення цієї лінії масштабується обернено магнітним полем. Отже, тоді як системи з$g$ анізотропією демонструють розширення пропорційно магнітному полю$B_{0}$, центральні переходи іонів Крамерса демонструють звуження с$1 / B_{0}$. Останні системи можуть бути виявлені з надзвичайно високою чутливістю на високих порах, якщо вони не мають значної$g$ анізотропії. Це стосується систем з наполовину заповненими оболонками (наприклад$\mathrm{Mn}(\mathrm{II}), 3 \mathrm{~d}^{5} ; \mathrm{Gd}(\mathrm{III}), 4 \mathrm{f}^{7}$). У випадку Mn (II) (рис. 5.8) вузький центральний перехід розділений на шість рядків надтонким зв'язком з ядерним спіном${ }^{55} \mathrm{Mn}$ ($I=5 / 2,100 \%$природне достаток ядерного спіна). Через$\left|2 m_{S}+1\right|$ масштабування анізотропних ZFS розширення$m_{S} \leftrightarrow m_{S}+1$ переходів, супутникові переходи стають ширшими,$\left|m_{S}\right|$ чим більше для задіяних рівнів. У високотемпературному наближенні інтегральна інтенсивність в спектрі поглинання однакова для всіх переходів. Отже, більш широкі переходи вносять менший внесок в амплітуду в спектрі поглинання і в його першій похідній, яка набувається CW EPR.

Малюнок 5.8: CW EPR спектр комплексу Mn (II) (моделювання на частоті W-діапазону$94 \mathrm{GHz}$). $D=0.6 \mathrm{GHz}, E=0.05 \mathrm{GHz}, A\left({ }^{55} \mathrm{Mn}\right)=253 \mathrm{MHz}$. Шість інтенсивних вузьких ліній є надтонким множником центрального переходу$m_{S}=-1 / 2 \leftrightarrow+1 / 2$.

Ситуація може бути ще більше ускладнена$D$ і$E$ деформацією, яка є розподілом$D$ і$E$ параметрів за рахунок розподілу в лігандному полі. Такий випадок продемонстрований на рис. $5.9$для Gd (III) при мікрохвильовій частоті,$34 \mathrm{GHz}$ де розширення центрального переходу другого порядку все ще досить сильне. У такому випадку особливості лінійної форми вимиваються, і параметри ZFS не можуть бути безпосередньо зчитуються зі спектрів. У CW EPR супутникові переходи можуть залишатися непоміченими, оскільки похідна лінії поглинання дуже мала, за винятком центрального переходу.

Ефективне віджимання$1 / 2$ в дублетах Крамерса

Для деяких систем, таких як Fe (III), ZFS набагато більше, ніж електронна взаємодія Зеемана при будь-якому експериментально досяжному магнітному полі. При цьому взаємодія нульового поля визначає напрямок квантування, а електронну взаємодію Зеемана можна розглядати як збурень [Cas+60]. Лікування є найпростішим для осьової симетрії$(E=0)$, де віссю квантування є$z$ віссю тензора ZFS. Енергії при відсутності магнітного поля є

$$\omega\left(m_{S}\right)=D m_{S}^{2}$$

який для високошвидкісного Fe (III) з$S=5 / 2$ дає три вироджених Крамерса дублети, що відповідають$m_{S}=\pm 5 / 2, \pm 3 / 2$, і$\pm 1 / 2$. Якщо магнітне поле застосовується вздовж$z$ осі тензора ZFS,$m_{S}$ є хорошим$m_{S} g \mu_{\mathrm{B}} B_{0}$ квантовим$g$ числом і існує просто додатковий енергетичний термін, який є$g$ значенням для напівзаповненої оболонки, які можуть бути наближені як$g=2$. Крім того, в цій ситуації допускається лише$m_{S}=-1 / 2 \leftrightarrow 1 / 2$ перехід. Термін Зеемана призводить до розщеплення дуплету$m_{S}=\pm 1 / 2$ Крамерса, який пропорційний$B_{0}$ і

Малюнок 5.9: Ехо-детектований EPR спектр (спектр поглинання) комплексу Gd (III) з$D \approx 1.2$ ГГц, розподіл Гаусса$D$ зі стандартним відхиленням$0.24 \mathrm{GHz}$ і корельований розподіл$E$ (моделювання на частоті Q-діапазону $34 \mathrm{GHz}$люб'язно надано доктором Максимом Юліковим). (a) Загальний спектр (чорний) та внесок окремих переходів (див. Легенду). Домінує сигнал від центрального переходу (синій). (b) Внесок супутникових переходів масштабується вертикально для наочності.

відповідає$g=2$. Це Крамерс дублет, таким чином, може бути описаний як ефективний спина$S^{\prime}=1 / 2$ с$g_{\mathrm{eff}}=2$.

Якщо магнітне поле перпендикулярно$z$ осі$\mathrm{ZFS}$ тензора, дублети$m_{S}=\pm 5 / 2$ і$\pm 3 / 2$ Крамерса не розщеплюються, так як$S_{y}$ оператор$S_{x}$ and не з'єднує ці рівні. $S_{x}$Оператор має позадіагональний елемент, що з'єднує$m_{S}=\pm 1 / 2$ рівні, що є$\sqrt{S(S+1)+1 / 4} / 2=3 / 2$. Оскільки рівні вироджуються за відсутності взаємодії електронів Зеемана, вони стають квантованими вздовж магнітного поля і знову$m_{S}$ є хорошим квантовим числом цього дублета Крамерса. Енергії є$m_{S} 3 g \mu_{\mathrm{B}} B_{0}+D / 4$, так що частота переходу знову пропорційна$B_{0}$, але тепер з ефективним$g$ значенням$g_{\text {eff }}=6$. Проміжні орієнтації можна описати, припускаючи ефективний$g$ тензор з осьовою симетрією і$g_{\perp}=6, g_{\|}=2$. Ця ситуація зустрічається до хорошого наближення для High-spin Fe (III) у гемоглобінів$\left(g_{\perp} \approx 5.88, g_{\|}=2.01\right)$.

Для неосьового$(E \neq 0)$ випадку магнітне поле$B_{0}$ розділить всі три дублянки Крамерса. До першого порядку в теорії збурень розщеплення пропорційне$B_{0}$, тобто кожен дуплет Крамерса може бути описаний ефективним спіном$S^{\prime}=1 / 2$ з ефективним$g$ тензором. Ще один простий випадок зустрічається для крайньої ромбічності,$E=D / 3$. Переупорядковуючи основні осі (обмінюючись$z$ будь-якими$x$ або$y$) можна позбутися$S_{z}^{2}$ терміну в еквалайзері (5.18), так що гамільтоніан ZFS зменшується до$E^{\prime}=\left(S_{x}^{2}-S_{y}^{2}\right)$ с$E^{\prime}=2 E$. Пара рівня, що відповідає новому$z$ напрямку$\mathrm{ZFS}$ тензора, має нульову енергію при нульовому магнітному полі і можна показати, що вона має ізотропне ефективне$g$ значення$g_{\mathrm{eff}}=30 / 7 \approx 4.286$. Дійсно, сигнали поблизу$g=4.3$ дуже часто спостерігаються для високоспінових Fe (III).

Фізична картина

система$S=1 / 2, I=1 / 2$ віджиму

Основні явища можна добре зрозуміти в найпростішій можливій електронно-ядерній спінової системі, що складається з одного електронного спіна$S=1 / 2$ з ізотропним$g$ значенням, який надтонко пов'язаний$I=1 / 2$ з ядерним спіном з величиною надтонкої зв'язку. що набагато менше, ніж електронна взаємодія Зеемана. У цій ситуації наближення високого поля справедливе для електронного спіна, так що надточний гамільтоніан може бути обрізаний до форми, заданої Eq. (4.9). Через виникнення$\hat{S}_{z} \hat{I}_{x}$ оператора в цьому гамільтоніані ми не можемо просто перетворити гамільтоніан на обертову рамку для ядерного спіна$I$. Однак нам це не потрібно, так як ми будемо розглядати тільки мікрохвильове опромінення. Для електронного спіна$S$ ми перетворюємо на обертову рамку, де цей спін має резонансне зміщення$\Omega_{S}$. Отже, загальний гамільтоніан набуває вигляду

$$\hat{H}_{0}=\Omega_{S} \hat{S}_{z}+\omega_{I} \hat{I}_{z}+A \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}+B \hat{S}_{z} \hat{I}_{x}$$

в обертовій рамці для електронного спіна і лабораторному кадрі для ядерного спіна. Такий гамільтоніан є хорошим наближенням, наприклад, для протонів в органічних радикалах.

Гамільтоніан відхиляється від гамільтоніана, який застосовувався б, якби наближення високого поля також виконувалося для ядерного спіна. Різниця полягає в псевдо-світському надтонкому зчепленні термін$B \hat{S}_{z} \hat{I}_{x}$. Як видно з еквалайзера (4.10), цей термін зникає, якщо надтонка взаємодія є чисто ізотропною, тобто для досить швидкого перекидання в рідкому розчині,${ }^{1}$ і вздовж головних осей надтонкого тензора. В іншому випадку$B$ терміном можна знехтувати тільки в тому випадку$\omega_{I} \gg A, B$, якщо, що відповідає високопольовому наближенню ядерного спіна. У межах наближеного діапазону$2\left|\omega_{I}\right| / 5<|A|<10\left|\omega_{I}\right|$ псевдосвітська взаємодія може впливати на перехідні частоти і робить формально заборонені переходи з$\Delta m_{S}=1, \Delta m_{I}=1$ частково дозволеними, оскільки$m_{I}$ це вже не є хорошим квантовим числом.

Локальні поля при ядерному спіні

Виникнення заборонених переходів можна зрозуміти в напівкласичній векторній картині намагніченості, розглядаючи локальні поля при ядерному спіні для двох можливих станів$\alpha_{S}$ і

${ }^{1}$Твір часу ротаційної кореляції$\tau_{\mathrm{r}}$ і надтонкої анізотропії повинен бути набагато менше одиниці.

Малюнок 6.1: Локальні поля (помножені на гіромагнітне відношення$\gamma_{I}$ ядерного спіна) при ядерному спіні в двох станах$\alpha_{S}$ і$\beta_{S}$ електронного спіна$S=1 / 2$. Осі квантування знаходяться уздовж ефективних полів$\vec{\omega}_{\alpha} / \gamma_{I}$ і$\vec{\omega}_{\beta} / \gamma_{I}$ і, таким чином, не паралельні.

$\beta_{S}$спина електронів. Ці локальні поля отримані з параметрів та$B$ термінів оператора Гамільтона$\omega_{I}, A$, які діють на ядерний спін. При поділі на гіромагнітне відношення ядерного спіна ці терміни мають розмірність локального магнітного поля. Локальне поле, відповідне ядерній взаємодії Зеемана, дорівнює статичному магнітному полю$B_{0}$ і є однаковим для обох спінових станів електронів, оскільки очікуване значення$\hat{I}_{z}$ не залежить від спінового стану електрона. Він вирівнюється з$z$ напрямком лабораторного кадру (синя стрілка на рис. 6.1). Обидва надтонких поля виникають з гамільтонових термінів, які містять$\hat{S}_{z}$ коефіцієнт, який має$m_{S}=+1 / 2$ очікуване значення для$\alpha_{S}$ держави і$m_{S}=-1 / 2$ для$\beta_{S}$ держави. $A$Термін вирівнюється з$z$ віссю і спрямований назустріч$+z$ в$\alpha_{S}$ державі і назустріч$-z$ в$\beta_{S}$ державі, припускаючи$A>0$ (фіолетові стрілки). $B$Термін вирівнюється з$x$ віссю і спрямований назустріч$+x$ в$\alpha_{S}$ державі і назустріч$-x$ в$\beta_{S}$ державі, припускаючи$B>0$ (зелені стрілки).

Ефективні поля при ядерному спіні в двох станах спінів електронів є векторними сумами трьох локальних полів. Через$B$ складової уздовж$x$ вони нахиляються від$z$ напрямку на кут$\eta_{\alpha}$ в$\alpha_{S}$ стані і на кут$\eta_{\beta}$ в$\beta_{S}$ стані. Довжина векторів суми є частотами ядерних переходів у цих двох станах і задаються

\ [\ почати {вирівняний} &\ омега_ {\ альфа} =\ sqrt {\ ліворуч (\ омега_ {Я} +A/2\ праворуч) ^ {2} +B ^ {2}/4}\\ &\ омега_ {\ бета} =\ sqrt {\ ліворуч (\ омега_ {Я} -A/2\ праворуч) ^ {2} +B^ {2}/4} \ кінець {вирівняний}\]

Для$\left|\omega_{I}\right|>2|A|$, надтонке розщеплення задається

$$\omega_{\mathrm{hfs}}=\left|\omega_{\alpha}-\omega_{\beta}\right|$$

і сумарна частота задається

$$\omega_{\text {sum }}=\omega_{\alpha}+\omega_{\beta}$$

Для$\left|\omega_{I}\right|>2|A|$, дублет ядерної частоти центрується на$\omega_{\text {sum }} / 2($ рис. $6.2(\mathrm{c})$). Сума частота завжди перевищує удвічі ядерну частоту Зеемана. Жодна з ядерних частот не може стати нульовою, мінімально можливе значення$B / 2$ досягається в одному з спінових станів електронів для узгодження ядерної Zeeman і надтонкої взаємодії при$2\left|\omega_{I}\right|=|A|$. Для$\left|\omega_{I}\right|<2|A|$ ядерної частоти дуплет розбивається на$\omega_{\text {sum }}$ і центрується на$\omega_{\text {hfs }} / 2($ рис. $\left.6.2(\mathrm{~d}))\right)$. Кути нахилу$\eta_{\alpha}$ і$\eta_{\beta}$ (рис. 6.1) можуть бути виведені з тригонометричних відносин і задаються

\ [\ почати {вирівняний} &\ eta_ {\ альфа} =\ арктан\ ліворуч (\ frac {-B} {2\ омега_ {I} +A}\ праворуч)\\ &\ eta_ {\ бета} =\ арктан\ ліворуч (\ frac {-B} {2\ omega_ {I} -A}\ праворуч) \ кінець {вирівняний}\]

Розглянемо тепер ситуацію, коли спін електрона знаходиться в своєму$\alpha_{S}$ стані. Ядерна намагніченість від усіх радикалів в цьому стані при тепловій рівновазі вирівнюється з$\vec{\omega}_{\alpha}$. Мікрохвильове збудження викликає переходи в$\beta_{S}$ стан. У такому стані локальне поле при ядерному спині направлено уздовж$\vec{\omega}_{\beta}$. Значить, вектор ядерної намагніченості від розглянутих радикалів нахилений на кут$2 \eta$ (рис. 6.1) щодо локального поля струму. Він почне обробляти навколо цього локального вектора поля. Це відповідає збудженню ядерного спіна шляхом перегортання електронного спіна, який є формально забороненим переходом. Очевидно, що таке збудження буде відбуватися тільки в тому випадку, якщо кут$2 \eta$ різниться від$0^{\circ}$ і від$180^{\circ}$. Випадок$0^{\circ}$ відповідає відсутності псевдо-світської надтонкої зв'язку$(B=0)$ і також досягається в межі$|A| \ll\left|\omega_{I}\right|$. Ситуація$2 \eta \rightarrow 180^{\circ}$ досягається в межі дуже міцного світського надтонкого зчеплення,$|A| \gg\left|\omega_{I}\right|$. Заборонені переходи спостерігаються при проміжному надтонкому зчепленні. Максимальне збудження ядерних спінів очікується, коли дві осі квантування ортогональні по відношенню один до одного,$2 \eta=90^{\circ}$.

Малюнок 6.2:$S=1 / 2, I=1 / 2$ Електронно-ядерна спінова система при наявності псевдосвітської надтонкої зв'язку. (a) Схема рівня. В ЕПР допускаються$\Delta m_{S}=1, \Delta m_{I}=0$ переходи (червоний), в ЯМР$\Delta m_{S}=0, \Delta m_{I}=1$ переходи допускаються (синій), а нуль- і подвійно-квантові переходи з$\Delta m_{S}=1, \Delta m_{I}=1$ формально заборонені. (б) Спектр палиці EPR. Дозволені переходи мають ймовірність переходу$\cos ^{2} \eta$ і ймовірність заборонених переходів$\sin ^{2} \eta$. Спектр показаний для$\left|\omega_{I}\right|>2|A|$. Бо$\left|\omega_{I}\right|<2|A|$, заборонені переходи лежать всередині дозволеного перехідного дублета. (c) ЯМР спектр для$\left|\omega_{I}\right|>2|A|$. (d) ЯМР спектр для$\left|\omega_{I}\right|<2|A|$.

Формалізм операторного продукту з псевдо-секулярними взаємодіями

Трансформація$\hat{S}_{x}$ на власну основу

Збудження та виявлення в експериментах з ЕПР описуються$\hat{S}_{y}$ операторами$\hat{S}_{x}$ та в обертовій рамці. Ці оператори діють лише на спінові переходи електронів і таким чином формалізують правила спектроскопічного відбору. Якщо спіновий гамільтоніан містить позадіагональні члени, такі як псевдосекулярний$B \hat{S}_{z} \hat{I}_{x}$ термін в екв. (6.1), власна основа відхиляється від основи електронного спінового обертового кадру/лабораторного кадру ядерного спіна, в якому записано гамільтоніан і в якому збудження та виявлення оператори - це лінійні комбінації$\hat{S}_{x}$ і$\hat{S}_{y}$. Для того щоб зрозуміти, які переходи рухаються і виявляються з яким перехідним моментом, нам$\hat{S}_{x}$ потрібно перетворити на власну основу (перетворення$\hat{S}_{y}$ аналогічно). Це може бути зроблено за допомогою формалізму оператора продукту і може бути зрозуміло в локальній картині поля.

Гамільтоніан у власній основі не має позадіагональних елементів, що означає, що всі осі квантування розташовані уздовж$z$. Таким чином, ми можемо безпосередньо зробити висновок з рис. $6.1$що, в$\alpha_{S}$ стані, нам потрібно проти годинникової стрілки (математично позитивний) поворот на кут нахилу$\eta_{\alpha}$ навколо$y$ осі, яка спрямована в паперову площину. У$\beta_{S}$ стані нам знадобиться поворот за годинниковою стрілкою (математично негативним)$\eta_{\beta}$ кутом нахилу навколо$y$ осі. Спінові стани електронів можуть бути$\hat{S}^{\alpha}$ обрані операторами проекції і$\hat{S}^{\beta}$, відповідно. Значить, доводиться застосовувати обертання$\eta_{\alpha} \hat{S}^{\alpha} \hat{I}_{y}$ і$-\eta_{\beta} \hat{S}^{\beta} \hat{I}_{y}$. Ці два обертання комутують, оскільки$\alpha_{S}$ і$\beta_{S}$ підпростори відрізняються, коли$m_{S}$ є хорошим квантовим числом. Для обертання у власну основу можна записати унітарну матрицю.

\ [\ почати {вирівняний} \ hat {U} _ {\ mathrm {EB}} &=\ exp\ ліворуч\ {-i\ ліворуч (\ eta_ {\ альфа}\ hat {\ альфа}\ капелюх {\ альфа}\ hat {I} _ {y}\ beta}\ hat {y}\ право)\ вправо\}\ &=\ exp\ ліворуч\ {-i\ ліворуч (\ xi\ hat {I} _ {y} +\ eta 2\ hat {S} _ {z}\ hat {I} _ {y}\ праворуч)\ справа\} \ кінець {вирівняний}\]

де$\xi=\left(\eta_{\alpha}-\eta_{\beta}\right) / 2$ і$\eta=\left(\eta_{\alpha}+\eta_{\beta}\right) / 2$. Зверніть увагу, що визначення кута$\eta$ відповідає тому, що наведено графічно на рис. 6.1.2 Два нових обертання навколо,$\hat{I}_{y}$ а$\hat{S}_{z} \hat{I}_{y}$ також комутують. Крім того,$\hat{I}_{y}$ комутує з$\hat{S}_{x}\left(\right.$ і$\hat{S}_{y}$), так що перетворення$\hat{S}_{x}$ до власної основи зводиться до

$$\hat{S}_{x} \stackrel{\eta 2 \hat{S}_{z} \hat{I}_{y}}{\longrightarrow} \cos \eta \hat{S}_{x}+\sin \eta 2 \hat{S}_{y} \hat{I}_{y}$$

Перехідний момент для дозволених переходів, які приводяться в рух,$\hat{S}_{x}$ множиться на коефіцієнт$\cos \eta \leq 1$, тобто він стає меншим при$\eta \neq 0$. Для того щоб тлумачити другий термін, його найкраще переписати з точки зору сходових операторів$\hat{S}^{+}=\hat{S}_{x}+i \hat{S}_{y}$ і$\hat{S}^{-}=\hat{S}_{x}-i \hat{S}_{y}$. знаходимо

$$2 \hat{S}_{y} \hat{I}_{y}=\frac{1}{2}\left(\hat{S}^{+} \hat{I}^{-}+\hat{S}^{-} \hat{I}^{+}-\hat{S}^{+} \hat{I}^{+}-\hat{S}^{-} \hat{I}^{-}\right)$$

Іншими словами, цей термін приводить в рух заборонені електронно-ядерні нуль- і подвійні квантові переходи (рис. 6.2 (а)) з переходом, пропорційним$\sin \eta$.

В експерименті CW EPR кожен перехід повинен бути як збуджений, так і виявлений. Іншими словами, амплітуда пропорційна квадрату перехідного моменту, який є ймовірністю переходу. Дозволені переходи при цьому мають інтенсивність, пропорційну$\cos ^{2} \eta$ і забороненим переходам імовірність переходу пропорційну$\sin ^{2} \eta$ (рис.6.2 (б)).

Загальні обчислення операторів добутку для недіагонального гамільтоніана

У обчисленні оператора продукту терміни гамільтоніана можуть застосовуватися один за одним, якщо і лише тоді, коли вони попарно коммутують. Це не стосується гамільтоніана в еквалайзері (6.1). Однак застосування$\hat{U}_{\mathrm{EB}}$ діагоналізує гамільтоніан:

$$\hat{H}_{0} \stackrel{\eta \hat{S}_{z} \hat{I}_{y}}{\longrightarrow} \Omega_{S} \hat{S}_{z}+\omega_{\mathrm{sum}} / 2 \hat{I}_{z}+\omega_{\mathrm{hfi}} \hat{S}_{z} \hat{I}_{z}$$

Це забезпечує простий рецепт обчислень оператора продукту за наявності псевдосекулярної гіпертонкої зв'язку. Вільна еволюція і перехідно-селективні імпульси обчислюються в

${ }^{2}$Ми використали$\hat{S}^{\alpha}=\hat{\mathbb{1}} / 2+\hat{S}_{z}$$\hat{S}^{\beta}=\hat{\mathbb{1}} / 2-\hat{S}_{z}$ і. власний базис, використовуючи гамільтоніан на правій стороні відношення (6.9). Для застосування неселективних імпульсів оператор щільності повинен бути перетворений на електронну спінову обертову рамку/ядерну спінову лабораторну основу шляхом застосування$\hat{U}_{\mathrm{EB}}^{\dagger}$. У формалізмі оператора продукту це відповідає трансформації оператора продукту$\stackrel{-\eta \hat{S}_{z} \hat{I}_{y}}{\longrightarrow}$. Після застосування неселективних імпульсів оператор щільності повинен бути перетворений на власну основу. Виявлення також повинно бути виконано в електронному спіновому обертовому каркасі/ядерному спіновому лабораторному каркасі.

Ця концепція може бути поширена на будь-який недіагональний гамільтоніан до тих пір, поки можна знайти унітарне перетворення, яке перетворює гамільтоніан на його власну основу і може бути виражений одним терміном оператора добутку або сумою попарно комутуючих термінів оператора продукту.

Генерація та виявлення ядерної когерентності електронним спіновим збудженням

Генератор ядерної когерентності$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$

Ми бачили, що один мікрохвильовий імпульс може збуджувати когерентність на заборонених електронно-ядерних нуль- і двоквантових переходах. В принципі, це забезпечує доступ до ядерних частот$\omega_{\alpha}$ і$\omega_{\beta}$, які є відмінностями частот дозволених і заборонених спінових переходів електронів, як можна зробити висновок з рис. 6.2 (а, б). Дійсно, розпад електронного спіна Hahn$(\pi / 2)-\tau-(\pi)-\tau-$ echo echo як функція$\tau$ модулюється частотами$\omega_{\alpha}$ і$\omega_{\beta}($ так само, як$\omega_{\text {hfi }}$ і з і$\omega_{\text {sum }}$). Така модуляція виникає внаслідок заборонених переходів під час перефокусування імпульсу, які перерозподіляють когерентність між чотирма переходами. Відлуння передачі когерентності модулюються різницею резонансних частот до і після передачі$\pi$ імпульсом, при якому резонансне зміщення$\Omega_{S}$ скасовується, тоді як ядерні спінові внески не скасовуються. Цей двоімпульсний експеримент ESEEM зазвичай не застосовується для вимірювання надтонких муфт, так як поява комбінації частот$\omega_{\text {hfi }}$ і$\omega_{\text {sum }}$ ускладнює спектри і ширину лінії визначається електронним спіном поперечної релаксації, що набагато швидше ядерна спінова поперечна релаксація.

Кращу роздільну здатність і більш прості спектри можна отримати шляхом непрямого спостереження за еволюцією ядерної когерентності. Така когерентність може бути сформована шляхом першого застосування$\pi / 2$ імпульсу до спини електронів, який буде генерувати спінову когерентність електронів на дозволених переходах з амплітудою, пропорційною$\cos \eta$ і на заборонених переходах з амплітудою$\eta$ . Після затримки$\tau$ накладається другий$\pi / 2$ імпульс. Відзначимо, що блок$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ є частиною експериментів EXSY і NOESY в ЯМР. Другий$\pi / 2$ імпульс генерує компонент спінової намагніченості електронів уздовж$z$ половини існуючої спінової когерентності електронів, тобто він «вимкне» половину спінової когерентності електронів і перетворить її в поляризацію. Однак для узгодженості на заборонених переходах є ймовірність$\cos \eta$ того, що ядерний спін не перевернутий, тобто що когерентна суперпозиція ядерних спінових держав виживає. Для спінової когерентності електронів на дозволених переходах існує ймовірність$\sin \eta$ того, що «відключення» електронної когерентності призведе до «включення» ядерних когеренцій. Отже, в обох цих шляхах існує ймовірність, пропорційна$\sin \eta \cos \eta=\sin (2 \eta) / 2$ цій ядерній когерентності. Затримка$\tau$ потрібна, так як при$\tau=0$ різній ядерній когерентності компоненти мають протилежну фазу і скасовують.

Ядерна когерентність, що генерується блоком,$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ може бути обчислена формалізмом оператора продукту, як зазначено в розділі 6.2.2. знаходимо

\ [\ почати {вирівняний} &\ лівий\ лангле\ капелюх {S} ^ {\ альфа}\ капелюх {I} _ {x}\ правий\ діапазон =-\ sin\ ліворуч (\ Омега_ {S}\ тау\ вправо)\ sin (2\ eta)\ sin\ лівий (\ frac {\ omega_ {\ beta}} {2}\ тау\ праворуч)\ cos\ left (\ омега_ {\ альфа}\ тау\ вправо)\\ &\ лівий\ лангле\ капелюх {S} ^ {\ альфа}\ капелюх {I} _ {y}\ праворуч\ діапазон=-\ sin\ ліворуч (\ Omega_ {S}\ tau\ праворуч)\ sin (2\ eta)\ sin\ ліворуч (\ frac {\ omega_ {\ beta}} {2}\ тау\ вправо)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {\ альфа}\ тау\ праворуч)\\\ ліворуч\ langle\ капелюх {S} ^ {\ бета}\ капелюх {I} _ {x}\ праворуч\ rangle=-\ гріх\ ліворуч\ OmeGa_ {S}\ тау\ право)\ sin (2\ ета)\ sin\ ліворуч (\ frac {\ omega_ {\ альфа}} {2}\ тау\ вправо)\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\ бета}\ тау\ праворуч)\\ &\ лівий\ лангле\ капелюх {S} ^ {\ beta}\ hat {I} _ {y}\ праворуч\ rangle=-\ sin\ ліворуч (\ Омега_ {S}\ тау\ право)\ sin (2\ eta)\ sin\ ліворуч (\ frac {\ omega_ {\ альфа}} {2}\ тау\ праворуч)\ sin\ ліворуч (\ omega_ {\ альфа}} {2}\ тау\ праворуч)\ sin\ зліва (\ omega_ {\ beta}\ tau\ праворуч) \ кінець {вирівняний}\]

Цей вираз можна інтерпретувати наступним чином. Ядерна когерентність створюється з фазою так, ніби вона почала розвиватися як$\hat{I}_{x}$ в той час$\tau=0$ (останні косинусні фактори на правій стороні кожного рядка). Він модулюється як функція зсуву електронного спінового резонансу$\Omega_{S}$ і нуля точно на резонансі (перший множник на кожній лінії). Інтеграл над неоднорідно розширеною, симетричною лінією ЕПР також дорівнює нулю, оскільки$\int_{-\infty}^{\infty} \sin \left(\Omega_{S} \tau\right) \mathrm{D} \Omega_{S}=0$. Однак це можна компенсувати пізніше, застосувавши інший$\pi / 2$ пульс. Амплітуда ядерної когерентності зазвичай масштабується з$\sin 2 \eta$, так як один дозволений і один заборонений перенесення потрібні для її збудження і$\sin (\eta) \cos (\eta)=\sin (2 \eta) / 2$ (другий фактор). Третій фактор з правого боку ліній 1 і 2 говорить про те, що амплітуда когерентності з частотою$\omega_{\alpha}$ модулюється як функція$\tau$ з частотою$\omega_{\beta}$. Так само амплітуда когерентності з частотою$\omega_{\beta}$ модулюється як функція частоти$\omega_{\alpha}$ (лінії 3 і 4).$\tau$ При певних значеннях когерентності$\tau$ не створюється при переході з частотою$\omega_{\alpha}$, в інший час генерується максимальна когерентність. Така поведінка називається поведінкою сліпих плям. Для того, щоб виявити всі ядерні частоти, експеримент на основі генератора$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ ядерної когерентності повинен бути повторений для різних значень$\tau$. Чому і як проводиться спектроскопія CW EPR Переваги чутливості спектроскопії CW EPR Експеримент CW EPR

Міркування щодо підготовки зразків Теоретичний опис насичення лінійної форми пакетів CW EPR Spin

7 - CW EPR спектроскопія

Чому і як проводиться спектроскопія CW EPR

Переваги чутливості CW EPR спектроскопії

У спектроскопії ЯМР методи CW були майже повністю витіснені методами перетворення Фур'є (FT), за винятком кількох нішевих додатків. Методи FT мають перевагу чутливості, якщо спектр містить великі ділянки базової лінії і весь спектр може збуджуватися одночасно імпульсами. Жодна умова зазвичай не виконується в ЕПР-спектроскопії. З двох причин методи FT втрачають чутливість при спектроскопії ЕПР порівняно з експериментом CW. По-перше, в той час як типові спектри ЯМР зручно вписуються в смугу пропускання добре спроектованого критично зв'язаного радіочастотного резонансного контуру, спектри ЕПР набагато ширші, ніж пропускна здатність мікрохвильового резонатора з високим коефіцієнтом якості. Розширення пропускної здатності виявлення та пропорційне зниження$Q$ коефіцієнта якості резонатора зменшує відношення сигнал/шум, якщо лінія поглинання не є нескінченно широкою. Коефіцієнт якості порядку 10 '000, який може бути досягнутий за допомогою резонаторів резонаторів, відповідає смузі пропускання приблизно$1 \mathrm{MHz}$ на частотах Х-діапазону навколо$9.6 \mathrm{GHz}$. Власна висока чутливість виявлення в такій вузькій смузі може бути використана тільки в експерименті з CW. По-друге, навіть якщо резонатор перев'язаний до значно нижчого коефіцієнта якості або$Q$ використовуються резонатори з іскромно нижчим (втрати чутливості частково можуть компенсуватися більш високим коефіцієнтом заповнення таких резонаторів), залишкова потужність від потужного НВЧ імпульсу вимагає близько $100 \mathrm{~ns}$для того, щоб затухати нижче рівня сигналу ЕПР. Це мертве час часто становить значну частку часу поперечної релаксації електронних спінів, що тягне за собою втрату сигналу шляхом релаксації. На відміну від цього, в ЯМР-спектроскопії мертвий час зазвичай незначно короткий порівняно з часом релаксації. У багатьох випадках час мертвого часу при імпульсній ЕПР-спектроскопії навіть сильно перевищує$T_{2}$. У цій ситуації FT EPR неможливий, навіть при перефокусуванні луни, тоді як спектри CW EPR все ще можна виміряти. Цей випадок зазвичай стосується комплексів перехідних металів при кімнатній температурі і до багатьох комплексів рідкісноземельних металів і комплексів з високим спіном Fe (III) навіть аж до температури кипіння рідкого гелію при нормальному тиску (4,2 К). З цих причин будь-який невідомий потенційно парамагнітний зразок повинен спочатку характеризуватися спектроскопією CW EPR. Імпульсні методи ЕПР потрібні, якщо роздільна здатність спектроскопії CW EPR забезпечує недостатню інформацію для призначення структури. Це стосується переважно малих надтонких зв'язків в органічних радикалах та ядер лігандів у комплексах перехідних металів (див. Розділ 8) та вимірювання відстаней між електронними спинами в нанометровому діапазоні (див. Главу 9). При температурах, де можуть бути отримані імпульсні ЕПР-сигнали, вимірювання часу релаксації також простіше і точніше за допомогою імпульсних методів ЕПР.

Малюнок 7.1: Схема CW EPR спектрометра. Мікрохвильовка від джерела фіксованої частоти пропускається через атенюатор для регулювання його потужності, а потім через циркулятор до зразка. Мікрохвильовка, яка повертається від зразка, проходить іншим шляхом через той же циркулятор і поєднується з еталонною мікрохвильовкою регульованої потужності (зміщення) і фази до її виявлення мікрохвильовим діодом. Вихідний сигнал цього діода надходить на фазочутливий детектор (PSD), де він демодулюється щодо частоти модуляції поля (зазвичай$100 \mathrm{kHz}$) і одночасно посилюється. Вихідний сигнал PSD оцифровується і додатково обробляється в комп'ютері. Спектр отримують шляхом підмітання статичного магнітного поля$B_{0}$ на постійній НВЧ-частоті.

Експеримент CW EPR

Оскільки пропускна здатність оптимізованого НВЧ-резонатора набагато менше типової ширини спектрів ЕПР, недоцільно вимітати частоту при постійному магнітному полі з метою отримання спектра. Натомість мікрохвильова частота підтримується постійною і постійно збігається з частотою резонатора. Резонансна умова для спинив встановлюється шляхом підмітання магнітного поля$B_{0}$. Ще одна складність виникає через слабке магнітного зчеплення спинив з збуджуючим електромагнітним полем. Тому спостерігається лише дуже мала частка потужності збудження. Ця проблема вирішується наступним чином. По-перше, пряма передача потужності збудження на детектор запобігає циркулятором (рис. 7.1). Харчування, яке надходить в порт 1, може йти тільки до зразка через порт 2. Харчування, яке надходить від зразка через порт 2, може йти тільки на діод детектора через порт 3. По-друге, резонатор критично пов'язаний. Це означає, що вся мікрохвильова потужність, що надходить від джерела, що падає на резонатор, надходить в резонатор і перетворюється в тепло імпедансом (комплексним опором) резонатора. Якщо зразок вимкнений резонансний і, таким чином, не поглинає мікрохвильовку, жодна мікрохвильова потужність не залишає резонатора через порт 3. Якщо зараз магнітне поле$B_{0}$ встановлено в резонансний стан і зразок резонансно поглинає мікрохвильовку, це означає, що імпеданс зразка резонатора + змінився. Резонатор більше не критично пов'язаний і частина вхідної мікрохвильової печі відбивається. Ця мікрохвильовка виходить з циркулятора через порт 3 і падає на діод детектора.

Ця відбита потужність при резонансному поглинанні може бути дуже слабкою при низькій концентрації зразка. Тому важливо чуйно виявити його. Мікрохвильовий діод лише слабо чутливий до зміни падаючої потужності при малій потужності (рис. 7.2, вхідна напруга пропорційно квадратному кореню потужності). Діод найбільш чутливий до змін амплітуди поблизу своєї робочої точки, позначеної зеленим кольором на рис.7.2. Отже, діод повинен бути зміщений до своєї робочої точки, додаючи постійну потужність від опорного плеча. Фаза опорного важеля повинна бути відрегульована так, щоб мікрохвильова піч, що надходить від резонатора, і мікрохвильова піч, що надходить від опорного плеча, заважали конструктивно.

Малюнок 7.2: Характеристична крива діода детектування СВЧ. При невеликому вхідному напрузі діод досить нечутливий до змін вхідної напруги. У робочій точці (зелений) залежність вихідного струму від вхідної напруги лінійна і має максимальний ухил. Це відповідає$200 \mu \mathrm{A}$ вихідному струму. Якщо вхідна напруга занадто велике, діод руйнується (червона точка).

Подальша проблема виникає через те, що мікрохвильові діоди є широкосмуговими детекторами. З одного боку, це корисно, так як зразки можуть значно зміщувати частоту резонатора. З іншого боку, широкосмугові детектори також збирають шум із широкої смуги частот. Це зменшує співвідношення сигнал/шум, і його потрібно протидіяти, обмежуючи пропускну здатність виявлення смугою пропускання сигналу або навіть нижче. Таке обмеження пропускної здатності може бути реалізовано найлегше за допомогою модуляції ефекту та фазочутливого виявлення. Застосовуючи невелику синусоїдальну модуляцію магнітного поля з типовою частотою$100 \mathrm{kHz}$ та типовою амплітудою$0.01-1 \mathrm{mT}$, сигнальна складова на виході діодного детектора стає модульованою з тією ж частотою, тоді як шум не корелює з модуляцією. Демодуляція опорним сигналом від генератора польової модуляції (рис. 7.1) фазочутливим детектором підсилює сигнал і обмежує пропускну здатність частотою модуляції.

Модуляція ефекту з фазочутливим детектуванням вимірює похідну лінії поглинання, якщо амплітуда модуляції$\Delta B_{0}$ набагато менше ширини лінії ЕПР (рис.7.3). Оскільки співвідношення сигнал/шум пропорційне$\Delta B_{0}$, зазвичай вимірюється при$\Delta B_{0} \approx \Delta B_{\mathrm{pp}} / 3$, де спотворення форми лінії допустимо майже для всіх застосувань. Може знадобитися точний аналіз лінійної форми$\Delta B_{0} \leq \Delta B_{\mathrm{pp}} / 5$, тоді як максимальна чутливість за рахунок значного штучного розширення лінії виходить при$\Delta B_{0}=\Delta B_{\mathrm{pp}}$. Частота модуляції не повинна бути ширшою, ніж ширина лінії в одиницях частоти. Однак, зі стандартною частотою модуляції$100 \mathrm{kHz}$, що відповідає за шкалою магнітного поля тільки$3.6 \mu \mathrm{T}$ при$g=g_{e}$, це рідко є проблемою.

Міркування щодо підготовки проб

Оскільки електронні спини мають набагато більший магнітний момент, ніж ядерні спини, електронно-електронні зв'язки призводять до значного розширення лінії в концентрованих розчинах. Концентрації парамагнітних центрів зазвичай не повинні перевищувати$1 \mathrm{mM}$, щоб уникнути такого розширення. Для органічних радикалів у рідкому розчині може знадобитися розбавити зразок,$100 \mu \mathrm{M}$ щоб досягти максимальної роздільної здатності. Для легувань парамагнітних металів в діамагнітних сполуках$1 \%$ хазяїна більшість діамагнітних ділянок повинні бути замінені парамагнітними центрами. Такі концентрації можуть бути виявлені легко і з хорошим співвідношенням сигнал/шум. Для більшості зразків хороші спектри можуть бути отримані аж до$1 \mu \mathrm{M}$ діапазону в розчині і до діапазону легуючих речовин 100 ppm в твердих тілах.

Розширення лінії в рідкому розчині також може виникнути внаслідок дифузійного зіткнення парамагнітних

Малюнок 7.3: Виявлення похідної лінійної форми шляхом модуляції поля. Розглянуто ситуацію на миттєвому полі під час розгортки поля (вертикальна пунктирна лінія), що є повільним порівняно з частотою модуляції поля$100 \mathrm{kHz}$. Модуляція магнітного поля з амплітудою$\Delta B_{0}$ (синім) викликає модуляцію вихідного сигналу$V$ (червоного кольору) з однаковою частотою і амплітудою$\Delta V$. Фазочутливе виявлення вимірює цю амплітуду$\Delta V$, яка пропорційна похідній сірої форми лінії поглинання та до тих пір$\Delta B_{0}$, поки$\Delta B_{0}$ вона набагато менша, ніж ширина лінії$\Delta B_{\mathrm{pp}}$ від піку до піку. На практиці, як$\Delta B_{0}<\Delta B_{\mathrm{pp}} / 3$ правило, прийнятно. Для точного аналізу форми лінії$\Delta B_{0}<\Delta B_{\mathrm{pp}} / 5$ рекомендується.

Малюнок 7.4: Посилення релаксації шляхом колізійного обміну з киснем в розчині. (а) Ситуація перед дифузійною зустріччю. Як приклад приймається триплетний кисень в$\mathrm{T}_{-}$ стані (червоний), тоді як спину нитроксидного радикала приймається рівним$\alpha$ (зеленим). (b) Молекула кисню та радикал нітроксиду зіткнулися під час дифузійної зустрічі. Їх хвильові функції перекриваються, і три непарні електрони неможливо відрізнити один від одного (сірий). (c) Після поділу три непарні електрони були перерозподілені довільно на дві молекули. Наприклад, кисень тепер може бути в$\mathrm{T}_{0}$ стані (червоний), а нітроксид в$\beta$ стані (зелений). Електронний спін нитроксидного радикала перевернувся.

види з парамагнітним триплетом киснем (рис. 7.4). Під час такого зіткнення хвильові функції двох молекул перекриваються і, оскільки електрони є непомітними частинками, спінові стани всіх непарних електронів в обох молекулах довільно перерозподіляються, коли дві молекули знову відокремлюються. Таким чином, стохастичні дифузійні зустрічі призводять до додаткових переворотів спостережуваних електронних спінів, що відповідає релаксації та скорочує час поздовжньої релаксації$T_{1}$. Оскільки ширина лінії пропорційна$T_{2}$ і$T_{2}$ не може бути довшою$2 T_{1}$, часті зіткнення парамагнітних видів призводять до розширення лінії. Таке розширення лінії збільшується зі зменшенням в'язкості (швидшою дифузією) і збільшенням концентрації кисню. Ефект сильніший у аполярних розчинниках, де розчинність кисню вища, ніж у полярних розчинниках, але часто вона значна навіть у водному розчині. Найкраща роздільна здатність виходить, якщо зразок вільний від кисню. Цей же механізм призводить до розширення ліній при високій концентрації парамагнітного виду в рідкому розчині. У твердому стані розширення лінії при високій концентрації відбувається головним чином завдяки дипольно-дипольному з'єднанню. Часто інтерес представляє анізотропно розширений спектр ЕПР в твердому стані, оскільки він надає інформацію про$g$ анізотропії та анізотропних надтонких муфтах. Для цього може знадобитися заморозка розчину цікавить виду. Зазвичай вид випадає в осад, якщо розчинник кристалізується, що може спричинити розширення ліній і, в крайньому випадку, навіть руйнування надтонкої структури та усереднення$g$ анізотропії шляхом обміну між сусідніми парамагнітними видами. Ці проблеми запобігаються, якщо розчинник утворює скло, як це часто буває для розчинників, які мають метильні групи або можуть утворювати водневі зв'язки в дуже різних геометріях. Типовими склоутворюючими розчинниками є толуол, 2-метилтетрагідрофуран, етанол, етиленгліколь та гліцерин. Водні розчини вимагають додавання як мінімум$25 \%$ гліцерину в якості кріопротектора. У більшості випадків кристалізація все одно буде відбуватися при повільному охолодженні. Тому зразки заморожують шоком шляхом занурення пробірки в рідкий азот. Скляні трубки розбиваються при прямому зануренні в рідкий азот, але спектри ЕПР повинні бути виміряні в трубках для зразків плавленого кремнезему в будь-якому випадку, оскільки скло незмінно містить виявлену кількість парамагнітних домішок заліза.

Теоретичний опис КЗ ЕПР

Цей розділ перетинається з розділом$2.7$ конспектів лекцій ЯМР.

Форма лінії віджиму пакетів

Всі спини в зразку, які мають однакову резонансну частоту, утворюють спіновий пакет. Далі ми також припускаємо, що всі спини спінового пакета мають однаковий поздовжній і поперечний час релаксації$T_{1}$ і$T_{2}$, відповідно. Якщо кількість обертань в спиновому пакеті досить велике, ми можемо призначити спіновий пакет вектор намагніченості. Динаміка цього вектора намагніченості з рівноважною намагніченістю$M_{0}$ при мікрохвильовому опроміненні описується рівняннями Блоха в обертовій рамці. У спектроскопії ЕПР незвично використовувати гіромагнітне співвідношення. Значить, позначимо зміщення резонансу

$$\Omega_{S}=\frac{g \mu_{\mathrm{B}}}{\hbar} B_{0}-2 \pi \nu_{\mathrm{mw}}$$

де$\nu_{\mathrm{mw}}$ - частота НВЧ в одиницях частоти. Рівняння Блоха з обертовим кадром для трьох компонентів вектора намагніченості потім можна записати як

\ [\ почати {вирівняний} \ розрив {\ mathrm {d} M_ {x}} {\ mathrm {~d} t} &=-\ Омега_ {S} M_ {y} -\ frac {M_ {x}} {T_ {2}} \\ frac {d} M_ {y}} {\ mathrm {~ d} t} &=\ Омега_ {S} M_ {x} -\ омега_ {1} M_ {z} -\ фрак {M_ {y}} {T_ {2}}\\ frac { \ mathrm {d} M_ {z}} {\ mathrm {~d} t} &=\ омега_ {1} М_ {г}} -\ frac {M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}} \ кінець {вирівняний}\]

де$\omega_{1}=g_{\perp} \mu_{\mathrm{B}} B_{1} / \hbar$ - амплітуда поля НВЧ в кутових одиницях частоти і$g_{\perp}$ середнє$g$ значення в площині, перпендикулярній статичному магнітному полю. Очевидна різниця знаків для$\omega_{1}$ термінів$\Omega_{S}$ і виникає через різне відчуття прецесії спина для електронних спінів порівняно з ядерними спинами з позитивним гіромагнітним співвідношенням.

Якщо спіновий пакет опромінюється з постійною мікрохвильовою частотою, постійною мікрохвильовою потужністю та постійним статичним магнітним$B_{0}$ полем протягом досить тривалого часу (приблизно$5 T_{1}$), вектор намагніченості досягає сталого стану. Хоча статичне поле змітається в експерименті CW EPR, припускаючи, що сталий стан є хорошим наближенням, оскільки розгортка поля зазвичай повільна порівняно з$T_{2}$ і$T_{1}$. Більш швидкі розгортки відповідають режиму швидкого сканування, який не лікується в цьому лекційному курсі. У сталому стані ліві сторони диференціальних рівнянь (7.2) для компонентів вектора намагніченості повинні бути нульовими,

\ [\ почати {вирівняний} 0 &=-\ Омега_ {S} М_ {y} -\ розрив {M_ {x}} {Т_ {2}}\\ 0 &=\ Омега_ {S} M_ {x} -\ омега_ {1} M_ {z} -\ frac {M_ {y}} {T_ {2}}\ 0 &=\ омега_ {1} M_ {y} -\ frac {M_ {z} -M_ {0}} {T_ {1}}\ cdot\ лангл\ текст {стаціонарний стан}\ діапазон \ кінець {вирівняний}\]

Ця лінійна система рівнянь має рішення

\ [\ почати {вирівняний} М_ {x} &=M_ {0}\ омега_ {1}\ frac {\ Омега Т_ {2}} {1+\ Омега^ {2} Т_ {2} ^ {2} +\ омега_ {1} ^ {2} Т_ {1} Т_ {2}}\\ M_ {y} &=-M_ {0}\ омега_ {1}\ frac {T_ {2}} {1+\ Омега^ {2} Т_ {2} ^ {2} +\ омега_ {1} Т_ {2}}\\ M_ {z} &=M_ {0}\ frac {1+\ Омега^ {2}} 2} ^ {2}} {1+\ Омега^ {2} Т_ {2} ^ {2} +\ омега_ {1 } ^ {2} T_ {1} T_ {2}},\ лангл\ текст {стаціонарний стан}\ діапазон \ кінець {вирівняний}\]

де$M_{z}$ зазвичай не виявляється,$M_{x}$ знаходиться в фазі з збуджуючим мікрохвильовим опроміненням і відповідає сигналу дисперсії, і$M_{y}$ знаходиться поза фазою з збуджуючим опроміненням і відповідає лінії поглинання. Незбурені форми ліній отримують в лінійному режимі, де параметр насичення

$$S=\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2}$$

виконує$S \ll 1$. З екв. (7.4) можна легко встановити, що в лінійному режимі$M_{y}$ зростає лінійно зі збільшенням$\omega_{1}$, що відповідає пропорційності сигналу квадратному кореню НВЧ потужності. $M_{z}$дуже близька до рівноважної намагніченості. В рамках цього режиму зменшення СВЧ-загасання, тобто збільшення потужності на$6 \mathrm{~dB}$, збільшує амплітуду сигналу в 2 рази.$6 \mathrm{~dB}$ Лінійна форма не залежить$\omega_{1}$ від лінійного режиму. Тому хорошою практикою є вимірювання при найвищій мікрохвильовій потужності, яка все ще добре знаходиться в межах лінійного режиму, оскільки це відповідає максимальному співвідношенню сигнал/шум. Для більшої потужності лінія розширена.

У межах лінійного режиму$M_{y}$ приймає форму лінії поглинання Лоренца

$$M_{y}(\Omega)=M_{0} \omega_{1} T_{2} \frac{1}{1+\Omega^{2} T_{2}^{2}},\langle\text { linear regime }\rangle$$

з шириною лінії$1 / T_{2}$ в одиницях кутової частоти. Ширина лінії від піку до піку першої похідної лінії поглинання дорівнює$\Gamma_{\mathrm{pp}}=2 / \sqrt{3} T_{2}$. Оскільки спектри$\mathrm{CW}$ ЕПР вимірюються магнітним полем, нам потрібно перетворити в одиниці магнітного поля,

$$\Gamma_{\text {pp,field sweep }}=\frac{2}{\sqrt{3} T_{2}} \cdot \frac{\hbar}{g \mu_{\mathrm{B}}}$$

Ширина лінії спінового пакета називається однорідною шириною лінії. Якщо$T_{2}$ однакова для всіх спінових пакетів, ця однорідна ширина лінії пропорційна$1 / \mathrm{g}$, факт, який потрібно враховувати при моделюванні лінійної форми для систем з великою$g$ анізотропією. Для більшості зразків додаткове розширення лінії виникає внаслідок нерозв'язаних надтонких муфт і, в твердому стані,$g$ анізотропії. Тому зазвичай$T_{2}$ неможливо отримати, застосувавши Eq. (7.7) до експериментально спостережуваної ширини лінії від піку до піку.

Насиченість

Для мікрохвильової потужності більшої, ніж у лінійному режимі, ширина лінії від піку до піку збільшується в рази$1+S$. Якщо слабкий сигнал потрібно виявити з максимальним співвідношенням сигнал/шум, вигідно збільшити потужність поза лінійним режимом, але не обов'язково до максимально доступного рівня. Для дуже сильного опромінення терміном 1 можна знехтувати в знаменнику Eqs. (7.4) для компонентів вектора намагніченості.$S \gg 1$ Потім он-резонансна амплітуда лінії поглинання задається

$$M_{y}(\Omega=0)=M_{0} / \omega_{1} T_{1},\left\langle\omega_{1}^{2} T_{1} T_{2} \gg 1\right\rangle$$

тобто вона обернено пропорційна$\omega_{1}$. При цьому режимі амплітуда зменшується зі збільшенням потужності мікрохвильового опромінення.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Рисунок 7.5: Прогресивне вимірювання насичення на мембранному білку LHCII, солюбілізованому в мицелах миючого засобу в атмосфері азоту. Залишок V229 був мутований до цистеїну і спін-маркується йодоацетамідопроксилом. Експериментальні дані точок (червоного кольору) були отримані при СВЧ-загасаннях$23,20,17,11$, причому$8 \mathrm{~dB}$ з повною$(0 \mathrm{~dB})$ потужністю$200 \mathrm{~mW}$. Підгонка Eq. (7.9) (чорна лінія) забезпечує$P_{1 / 2}=3 \mathrm{~mW}$ і$\epsilon=1.24$.

Напівкількісну інформацію про спінову релаксацію можна отримати за допомогою експерименту прогресивного насичення потужності, де спектр ЕПР вимірюється як функція мікрохвильової потужності$P_{\text {mw }}$. Зазвичай амплітуда від піку до піку найбільшого сигналу в спектрі будується як функція$\sqrt{P_{\mathrm{mw}}}$. Такі криві насичення можуть бути підігнані рівнянням.

$$A\left(P_{\mathrm{mw}}\right)=\frac{I \sqrt{P_{\mathrm{mw}}}}{\left[1+\left(2^{1 / \epsilon}-1\right) P_{\mathrm{mw}} / P_{1 / 2}\right]^{\epsilon}}$$

де параметр неоднорідності$\epsilon$ приймає значення$1.5$ в гомогенній межі і$0.5$ в неоднорідній межі. Зазвичай, заздалегідь не$\epsilon$ відомий і розглядається як параметр fit. Інші параметри пристосування - це нахил збільшення амплітуди з квадратним коренем мікрохвильової потужності в лінійному режимі, і$P_{1 / 2}$, що є потужністю напівнасичення.$I$ Точніше,$P_{1 / 2}$ це падаюча потужність МВт, де$A$ зменшується до половини її ненасиченого значення. $7.5$На малюнку показані експериментальні дані прогресивного вимірювання насичення на спін-міченому мутанті V229C основного рослинного легкого збирального комплексу LHCII, солюбілізованого в миючих міцелах в атмосфері азоту, і відповідність цих даних еквалайзером (7.9).

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

ЕНДОР

Переваги електронно-спінового детектування ядерних частотних спектрів

Ядерні частотні спектри в рідині (розділ 4.3.2) та твердих станах (4.3.4) демонструють набагато кращу надтонку роздільну здатність, ніж EPR спектри, оскільки колишні спектри мають менше і вужчі лінії. Насправді невеликі надтонкі зв'язки з ядрами лігандів у металевих комплексах зазвичай не вирішуються в спектрах ЕПР, і лише найбільші надтонкі зв'язки можуть бути дозволені в спектрах твердотільного ЕПР. Ядерні частотні спектри не можуть бути виміряні спеціальним спектрометром ЯМР, оскільки вони поширюються на кілька мегагерц до декількох десятків мегагерц, тоді як спектрометри ЯМР призначені для збудження та виявлення смуги пропускання в кілька десятків кілогерц. Крім того, електронні спінові переходи мають 660 разів більше поляризації, ніж протонні переходи, і більше, ніж для інших ядер. Їх більший магнітний момент також призводить до більш високої чутливості виявлення. Таким чином, вигідно переносити поляризацію від спінів електронів до ядерних спінів і назад передавати реакцію ядерних спінів на електронні спини для виявлення. Два класи експериментів можуть досягти цього, електронно-ядерний подвійний резонанс (ENDOR) експерименти, розглянуті в розділі$8.1$ і електронна спінова модуляція ехо-оболонки (ESEEM) експерименти, розглянуті в розділі 8.2.

Види експериментів ENDOR

Експеримент ENDOR може бути проведений при сильному опроміненні CW як електронних, так і ядерних спінів. У цьому експерименті CW ENDOR спіновий перехід електронів частково насичений,$S \gg 1$ в екв. (7.5). Керуючи ядерним спіновим переходом, який розділяє енергетичний рівень з насиченим переходом, відкриваються додаткові шляхи релаксації. Таким чином, електронний спіновий перехід під спостереженням частково знесичений, і спостерігається збільшення сигналу ЕПР. Експеримент проводиться при постійному магнітному полі з сильним НВЧ-опроміненням на максимумі спектра поглинання першої похідної (тобто спектру CW EPR), а сигнал ЕПР реєструється як функція частоти додаткового радіочастотного опромінення, яка повинна виконувати насичення. умова$S \gg 1$ для ядерних спинив. Зазвичай радіочастотне опромінення частотно модулюється і відгук виявляється іншим фазочутливим детектором, що призводить до спостереження першої похідної спектра ядерних частот. Експеримент CW ENDOR критично залежить від балансу часу релаксації, так що в твердому стані достатня чутливість може бути досягнута лише в певному діапазоні температур. Крім того, одночасне сильне безперервне опромінення як мікрохвильовою, так і радіочастотою, зберігаючи постійну частоту резонатора та температуру, є експериментально складним завданням. Тому CW ENDOR значною мірою замінений імпульсними методами ENDOR. Однак для зразків рідких розчинів CW ENDOR зазвичай є єдиною застосовною технікою ENDOR.

Концептуально найпростішим імпульсним експериментом ENDOR є Девіс ЕНДОР (Розділ 8.1.3), де насичення ЕПР-переходу замінено інверсією$\pi$ імпульсом (рис.8.1 (а)). Подальший радіочастотний$\pi$ імпульс, який є он-резонансним з переходом, який розділяє рівень з перевернутим переходом ЕПР, змінює популяцію цього рівня і, таким чином, поляризацію переходу спостерігача ЕПР. Ця зміна поляризації як функція радіочастоти спостерігається в експерименті з відлунням Хана на переході спостерігача. Підхід добре працює для помірно великих надтонких зв'язків$(>3 \mathrm{MHz})$, зокрема для${ }^{14} \mathrm{~N}$ ядер, безпосередньо узгоджених з іоном перехідного металу, або для протонів на відстані водневого зв'язку або відстані до приблизно$4 \AA$. Як ми побачимо в розділі 8.1.3, експеримент досить нечутливий для дуже малих надтонких муфт. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 8.1: Імпульсні послідовності ENDOR. (а) Девіс ЕНДОР. За селективним$\pi$ інверсійним імпульсом на обертаннях електронів слідують затримка$T$ і виявлення відлуння Хана (червоний). Під час мікрохвильової інтерімпульсної затримки$T$ застосовується частотно-змінний радіочастотний$\pi$ імпульс (синій). Якщо цей імпульс знаходиться на резонансному з ядерним переходом, то перевернуте відлуння відновлюється (блідо-блакитне). (b) Мімс ЕНДОР. Неселективна стимульована послідовність луни з інтерпульсними затримками$\tau$ і$T$ прикладається до електронних спинив (червоний). Під час мікрохвильової інтерімпульсної затримки$T$ застосовується частотно-змінний радіочастотний$\pi$ імпульс (синій). Якщо цей імпульс знаходиться на резонансному з ядерним переходом, то стимульоване відлуння ослабляється (блідо-блакитне).

Найменші надтонкі муфти можна виявити за допомогою експерименту Mims ENDOR, який базується на стимульованій послідовності луни$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)-T-(\pi / 2)-\tau-e c h o($ Рис. $8.1($б)$)$). Блок підготовки$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ створює поляризаційну решітку функціональної форми$A\left(\Omega_{S}\right) \cos \left(\Omega_{S} \tau\right)$, де$A\left(\Omega_{S}\right)$ знаходиться спектр поглинання ЕПР як функція резонансного зміщення$\Omega_{S}$ і$\tau$ є затримкою між ними $\pi / 2$мікрохвильові імпульси. Радіочастотний$\pi$ імпульс зі змінною частотою застосовується в той час,$T$ коли спінова намагніченість електронів вирівнюється з$z$ віссю. Якщо цей імпульс знаходиться на резонансному з ядерним переходом, який розділяє рівень з EPR переходу спостерігача, половина поляризаційної решітки зміщується надтонким розщепленням$A_{\text {eff }}$, як це також стане очевидним у розділі 8.1.3. Для$A_{\text {eff }} \tau=2(k+1) \pi$ з цілим числом$k$ поляризаційна решітка руйнується руйнівними перешкодами. Оскільки стимульоване відлуння - це вільний індукційний розпад (FID) цієї поляризаційної решітки, воно скасовується радіочастотним імпульсом, який знаходиться на резонансному з ядерним переходом. Очевидно, що радіочастотний$\pi$$A_{\text {eff }} \tau=2 k \pi$ імпульс не впливає на ціле число$k$, де оригінальні та зміщені по частоті решітки заважають конструктивно. Отже, експеримент Mims ENDOR показує сліпі плями як функцію інтерпульсної затримки$\tau$. Ці сліпі плями не є серйозною проблемою для дуже маленьких надтонких муфт$A_{\mathrm{eff}} \ll \pi / \tau$. Однак зверніть увагу, що перша сліпа пляма відповідає$A_{\mathrm{eff}}=0$. Отже, потрібні тривалі$\tau$ інтерпульсні затримки для виявлення дуже малих надтонких муфт, і це призводить до сильного ослаблення луни за$\exp \left(-2 \tau / T_{2}\right)$ рахунок поперечної релаксації електронного спіна. Можна показати, що максимальна чутливість для дуже малих муфт досягається приблизно при$\tau=T_{2}$.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 8.2: Передача поляризації у Девіса ЕНДОРА. (а) Рівень популяцій при тепловій рівновазі, що відповідає зеленій мітці 0 на рис. 8.1 (а). Електронні переходи (червоний, блідо-червоний) набагато сильніше поляризовані, ніж ядерні переходи (синій, блідо-блакитний). (б) Рівень популяцій після селективного інверсійного імпульсу МВт на резонансі з$|\beta \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \alpha\rangle$ переходом (темно-червоний), що відповідає зеленій мітці 1 на рис. 8.1 (а). Створюється стан двоспінового порядку, де два спінові переходи електронів поляризовані з протилежним знаком, і те ж саме стосується двох ядерних спінових переходів. (c) Рівень популяцій після селективного імпульсу інверсії РФ на резонансі з$|\alpha \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \beta\rangle$ переходом (темно-синій), що відповідає зеленій мітці 2 на рис. 8.1 (а). Перехід електронного спінового$|\beta \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \alpha\rangle$ спостерігача вже не інвертований, а лише насичений.

Девіс ЕНДОР

Експеримент Девіса ЕНДОРА найлегше зрозуміти, дивлячись на поляризаційні передачі. При тепловій рівновазі спінові переходи електронів (червоний і блідо-червоний) набагато сильніше поляризовані, ніж ядерні спінові переходи (рис. 8.2 (а)). Їх частоти відрізняються ефективним надтонким розщепленням$A_{\text {eff }}$ до ядерного спіна$I=1 / 2$, який є кольоровим синім кольором. Перший НВЧ$\pi$ імпульс є перехідно-селективним, тобто має пропускну здатність збудження, яка менше, ніж$A_{\text {eff }}$. Відповідно, він інвертує тільки один з двох спінових переходів електронів. Припускаємо, що$|\beta \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \alpha\rangle$ перехід (червоний) перевернутий, а$|\beta \beta\rangle \leftrightarrow|\alpha \beta\rangle$ перехід (блідо-червоний) не перевернутий; інший випадок аналогічний. Така перехідно-селективна інверсія призводить до стану двоспінового порядку, де поляризуються всі окремі переходи в двухспиновой системі. Однак два спінові переходи електронів поляризовані з протилежним знаком, а два ядерні переходи також поляризовані з протилежним знаком (рис. 8.2 (b)). Тепер застосовується радіочастотний$\pi$ імпульс. Якщо цей імпульс не є резонансним з ядерним переходом, стан двоспінового порядку зберігається і спіновий перехід електронів спостерігача (червоний) все ще інвертується. Радіочастотний імпульс також є перехідно-селективним. Тепер ми припускаємо, що цей імпульс інвертує$|\alpha \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \beta\rangle$ перехід (синій); інший випадок знову аналогічний. Після такого резонансного радіочастотного імпульсу два ядерні переходи поляризуються зі знаком рівності і два спінові переходи електронів насичуються без існуючої на них поляризації (рис. 8.2 (c)). Після радіочастотного$\pi$ імпульсу застосовується резонансна послідовність випромінювання НВЧ Хана з переходом спостерігача (рис.8.1 (а)). Якщо радіочастотний імпульс був вимкнений резонансним (ситуація як на рис. 8.2 (б)), спостерігається перевернуте відлуння. Якщо ж, з іншого боку, радіочастотний імпульс знаходився на резонансному (ситуація як на рис. 8.2 (в)) відлуння не спостерігається. На практиці поляризаційні передачі не повні і слабке відлуння все ще спостерігається. Однак резонансний радіочастотний імпульс викликає деяке відновлення перевернутого відлуння. Якщо радіочастота змінюється, відновлення перевернутого відлуння спостерігається на всіх частотах, де радіочастотний імпульс резонансний з ядерним переходом.

$a$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

C

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

$b$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

$d$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 8.3: Спектральне пояснення спалювання отворів Девіса ЕНДОРА. (a) неоднорідно розширена лінія ЕПР з шириною$\Gamma_{\text {inhom }}$ (червона) складається з багатьох більш вузьких однорідно розширених ліній з шириною лінії$\Gamma_{\text {hom }}$. (б) Тривале слабке мікрохвильове опромінення насичує он-резонансний спіновий пакет і не впливає суттєво на позарезонансні спінові пакети. Спектральна діра спалюється в неоднорідно розширену лінію, яка може бути такою ж вузькою, як$\Gamma_{\text {hom. }}$. (c) Вибірковий$\pi$ мікрохвильовий імпульс спалює інверсійний отвір у лінію ЕПР, ширина якої приблизно обернена ширина імпульсу. (d) Ситуація після застосування резонансного радіочастотного імпульсу. Для спінового пакета, де НВЧ імпульс був он-резонансним з$|\beta \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \alpha\rangle$ переходом, половина спектральної дірки зміщується на$A_{\text {eff }}$ більш низькі частоти ЕПР. Для спінового пакета, де імпульс НВЧ був он-резонансним з$|\beta \beta\rangle \leftrightarrow|\alpha \beta\rangle$ переходом, половина спектральної дірки зміщується на$A_{\text {eff }}$ більш високі частоти ЕПР. З огляду на обидва випадки, половина отвору зберігається, що відповідає насиченості. Два бічних отвори з чвертю глибини інверсійного отвору створюються при$\omega_{\mathrm{mw}} \pm A_{\mathrm{eff}}$. Ці бічні отвори не сприяють ехо-сигналу, якщо вони знаходяться поза вікном виявлення (блідо-червоний), ширина якого визначається смугою збудження послідовності виявлення луни Хана.

Подальше розуміння Девіса ЕНДОРА отримують, розглядаючи неоднорідно розширену лінію ЕПР (рис.8.3). У такій лінії з шириною кожен$\Gamma_{\text {inhom }}$ окремий спіновий пакет з набагато більш вузькою шириною$\Gamma_{\text {hom }}$ може, в принципі, бути вибірково збуджений. Довгий прямокутний$\pi$ імпульс інвертує он-резонансний спіновий пакет і частково інвертує спінові пакети приблизно по смузі пропускання, що відповідає зворотній довжині імпульсу. У Davies ENDOR типові довжини імпульсів між 50 і$400 \mathrm{~ns}$, що відповідають смузі збудження між 20 і$2.5 \mathrm{MHz}$. Такий імпульс створює інверсійний отвір, зосереджене на частоті НВЧ$\omega_{\text {mw }}$. В$S=1 / 2, I=1 / 2$ електронно-ядерній спінової системі існують два он-резонансних спінових пакета, ті, де$\omega_{\mathrm{mw}}$ частота$|\beta \alpha\rangle \leftrightarrow|\alpha \alpha\rangle$ переходу, і ті, де це частота$|\beta \beta\rangle \leftrightarrow|\alpha \beta\rangle$ переходу. Для першого спінового пакета інверсія ядерного спина від$|\beta\rangle$ до$|\alpha\rangle$ стану збільшує частоту ЕПР за рахунок ефективного надтонкого розщеплення$A_{\text {eff }}$, тоді як для останнього пакета інверсія від$|\alpha\rangle$ до $|\beta\rangle$стан зменшує його на$A_{\text {eff }}$. В обох випадках половина інверсійного отвору зміщується до бічного отвору, залишаючи отвір для насичення$\omega_{m w}$ та створюючи боковий отвір насичення. Отвори центру насичення двох спінових пакетів збігаються за частотою і поєднуються з отвором насичення в неоднорідно розширеній лінії. На частотах бічних$\omega_{\mathrm{mw}} \pm A_{\mathrm{eff}}$ отворів лише один з двох спінових пакетів сприяє отвору, так що бічні отвори лише наполовину глибші. Ехо-підпослідовність Хана в послідовності Davies ENDOR повинна мати пропускну здатність виявлення, яка охоплює тільки центральний отвір (блідо-червоний на рис. $8.3(\mathrm{~d})$), оскільки жодного ефекту ENDOR не буде спостерігатися, якщо бічний отвір також буде покрито. Для цього пропускну здатність виявлення послідовності луни Хана може бути обмежена або за допомогою досить довгих мікрохвильових імпульсів, або за допомогою досить довгого інтеграційного затвора для перевернутого відлуння.

У будь-якому випадку ефект Девіса ЕНДОРА спостерігається лише в тому випадку, якщо$A_{\text {eff }}$ він перевищує ширину вихідного інверсійного отвору. Чим менше$A_{\mathrm{eff}}$, тим довше повинен бути перший інверсійний імпульс і тим менше спінових пакетів сприяють сигналу. Загалом, надтонкі розщеплення, значно менші за однорідну ширину лінії$\Gamma_{\text {hom }}=1 / T_{2}$ в спектрі ЕПР, не можуть бути виявлені. На практиці Девіс ЕНДОР стає дуже нечутливим до тривалості$\pi$ імпульсів, що перевищують 400 нс. Якщо розширення інверсійної дірки за допомогою електронної спінової релаксації незначне, придушення сигналів малими надтонкими муфтами у Девіса ЕНДОРА може бути описано параметром селективності

$$\eta_{\mathrm{S}}=\frac{A_{\mathrm{eff}} t_{\pi}^{(1)}}{2 \pi}$$

де$t_{\pi}^{(1)}$ довжина першого мВт$\pi$ імпульсу. Отримано максимальну абсолютну інтенсивність$V_{\max }$ ENDOR для$\eta_{\mathrm{S}}=\sqrt{2} / 2$. Як функція$\eta_{\mathrm{S}}$, абсолютна інтенсивність ENDOR задається

$$V\left(\eta_{\mathrm{S}}\right)=V_{\max }\left(\frac{\sqrt{2} \eta_{\mathrm{S}}}{\eta_{\mathrm{S}}^{2}+1 / 2}\right)$$

Надтонка контрастна селективність, описана Eq. (8.2), може бути використана для спектрального редагування. Наприклад, сигнали${ }^{14} \mathrm{~N}$ ENDOR безпосередньо координованих атомів азоту ліганду в комплексах перехідних$A_{\text {eff }}$ металів з порядком$20-40 \mathrm{MHz}$ перекриття сигналами${ }^{1} \mathrm{H}$ ENDOR слабкозв'язаних протонів лігандів на частотах Х-діапазону. При інверсійній довжині імпульсу близько$50 \mathrm{~ns}^{1} \mathrm{H}$ ENDOR сигнали значною мірою пригнічуються.

Перевага чутливості Mims ENDOR для дуже малих надтонких муфт також можна зрозуміти на зображенні горіння отвору. Замість одного центрального отвору блок підготовки$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ з неселективними мікрохвильовими імпульсами створює поляризаційну решітку, яку можна уявити як гребінь багатьох отворів, які розташовані за різницею частот$1 / \tau$. Ширина кожного отвору приблизно$1 / 2 \tau$. Ширина гребінки отворів визначається зворотною довжиною неселективних$\pi / 2$ імпульсів, які зазвичай$10 \mathrm{~ns}$ довгі. Для невеликих муфт, де$t_{\pi}^{(1)}$ в Davies ENDOR потрібно дуже довго, в експерименті Mims ENDOR бере участь більше, ніж на порядок більше спінових пакетів, ніж в експерименті Davies ENDOR. Ефект Mims ENDOR виникає внаслідок зсуву однієї чверті поляризаційної решітки за різницею частот$+A_{\text {eff }}$ і однієї чверті решітки на$-A_{\text {eff }}$. Зміщені решітки заважають решітці на центральній частоті. Залежно від$A_{\text {eff }}$ та від періодичності$1 / \tau$ решітки, це втручання є руйнівним (ефект ЕНДОРА) або конструктивним (відсутність ефекту ЕНДОРА).

ЕСЕЕМ і HYSCORE

ПОСТАЧАЛЬНИК АБО ESEM?

В експериментах ESEEM перенесення поляризації від спінів електронів до ядерних спінів і виявлення ядерних частот на спінових переходах електронів засновані на заборонених електронно-ядерних переходах, розглянутих в главі 6. Значна частина вищої поляризації спінових переходів електронів втрачається в таких експериментах, оскільки кут$2 \eta$ між осями квантування ядерного спіна в двох електронних спінових станах зазвичай невеликий, а глибина ядерних ехомодуляцій гріха$2 \eta$. Крім того, модуляції зникають вздовж головних осей надтонкого тензора, де$B=0$ і таким чином$\eta=0$. Тому лінійні особливості відсутні в одновимірних спектрах ESEEM, що значно ускладнює аналіз лінійної форми. З цієї причини одновимірні експерименти ESEEM зазвичай не конкурентоспроможні з експериментами ENDOR, принаймні, якщо експерименти ENDOR можуть бути виконані на частотах$\mathrm{Q}$ діапазону$(\approx 34 \mathrm{GHz})$ або навіть більш високих частотах. Виняток виникає для слабозв'язаних «віддалених»$14 \mathrm{~N}$ ядер у комплексах перехідних металів, де точне скасування між ядерним Зееманом та надтонкими взаємодіями може бути досягнуто для одного з спінових станів електронів на частотах Х-діапазону або трохи нижче. У цій ситуації спостерігаються чисті ядерні квадрупольні частоти, що призводить до вузьких ліній і легко інтерпретованих спектрів. Одновимірні дані ESEEM також корисні для визначення локальних концентрацій протонів або дейтерію навколо спінової етикетки, які можуть бути використані як проксі для доступності води (розділ 10.1.6).

Основною перевагою ESEEM в порівнянні з ENDOR спектроскопією є більш легке поширення ESEEM до двовимірного кореляційного експерименту. Спектроскопія гіпертонкої підрівневої кореляції (HYSCORE) 8.2.3 вирішує перекривається сигнал від різних елементів, спрощує присвоєння піків і дозволяє безпосередньо визначати надтонку тензорну анізотропію, навіть якщо особливості лінійної форми не спостерігаються.

Трьохімпульсний ESEEM

Експеримент HYSCORE є двовимірним продовженням триімпульсного експерименту ESEEM, який ми розглянемо в першу чергу. У цьому експерименті амплітуда стимульованого відлуння після спостерігається з послідовністю імпульсів$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)-t-(\pi / 2)-\tau-e c h o$ як функція змінної інтерпульсної затримки$t$ при фіксованій міжімпульсній затримці$\tau$ (рис.8.4). Блок$(\pi / 2)-\tau-(\pi / 2)$ служить генератором ядерної когерентності, як обговорюється в розділі 6.3.1 і одночасно створює поляризаційну решітку, розглянуту в контексті експерименту Mims ENDOR (Розділ 8.1.2). Насправді більша частина намагніченості теплової рівноваги перетворюється на поляризаційну решітку, FID якої після кінцевого$\pi / 2$ імпульсу є стимульованим відлунням, тоді як лише мала частка передається ядерній когерентності. Фаза ядерної когерентності визначає, наскільки вона сприяє стимульованому відлунню після зворотного переходу на електронну спінову когерентність останнім$\pi / 2$ імпульсом. Для електронно-ядерної спінової системи$S=1 / 2, I=1 / 2$ ця фаза розвивається з частотами$\omega_{\alpha}$ або$\omega_{\beta}$ якщо під час інтерімпульсної затримки$t$ електронний спін знаходиться в своєму$\alpha$ або$\beta$ стані відповідно. Отже, частина стимульованого відлуння, що виникає з назад перенесеної ядерної когерентності модулюється як функція$t$ частот$\omega_{\alpha}$ і$\omega_{\beta}$.

Вираз для модуляції ехо-оболонки може бути отриманий формалізмом оператора продукту, використовуючи поняття, пояснені в розділі 6.2. Не враховуючи розслаблення, дещо тривале виведення забезпечує

$$V_{3 \mathrm{p}}(\tau, t)=\frac{1}{2}\left[V_{\alpha}(\tau, t)+V_{\beta}(\tau, t)\right],$$

де терміни$V_{\alpha}(\tau, t)$ і$V_{\beta}(\tau, t)$ відповідають вклади зі спіном електрона в його$\alpha$ або$\beta$ стані відповідно під час інтерпульсної затримки$t$. Ці терміни наведені

\ [\ почати {вирівняний} &V_ {\ альфа} (\ тау, т) =1-\ frac {k} {2}\ ліворуч\ {1-\ cos\ ліворуч [\ omega_ {\ beta}\ тау\ праворуч\}\ ліворуч\ {1-\ cos\ ліворуч [\ omega_ {\ альфа} (t+\ tau)\ праворуч\\ праворуч\}\ &V_ {\ beta} (\ тау, т) =1-\ frac {k} {2}\ ліворуч\ {1-\ cos\ ліворуч [\ омега_ {\ альфа}\ тау\ праворуч\}\ ліворуч\ {1-\ cos\ ліворуч [\ omega_ {\ бета} (t+\ tau) \ праворуч]\ праворуч\} \ кінець {вирівняний}\]

Фактори$\cos \left[\omega_{\beta} \tau\right]$ для$V_{\alpha}$ терміна та$\cos \left[\omega_{\alpha} \tau\right]$ для$V_{\beta}$ терміна описують поведінку сліпих плям триімпульсного ЕСЕЕМ. Глибина модуляції$k$ задається

$$k=\sin ^{2} 2 \eta=\left(\frac{B \omega_{I}}{\omega_{\alpha} \omega_{\beta}}\right)^{2}$$

Для невеликих надтонких муфт$A, B \ll \omega_{I}$, ми маємо$\omega_{\alpha} \approx \omega_{\beta} \approx \omega_{I}$, так що Eq. (8.5) зменшується до

$$k=\frac{B^{2}}{\omega_{I}^{2}}$$

тобто глибина модуляції обернено пропорційна квадрату магнітного поля. Використовуючи Eqs. (4.10) та (4.11), ми знаходимо протони, не надто близькі до добре локалізованого непарного електрона

$$k=\frac{9}{4}\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi}\right)^{2}\left(\frac{g \mu_{B}}{B_{0}}\right)^{2} \frac{\sin ^{2}\left(2 \theta_{\mathrm{HFI}}\right)}{r^{6}}$$

де$\theta_{\mathrm{HFI}}$ - кут між віссю електрон-протона і статичним магнітним полем$B_{0}$.

Через зіркову топологію електронно-ядерних спінових систем (рис. 4.4 (а)), еквалайзер (8.3) може бути легко розширений правилом добутку на кілька ядер зі спинами$I_{l}=1 / 2$, де$l$ є індекс, який проходить по всіх ядрах. Одна знахідка

$$V_{3 \mathrm{p}}(\tau, t)=\frac{1}{2}\left[\prod_{l} V_{\alpha, l}(\tau, t)+\prod_{l} V_{\beta, l}(\tau, t)\right]$$

У слабкій межі модуляції, де всі глибини модуляції$k_{l}$ виконують умову$k_{l} \ll 1$, спектр ESEEM, обумовлений кількома зв'язаними ядрами, є сумою спектрів окремих ядер.

a</figcaption> <figure>$1<figcaption>$2</figure>

$b$

Малюнок 8.4: Імпульсні послідовності для триімпульсних ESEEM (a) та HYSCORE (b). У трьохімпульсних ЕСЕЕМ час$t$ змінюється і час$\tau$ фіксується. У$t_{1}$ HYSCORE час і$t_{2}$ змінюються незалежно, щоб отримати двовимірний набір даних.

ГІСКОР

Експеримент HYSCORE походить від триімпульсного експерименту ESEEM шляхом введення мікрохвильового$\pi$ імпульсу посередині еволюції ядерної когерентності. Це розбиває інтерпульсну затримку на$t$ дві інтерпульсні затримки$t_{1}$ і$t_{2}$ (рис. 8.4 (b)), які змінюються незалежно, щоб забезпечити двовимірний набір даних$V\left(t_{1}, t_{2}\right)$, який параметрично залежить від фіксованої інтерпульсної затримки $\tau$. Вставлений$\pi$ імпульс інвертує спіновий стан електрона. Отже, когерентність, яка еволюціонувала з частотою$\omega_{\alpha}$ під час інтерпульсної затримки,$t_{1}$ розвивається з частотою$\omega_{\beta}$ під час інтерпульсної затримки$t_{2}$ і навпаки. У слабкій межі модуляції експеримент HYSCORE корелює тільки$\omega_{\alpha}$ частоти і$\omega_{\beta}$ того ж ядерного спина. Повне вираз модуляції для експерименту HYSCORE містить постійний внесок і внески, які змінюються лише відносно будь-якого$t_{1}$ або$t_{2}$. Ці внески можуть бути видалені шляхом фонової корекції з низьким порядком поліноміальних функцій уздовж обох вимірів. Решта модуляції відповідає лише перехресним пікам і може бути виражена як

$$V_{4 \mathrm{p}}\left(t_{1}, t_{2} ; \tau\right)=\frac{k}{2} \sin \left(\frac{\omega_{\alpha} \tau}{2}\right) \sin \left(\frac{\omega_{\beta} \tau}{2}\right)\left[V^{(\alpha \beta)}\left(t_{1}, t_{2} ; \tau\right)+V^{(\beta \alpha)}\left(t_{1}, t_{2} ; \tau\right)\right]$$

із

\ [\ почати {вирівняний} &V^ {(\ альфа\ бета)}\ ліворуч (t_ {1}, t_ {2};\ тау\ вправо) =\ cos ^ {2}\ ета\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t_ {1} +\ омега_ {\ бета} t_ {2} +\ omega_ {\ ім'я оператора {1} +\ омега_ {\ бета-версія} frac {\ tau} {2}\ право) -\ sin ^ {2}\ ета\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\ альфа} t_ {1} -\ омега_ {\ бета} t_ {2} +\ омега_ {\ mathrm {hfi}}\ frac {\ tau} {2}\ право)\\ &V^ {(\ бета\ альфа)}\ лівий (t_ {1}, t_ {2};\ тау\ вправо) =\ cos ^ {2}\ ета\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\ бета} t_ {1} +\ омега_ {\ альфа} t_ {2} +\ омега_ {\ mathrm {сума}}\ frac {\ tau} 2}\ праворуч) -\ sin ^ {2}\ ета\ cos\ ліворуч (\ омега_ {\ бета} t_ {1} -\ омега_ {\ альфа} t_ {2} +\ омега_ {\ mathrm {hfi}}}\ frac {\ tau} {2}\ праворуч) \ кінець {вирівняний}\]

У цьому поданні з незнаковими ядерними частотами один має$\eta<45^{\circ}$ для слабкого випадку зв'язку$\left(|A|<2\left|\omega_{I}\right|\right)$ і$\eta>45^{\circ}$ для міцного корпусу зв'язку$\left(|A|>2\left|\omega_{I}\right|\right)$, як можна зробити висновок з рис. 6.1. Отже,$\cos ^{2} \eta>\sin ^{2} \eta$ у слабкому корпусі зчеплення та$\sin ^{2} \eta>\cos ^{2} \eta$ в міцному корпусі зчеплення. У слабкому випадку зв'язку перехресні піки, які корелюють ядерні частоти з тим же знаком ($\cos ^{2} \eta$термінами), набагато сильніші, ніж ті, які корелюють частоти з протилежними$\operatorname{sign}\left(\sin ^{2} \eta\right.$ термінами), тоді як навпаки в сильному випадку зв'язку. Тому два випадки можна легко розрізнити в спектрах HYSCORE, оскільки перехресні піки з'являються в різних квадрантах (рис.8.5). Крім того, не враховуючи невеликий зсув, який виникає з$B$ псевдосвітської частини надтонкої зв'язку (див. Нижче), поперечні піки даного ізотопу зі спіном$I=1 / 2$ розташовані на паралелі до антидіагоналі, що відповідає ядерній частоті Зеемана $\nu_{I}$. Цю частоту в свою чергу можна обчислити з ядерної$g$ величини (або гіромагнітного відношення$\gamma$) і статичного магнітного поля$B_{0}$. Таким чином, пікове призначення для$I=1 / 2$ ядер є простим. Для ядер з$I>1 / 2$ піками додатково розщеплюються ядерним квадрупольним взаємодією. Якщо це розщеплення не є набагато меншим, ніж як надтонка взаємодія, так і ядерна взаємодія Зеемана$\left({ }^{2} \mathrm{H},{ }^{6} \mathrm{Li}\right)$, числове моделювання потрібно для призначення піків та вилучення надтонкої та ядерної квадрупольної зв'язку.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 8.5: Схематичний спектр HYSCORE для фенільного радикала (порівняйте рис 4.6). Зверніть увагу, що надтонкі муфти наведені тут в частотних одиницях, а не в одиницях кутової частоти. Сигнали від слабо зв'язаних ядер з'являються в правому$(+,+)$ квадранті. У першому порядку ці вершини розташовані на лінії, паралельної антидіагоналі, яка перетинає$\nu_{2}$ вісь в$2 \nu_{I}$. Дублети центруються$\nu_{I}$ і розділяються відповідними надтонкими муфтами. Сигнали від сильно зв'язаних ядер з'являються в (-, +) квадранті. У першому порядку ці вершини розташовані на двох лініях, паралельних антидіагоналі, які перетинають$\nu_{2}$ вісь в$-2 \nu_{I}$ і$2 \nu_{I}$. Дублети центруються на половині надтонкої муфти і розділені на$2 \nu_{I}$.

Малий псевдосвітський зсув кореляційних піків по відношенню до антидіагоналі містить інформацію про анізотропії$T$ надтонкої взаємодії (рис.8.5). У твердому стані перехресні піки з різних орієнтацій$\theta_{\mathrm{HFI}}$ утворюють вигнуті гребені. Для надтонкого тензора з осьовою симетрією, як це зустрічається для протонів, не надто близьких до добре локалізованого непарного електрона, максимальний зсув в діагональному напрямку відповідає$\theta_{\mathrm{HFI}}=45^{\circ}$ і задається$9 T^{2} / 32\left|\omega_{I}\right|$. Так як$\omega_{I}$ відомо$T$, і таким чином електронно-протонну відстань$r$ можна обчислити з цього максимального зсуву. Якщо$A_{\text {iso }} \ll \omega_{I}$, що зазвичай буває, орієнтація з максимальним зсувом одночасно є орієнтацією з максимальною глибиною модуляції.

Вигнуті гребені закінчуються на їх перетині з паралеллю антидіагоналі. Ці точки відповідають основним значенням надтонкого тензора, а глибина модуляції дорівнює нулю в цих точках. Однак зазвичай можна підігнати теоретичний гребінь до експериментально спостережуваного гребеню, так як кривизна поблизу$\theta_{\mathrm{HFI}}=45^{\circ}$ разом з положенням$\theta_{\mathrm{HFI}}=45^{\circ}$ точки повністю визначає проблему.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 8.6: Схематичний спектр HYSCORE для протона з осьовим надтонким тензором з анізотропією$T$ та ізотропною складовою$A_{\text {iso }}$. Піки кореляції з різних орієнтацій утворюють вигнуті хребти (червоні). Кривизна тим сильніше, чим більше анізотропія, і відношення квадратної анізотропії до ядерної частоти Зеемана визначає максимальний зсув щодо$2 \omega_{I}$ антидіагоналі.

Аналіз спектрів HYSCORE вимагає певної обережності через поведінку сліпих точок (коефіцієнт$\sin \left(\frac{\omega_{\alpha} \tau}{2}\right) \sin \left(\frac{\omega_{\beta} \tau}{2}\right)$ в Eq. (8.9)) і через вибір орієнтації обмеженою смугою пропускання мікрохвильових імпульсів, яка значно менша за спектральну ширину для комплексів перехідних металів. Тому доцільно вимірювати спектри HYSCORE при декількох значеннях$\tau$ і в декількох позиціях спостерігача в межах спектра ЕПР.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

На відстані$1 \mathrm{~nm}$ між двома локалізованими непарними електронами розщеплення$\omega_{\perp}$ між «рогами» малюнка Паке становить близько$52 \mathrm{MHz}$ двох електронних спинив. Навіть сильно неоднорідно розширені ЕПР-спектри зазвичай мають ознаки більш вузькі, ніж це (приблизно$2 \mathrm{mT}$ в магнітному полі розгортки). Залежно від ширини найвужчих ознак в спектрі ЕПР та наявності експериментального спектра або реалістичного модельованого спектра за відсутності дипольно-дипольного зв'язку відстані до$1.5 \ldots 2.5 \mathrm{~nm}$ можна оцінити від диполярного розширення методом лінійного аналізу. На відстанях нижче$1.2 \mathrm{~nm}$ такий аналіз стає невизначеним через внесок обмінного зв'язку між двома електронними спинами, який не може бути обчислений за першими принципами і не може бути передбачений з достатньою точністю квантово-хімічними розрахунками. Якщо два непарних електронів пов'язані безперервним ланцюгом сполучених зв'язків, обмінна зв'язок може бути значною аж до набагато більших відстаней.

Вимірювання відстані є найбільш цінними для спінових етикеток або нативних парамагнітних центрів у біомолекулах або синтетичних макромолекулах та супрамолекулярних збірках. У таких системах, якщо два непарні електрони не пов'язані системою$\pi$ -електронів, обмінна зв'язок незначна по відношенню до дипольно-дипольної зв'язку на відстані більше$1.5 \mathrm{~nm}$. Такі системи часто можуть припускати різні молекулярні конформації, тобто їх структура не визначена ідеально. Структурна характеристика, таким чином, сильно виграє від можливості вимірювати розподіли відстані за шкалами довжини, які можна порівняти з розмірністю цих систем. Цей вимір має порядок 2 до$20 \mathrm{~nm}$, що відповідає$\omega_{\perp}$ між$7 \mathrm{MHz}$ і$7 \mathrm{kHz}$. Для того, щоб зробити висновок про розподіл відстані, цю малу дипольно-дипольну муфту потрібно відокремити від більших анізотропних взаємодій.

Таке поділ взаємодій можливо шляхом спостереження за зміною резонансної частоти за один спін в парі (синій на рис. 5.3), який індукується перекиданням спина його партнера по зчепленню (червоний). На рис. $9.1$резонансна частота обертання спостерігача перед перевертанням його сполучного партнера позначається пунктирною лінією. Якщо партнер зчеплення знаходиться в своєму$|\alpha\rangle$ стані до перекидання (ліва панель на рис. 5.3), місцеве поле при обертанні спостерігача збільшиться на$\Delta B$ при перевертанні партнера зчеплення. Це спричиняє збільшення резонансної частоти спіна спостерігача дипольно-дипольною зв'язкою$d$ (див. Ур. (5.16)). Якщо партнер зчеплення знаходиться в своєму$|\beta\rangle$ стані до перекидання (права панель на рис. 5.3), локальне поле при обертанні спостерігача зменшиться на$\Delta B$ при перевертанні партнера зчеплення. Це викликає зниження резонансної частоти спіна спостерігача за допомогою дипольно-дипольної зв'язку$d$. У високотемпературному наближенні обидва ці випадки мають

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 9.1: Резонансний$\pm \Delta B$ зсув частоти спіна спостерігача (сині переходи) зміною локального магнітного поля, що виникає при перевертанні другого спіна, який є диполь-дипольним зв'язаним зі спіном спостерігача. Порівняти рис. $5.3$для локальної картини поля.

однакова ймовірність. Отже, половина обертань спостерігача зазнає зміни$+d$ частоти, а інша половина буде відчувати зміну частоти$-d$. Якщо спін спостерігача еволюціонує зі зміненою частотою протягом$t$ деякого часу, фази$\pm d t$ будуть отримані порівняно з ситуацією без перегортання партнера зчеплення. Додаткову фазу можна спостерігати як косинусну модуляцію$\cos (d t)$ для обох випадків, оскільки косинус є парною функцією.

ОЛЕНЬ

Чотириімпульсний експеримент DEER

Найбільш часто використовуваним експериментом для вимірювань розподілу відстані в нанометровому діапазоні є чотириімпульсний подвійний електронний резонанс (DEER) експеримент (рис. 9.2), який іноді також називають імпульсним електронним подвійним резонансом (PELDOR) експеримент. Всі взаємодії спина спостерігача перефокусуються двічі двома$\pi$ імпульсами в рази$2 \tau_{1}$ і$2 \tau_{1}+2 \tau_{2}$ після початкового$\pi / 2$ імпульсу. Повторна перефокусування необхідна, оскільки всі спінові пакети повинні перебувати в фазі,$t=0$ а перекриття$\pi$ імпульсу насоса з імпульсом$\pi / 2$ спостерігача призведе до спотворення сигналу. Перша перефокусування з інтерімпульсною затримкою$\tau_{1}$ відновлює ситуацію (1) відразу після$\pi / 2$ імпульсу з фазою$x$, де вектори намагніченості всіх спінових пакетів вирівняні з$-y$ віссю. ${ }^{1}$На практиці когерентність збуджується на обох спінових переходах спостерігача (синій колір в панелах енергетичного рівня), але для наочності розглядаємо тільки спінову когерентність спостерігача, яка знаходиться на верхньому переході і символізується хвилястою лінією в панелі (1).

Протягом часу$t$ після першої перефокусування вектори намагніченості спінових пакетів з різним резонансним зміщенням дефази (панель (2)). Тільки резонансний спіновий пакет, позначений темно-синім кольором, все ще вирівнюється з$-y$ напрямком. Імпульс насоса перевертає партнера зчеплення і таким чином передає когерентність на нижній спіновий перехід спостерігача. Резонансна частота цього переходу зміщується дипольно-дипольної зв'язкою$d$ у всіх спінових пакетах. Спінова намагніченість спостерігача додатково дефазується до моменту безпосередньо перед застосуванням другого$\pi$ імпульсу спостерігача (3)) і, крім того, весь пучок векторів намагніченості спінових пакетів переступає проти годинникової стрілки зі зсувом частоти$d$. Таким чином, спочатку он-резонансний спіновий пакет отримує фазу$d\left(\tau_{2}-t\right)$ перед тим, як буде застосовано другий$\pi$ імпульс спостерігача. Другий$\pi$ імпульс спостерігача з фазою$x$ відповідає$180^{\circ}$ обертанню навколо$x$ осі. Це відображає пучок векторів намагніченості щодо$y$ осі, інвертуючи фазу спостерігача спінової когерентності (панель (4)). Пучок, який ще

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure> перша перефокусування і всі наступні панелі намагніченості дзеркальні щодо$x$ осі. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 9.2: Чотириімпульсна послідовність DEER, передачі когерентності та еволюція спінової намагніченості спостерігача. Імпульси, показані синім кольором, подаються на спін спостерігача, імпульс насоса, показаний червоним кольором, прикладається до його партнера зчеплення. Відлуння в часі$2 \tau_{1}$ (пунктирна синя лінія) не спостерігається. Міжпульсні затримки$\tau_{1}$ і$\tau_{2}$ фіксуються, час$t$ змінюється, а амплітуда відлуння спостерігається як функція$t$.

прецеси проти годинникової стрілки з кутовою частотою$d$ тепер відстає від$+y$ осі за фазою$d\left(\tau_{2}-t\right)$. Під час остаточної інтерпульсної затримки довжини$\tau_{2}$ пучок в цілому набирає фазу$d \tau_{2}$ (сіра стрілка на панелі (4) і одночасно перебудовується вздовж його центру за рахунок перефокусування луни. Однак центр, відповідний спочатку он-резонансному спіновому пакету, не закінчується вздовж$+y$, як це було б при відсутності імпульсу насоса. Швидше, цей спіновий пакет отримав фазу$d t$ щодо$+y$ напрямку (панель (5)). Векторна складова намагніченості уздовж$+y$, яка відповідає сигналу луни, задається$\cos (d t)$.

Діапазон відстані експерименту DEER обмежений в сторону коротких відстаней вимогою, що для перефокусування відлуння імпульси спостерігача повинні збуджувати обидва переходи спостерігачів, які розділені на$d$ і, для передачі когерентності, імпульс насоса повинен збуджувати обидва переходи зв'язку партнера, які також розщеплюються$d$. Іншими словами, як спостерігач перефокусованої ехо-підпослідовності, так і імпульс насоса повинні мати пропускну здатність збудження, яка перевищує$d$. Ця вимога встановлює нижню$1.8 \mathrm{~nm}$ межу відстані приблизно на частотах X-діапазону та приблизно$1.5 \mathrm{~nm}$ на частотах$Q$ -діапазону. Виникає межа на великі відстані, оскільки для виведення ширини або навіть форми розподілу відстані потрібно спостерігати кілька диполярних коливань, і для визначення середньої відстані потрібно спостерігати принаймні одне коливання. Для цього потрібно$t>2 \pi / d$. З іншого боку, у нас є$t<\tau_{2}$ і фіксована інтерпульсна затримка$\tau_{2}$ не може бути набагато довшою, ніж час поперечної релаксації$T_{2}$, оскільки в іншому випадку когерентність повністю розслаблена і відлуння не спостерігається. Час поперечної релаксації електронного спіна становить близько декількох мікросекунд. Залежно від типу вибірки (див. Розділ$9.1 .2$),$\tau_{2}$ можуть бути$1.5$ обрані між і$20 \mu \mathrm{s}$, що відповідають максимальним спостережуваним відстаням між 5 і$12 \mathrm{~nm}$.

Вимоги до зразків

У бажаному шляху передачі когерентності експерименту DEER імпульси спостерігача виключно збуджують спини спостерігача, а імпульс насоса виключно збуджує партнера зчеплення. Смуга пропускання збудження повинна бути досить великою, щоб охоплювати дипольно-дипольну муфту$d$ на всіх орієнтаціях, тобто більше, ніж$\omega_{\|}-2 \omega_{\perp}$. Якщо два з'єднані спини мають однаковий спектр ЕПР, цей спектр повинен бути ширшим, ніж удвічі перевищує мінімальну пропускну здатність збудження. Ця умова виконується для нітроксидних спінових міток (Глава 10) та іонів перехідних металів на всіх частотах EPR, тоді як деякі органічні радикали, такі як тритилові радикали, мають занадто вузькі спектри на частотах X-діапазону або навіть Q-діапазону. Крім того,$T_{2}$ повинен бути досить довгим, щоб принаймні спостерігач обертався. Ця умова може бути виконана майже для всіх$S=1 / 2$ видів при температурах$10 \mathrm{~K}$ (комплекси перехідних металів) або$50 \cdots 80 \mathrm{~K}$ (органічні радикали), але може вимагати охолодження нижче$4.2 \mathrm{~K}$ для деяких видів з високим спіном. Для високошвидкісних видів з напівзаповненою валентною оболонкою, таких як Mn (II)$(S=5 / 2)$ або$\mathrm{Gd}(\mathrm{III})(S=7 / 2)$$10 \mathrm{~K}$ вимірювальні температури також достатні.

Концентрація зразка повинна бути досить низькою, щоб міжмолекулярні відстані були набагато більшими за внутрішньомолекулярні відстані. Для коротких відстаней$200 \mu \mathrm{M}$ можливі концентрації до, але концентрації$10 \cdots 50 \mu \mathrm{M}$ забезпечують кращі результати, якщо спектрометр з достатньою чутливістю доступний. Залежно від відстані і$T_{2}$, вимірювання можуть бути виконані аж до концентрації$10 \cdots 1 \mu \mathrm{M}$. Для мембранних білків, відновлених у ліпосоми, якість даних є не тільки функцією об'ємної концентрації спина, але і співвідношення ліпідів до білка. Цей параметр потрібно оптимізувати під кожен новий білок. Необхідний обсяг вибірки коливається між кількома мікролітрами (частоти W-діапазону) і$150 \mu \mathrm{L}$$50 \mu \mathrm{L}$ при частотах Q-діапазону, як правило, є оптимальними.

Якщо концентрація не надто висока і може бути досягнута низькотемпературна межа поперечної релаксації,$T_{2}$ залежить від концентрації та типу протонів навколо спіна спостерігача. Повторення розчинника і кріопротектора (зазвичай гліцерину) зазвичай різко покращують якість даних. Якщо матриця може бути пердейтрована, дейтерація білка або ядер кислоти може ще більше продовжити$T_{2}$ і розширити діапазон відстані або поліпшити співвідношення сигнал/шум.

Ускладнення виникають, якщо в одній молекулі виявлено більше двох непарних електронів, але ці ускладнення зазвичай можна вирішити. Однак жодна з спінових пар не повинна мати відстань, меншу за нижню межу доступного діапазону відстані.

$9.2$Перетворення даних диполярної еволюції в розподіли відстані

Вираз для сигналу DEER

У розділі 9.1.1 ми бачили, що відлуння модулюється$\cos (d t)$. Зазвичай це стосується лише$\lambda$ частки відлуння, тому що імпульс насоса збуджує лише$\lambda$ частку всіх спінових пакетів сполучного партнера спостереження спина. Тому ехо-сигнал для ізольованої пари спінів електронів у$\theta$ фіксованій орієнтації щодо магнітного поля описується

$$F(t, r, \theta)=F(0)\{1-\lambda(\theta)[1-\cos (2 d(r, \theta) t)]\}$$

де залежність$d(\theta)$ задається Eqs. (5.16) і (5.15). Залежність$\lambda(\theta)$ не може бути виражена в замкнутому вигляді, але часто$\lambda$ настільки слабо корелює з тим$\theta$, що її можна припустити як постійний, емпіричний параметр. У цій ситуації Eq. (9.1) може бути інтегрований у всіх орієнтаціях

$$F(t, r)=\int_{0}^{\pi / 2} F(t, r, \theta) \sin \theta \mathrm{d} \theta$$

Імпульс насоса інвертує не тільки сполучний партнер спіна спостерігача в тій же молекулі, але і спини електронів у віддалених інших молекулах. Якщо ці сусідні прядки однорідно розподілені в просторі, фоновий фактор,$B(t)$ що виникає у них, приймає вигляд

$$B(t)=\exp \left(-\frac{2 \pi g^{2} \mu_{\mathrm{B}}^{2} \mu_{0} N_{\mathrm{A}}}{9 \sqrt{3} \hbar} \lambda^{\prime} c t\right)$$

де орієнтаційно-усереднена ефективність інверсії$\lambda^{\prime}$ - це частка спінів, збуджених імпульсом насоса,$g$ є середнім$g$ значенням, і$c$ є сумарною концентрацією спінів. З тонких причин значно$\lambda^{\prime}$ відрізняється від емпіричної двоспінової модуляції глибини$\lambda$. Однорідні розподіли сусідніх спінів, які майже обмежені площиною або лінією, породжують розтягнуту експоненціальну фонову функцію$B(t)=\exp \left[-(k t)^{D / 3}\right]$, де$D$ є дробовий вимір розподілу, який зазвичай дещо більший за 2 або 1 для майже плоских або лінійних розподілів відповідно. Загальний сигнал DEER подається

$$V(t, r)=F(t, r) B(t)$$

Якщо відстань$r$ розподіляється з нормованою щільністю ймовірності$P(r)\left(\int_{0}^{\infty} P(r) \mathrm{d} r=1\right)$, форм-фактор$F(t)$ потрібно замінити на$F_{P}(t)=\int_{0}^{\infty} P(r) F(t, r) \mathrm{d} r$. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 9.3: Фонова корекція в спектроскопії DEER. (a) Первинні дані$V(t)$ (моделювання), нормовані до$V(0)$. Диполярна модуляція розпадається до певного часу$t_{\mathrm{dec}}$. Функція експоненціального розпаду (червоний колір) пристосована до даних у діапазоні$t_{\mathrm{dec}} \leq t \leq t_{\max }$, де$t_{\max }<\tau_{2}$ максимальний час диполярної еволюції. Ця фонова функція$b(t)$ екстраполюється на діапазон$0 \leq t<t_{\mathrm{dec}}$ (охра). (б) Форм-фактор$F(t)$ отримують шляхом нормалізації фонової функції,$B(t)=b(t) / b(0)$ і ділення нормованих первинних даних$V(t) / V(0)$ на$B(t)$. Він розпадається до постійного рівня$1-\lambda$, де$\lambda$ знаходиться глибина модуляції. Червона крива - це моделювання, що відповідає розподілу відстані, витягнутому регуляризацією Тихонова з оптимальним параметром регуляризації$\alpha$.

Корекція фону

Інформація про$P(r)$ розподіл відстані міститься в$F(t)$, яка, таким чином, повинна бути відокремлена від$B(t)$. Часто розподіл досить широкий, щоб диполярні коливання розпадалися протягом часу,$t_{\mathrm{dec}}$ меншого за максимальний час диполярної еволюції$t_{\max }$ (рис. 9.3 (а)). Для$t_{\mathrm{dec}} \leq t \leq t_{\max }$, первинний сигнал потім подається$b(t)=(1-\lambda) \exp \left[-(k t)^{D / 3}\right]$ плюсовим шумом. Вираз для$b(t)$ підлаштовується до первинних даних у цьому діапазоні (червона лінія на рис. 9.3 (а)). У деяких випадках, наприклад, для розчинних білків, можна припустити однорідний розподіл молекул у трьох вимірах, щоб його$D=3$ можна було зафіксувати. В іншому випадку$D$ розглядається як параметр fit, як are$k$ і$\lambda$. Функція фону$B(t)$ виходить шляхом екстраполяції$b(t)$ на діапазон$0 \leq t \leq t_{\mathrm{dec}}$ (лінія охри) і діленням його на$b(0)=1-\lambda$. Відповідно до Eq. (9.4), форм-фактор$F(t) / F(0)$ виходить$V(t) / V(0)$ діленням на$B(t)$. Для розподілів на вузьких відстанях коливання$V(t) / V(0)$ можуть витримати до найдовшого досяжного$t_{\max }$. Це не створює проблем, якщо принаймні перше коливання завершено задовго до цього$t_{\max }$. Всі наступні коливання мають дуже схожу амплітуду і не зміщують фонову посадку. Як правило, хорошу оцінку для$B(t)$ можна отримати шляхом примірки даних при if$d t_{\max } \geq 4 \pi$, тобто,$t \geq t_{\max } / 2$ якщо можна спостерігати два повних коливання. Якщо трасування даних коротше, фонова підгонка загрожує невизначеністю. Неправильна корекція фону може придушити великі відстані або створити штучні піки на великих відстанях.

Тихонова регуляризація з ненегативним обмеженням

Для того, щоб витягти розподіл відстані$P(r)$ з експериментального форм-фактора$F(t) / F(0)$, нам потрібно видалити постійний внесок і перенормалізувати в диполярну еволюційну функцію.

$$D(t)=\frac{F(t) / F(0)-(1-\lambda)}{\lambda}$$

і інвертувати інтегральне рівняння$D(t)=\int_{0}^{\infty} P(r) K(t, r) \mathrm{d} r$, де ядро$K(t, r)$ задається

$$K(t, r)=\int_{0}^{1} \cos \left[\left(3 z^{2}-1\right) \omega_{\perp}(r) t\right] \mathrm{d} z$$

Тут ми замінили$\cos \theta$$z, \sin \theta \mathrm{d} \theta$ на$-\mathrm{d} \cos \theta$ і зворотний напрямок інтеграції, який компенсував$\operatorname{sign}$ негатив в$-\mathrm{d} \cos \theta$.

На практиці$D(t)$ оцифровується і задається у вигляді вектора під час вибірки$t_{i}$. Так само достатньо обчислити$P(r)$ як вектор на відстанях вибірки$r_{k}$. Таким чином, інтегральне рівняння перетворюється на матричне рівняння

$$\vec{D}=\mathbf{K} \vec{P}$$

На жаль, це матричне рівняння неможливо легко інвертувати, оскільки рядки ядра не$\mathbf{K}$ ортогональні, тобто скалярний добуток векторів функції диполярної еволюції при різних не$r_{k}$ дорівнює нулю. Слабка лінійна залежність рядків робить проблему некоректною. Невеликі відхилення експериментального$\vec{D}$ від «істинного»$\vec{D}_{\text {ideal }}$, наприклад, через шум, викликають великі відхилення$\vec{P}$ від істинного розподілу відстані. Цю проблему можна вирішити тільки з урахуванням додаткової інформації.

По-перше, ми знаємо, що, як щільність ймовірності,$P(r) \geq 0$ взагалі$r$. Отже, ми можемо накласти обмеження без негативності$\vec{P}$. Виявляється, цього недостатньо для стабілізації розчину. Шум може бути встановлений рваними розподілами відстані з багатьма вузькими піками, хоча ми знаємо, що розподіл відстані повинен бути плавним, оскільки він виникає внаслідок безперервного розподілу молекулярних конформацій. Тихонова регуляризація накладає стриманість плавності шляхом мінімізації

$$G_{\alpha}=\rho+\alpha \eta$$

де

$$\rho=\|\mathbf{K} \vec{P}-\vec{D}\| \|^{2}$$

середнє квадратне відхилення між експериментальними та модельованими даними та

$$\eta=\left\|\hat{L}^{(2)} \vec{P}\right\|^{2}$$

квадратна норма другої похідної, яку можна обчислити$\vec{P}$ шляхом множення з другим оператором похідної$\hat{L}^{(2)}$. Параметр регуляризації</figcaption>$\alpha$ визначає відносний <figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 9.4: Тихонова регуляризація даних, показаних на рис.9.3. (а) L крива. Оптимальний параметр регуляризації відповідає куту (зеленому колу) і забезпечує моделювання, показане на рис. 9.3 (б), а також витягнутий розподіл відстані, показаний у вигляді чорної лінії на панелі (c) поточного малюнка. Червоне коло позначає занадто великий параметр регуляризації, що призводить до згладжування. (b) Форм-фактор введення (чорний) та моделювання занадто великого параметра регуляризації, відповідного червоному колу на$L$ кривій. (c) Теоретичний розподіл відстані, що використовується для моделювання безшумного форм-фактора (зелений) та розподілу відстані, витягнутого з галасливого форм-фактора, з оптимальним параметром регуляризації, відповідним зеленому колу на$\mathrm{L}$ кривій (чорний). (d) (c) Теоретичний розподіл відстані, що використовується для моделювання безшумного форм-фактора (зелений) та розподілу відстані, витягнутого з галасливого форм-фактора із занадто великим параметром регуляризації, відповідним червоному колу на$\mathrm{L}$ кривій (чорному).

вага згладжуючого обмеження відносно середнього квадратичного відхилення між експериментальними та змодельованими даними. Параметричний графік$\log \eta$ проти$\log \rho$ як функція$\alpha$ має приблизно Г-подібну форму (рис.9.4). Для дуже$\alpha$ малих$\eta$ шорсткість розподілу відстані може бути сильно зменшена без збільшення середнього квадратного відхилення$\rho$ дуже сильно. Для великих$\alpha, \vec{P}$ вже плавно і подальше збільшення$\alpha$ призведе лише до невеликого зменшення шорсткості$\eta$, але до великого збільшення$\rho$, так як надмірно розширене розподіл відстані більше не підходить до диполярного коливання. Значить, в математичному сенсі параметр оптимальної регуляризації відповідає куту$L$ кривої. При цьому параметрі регуляризації розподіл витягнутої відстані (чорна лінія на рис. 9.4 (в)) лише трохи ширше істинного розподілу відстані (зелена лінія), а модельований форм-фактор (червона лінія на рис. 9.3 (б)) узгоджується з експериментальним форм-фактором (чорна лінія), за винятком білого шуму внесок. Якщо параметр регуляризації занадто великий (червоне коло на рис. 9.4 (а)), імітований форм-фактор перекривається (червона лінія на рис. 9.4 (б)) і розподіл відстані нереально широкий (чорна лінія на рис. 9.4 (г)). Для занадто малого параметра регуляризації розподіл відстані нереально розбивається на кілька вузьких піків, а модельований форм-фактор підходить до частини шуму (не показано). Ця помилка не може бути настільки чітко розрізнена у модельованому форм-факторі, як можна розрізнити надмірне демпфування. Недозгладжування видно тільки в кривій L.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Нітроксидні спінові зонди та етикетки Спінові зонди та етикетки

нітроксидні радикали

Нитроксидний ЕПР спектр Вплив динаміки на нитроксидний спектр Полярність і протічність

доступність води

Доступність кисню Локальні вимірювання рН

Спінові пастки

0 - Спінові зонди та спінові пастки

Нітроксидні спінові зонди та етикетки

Спінові зонди та етикетки

Спінові зонди - це стабільні парамагнітні види, які домішуються до зразка з метою отримання структурної або динамічної інформації про їх навколишнє середовище і, таким чином, опосередковано на зразок. Спінові етикетки - це спінові зонди, які ковалентно прикріплені до цікавить молекули, часто на певному місці. У порівнянні з більш прямою характеристикою структури та динаміки іншими методами, ЕПР-спектроскопія на спінових зондах може мати доступ до інших масштабів довжини та часу або може бути застосована в агрегаційних станах або середовищах, де ці інші методи демонструють низьку роздільну здатність або не дають жодного сигналу. Сайт-спрямоване спінове маркування (SDSL) має ту перевагу, що присвоєння сигналу первинній молекулярній структурі вже відомо і що конкретний сайт в складній системі може бути вивчений без порушення сигналів інших частин системи. Такий підхід отримує прибуток від рідкості парамагнітних центрів. Наприклад, багато білків і більшість нуклеїнових кислот і ліпідів є діамагнітними. Якщо спінова етикетка введена на вибраному сайті, інформація про ЕПР є специфічною для цього конкретного сайту.

В принципі, спіновим зондом може служити будь-який стабільний парамагнітний вид. Деякі парамагнітні іони металів можуть замінювати діамагнітні іони, нативні досліджуваній системі, оскільки вони мають аналогічний заряд і іонний радіус або з аналогічними властивостями комплексоутворення, як нативні іони. Це стосується$\mathrm{Mn}(\mathrm{II})$, які часто можуть замінити,$\mathrm{Mg}(\mathrm{II})$ не впливаючи на функцію білків або нуклеїнових кислот, або іонів лантаноїдів Ln (III), які зв'язуються з сайтами Ca (II). Парамагнітні іони металів також можуть бути приєднані до білків шляхом інженерних вузлів зв'язування з координуючими амінокислотами, такими як гістидин, або шляхом прикріплення металевого ліганда до біомолекули, спрямованого на сайт. Такі підходи застосовуються для іонів лантаноїдів, зокрема Gd (III) і Cu (II).

Для багатьох підходів до спінових зондів органічні радикали краще підходять, ніж іони металів, оскільки в радикалах непарний електрон має більш тісний контакт з навколишнім середовищем (ліганди екранують екологічний доступ іонів металів, зокрема для іонів лантаноїдів), а спектри ЕПР вужчі, що дозволяє деяким експерименти, які не можуть бути проведені на видах з дуже широкими спектрами. Серед органічних радикалів нітроксиди є найбільш універсальним класом спінових зондів, головним чином через їх відносно невеликих розмірів, порівнянних з бічною групою амінокислот або нуклеобазою, а також через гіпертонкої і$g$ тензорної анізотропії величини, зручної для вивчення динаміки ( Розділ 10.1.4). Триарилметил (ТАМ) радикали хімічно ще більш інертні, ніж нітроксидні радикали, і мають більш повільний час релаксації в рідкому розчині. В даний час вони набагато менше використовуються, ніж нітроксидні радикали, головним чином тому, що вони не є комерційно доступними і набагато важче синтезуються, ніж нітроксидні радикали. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.1: Структури нитроксидних зондів. $\mathbf{1}$Похідні TEMPO. $\mathbf{2}$Похідні ПРОКСИЛ. $\mathbf{3}$РН-чутливий імідазолідин нітроксид. 4 похідні DOXYL. 5 метанетиосульфонату спін етикетки (MTSL)

нітроксидні радикали

Радикал нітроксиду визначається$\mathrm{N}-\mathrm{O}^{\bullet}$ групою, яка є ізоелектронною з карбонільною групою$(\mathrm{C}=\mathrm{O})$ і, таким чином, може бути замінена в наближеному силовому полі та обчисленнях молекулярної динаміки$\mathrm{C}=\mathrm{O}$ групою. Непарний електрон розподілений по обом атомам, що сприяє радикальної стійкості, з невеликою перевагою атома кисню. Нітроксидні радикали стають стабільними за часовою шкалою місяців або років, якщо обидві$\alpha$ позиції стерильно захищені, наприклад, шляхом приєднання двох метильних груп до кожного з$\alpha \mathrm{C}$ атомів (рис.10.1). Нітроксиди цього типу термічно стійкі до температури близько$140^{\circ} \mathrm{C}$, але вони легко відновлюються до відповідних гідроксиламінів, наприклад аскорбінової кислоти, і нестійкі при дуже низькому і дуже високому рН. Нітроксиди з п'ятичленними кільцями (структурами$\mathbf{2}, \boldsymbol{3}$, і$\mathbf{5}$), як правило, хімічно більш стійкі, ніж ті, що мають шестичленні кільця (6). П'ятичленні кільця також мають меншу конформаційну свободу, ніж шестичленні кільця.

Спінові зонди можуть бути адресовані певним середовищам в неоднорідних системах шляхом вибору відповідних замісників$\mathrm{R}$ (рис.10.1). Незаміщені види$(\mathrm{R}=\mathrm{H})$ гідрофобні і переважають до неполярних середовищ. Перевага акцепторів водневих зв'язків досягається гідроксильними похідними$(\mathrm{R}=\mathrm{OH})$, тоді як іонні середовища можуть вирішуватися карбоксилатною групою при досить високому$\mathrm{pH}\left(\mathrm{R}=\mathrm{COO}^{-}\right)$ рівні або групою триметиламонію$(\mathrm{R}=$$\left.\mathrm{N}\left(\mathrm{CH}_{3}\right)_{3}^{+}\right)$. Реактивні групи$\mathrm{R}$ використовуються для SDSL, такі як група метанетіосульфонату в похідній дегідро-проксілу MTSL 5, яка вибірково реагує з тіоловими групами в м'яких умовах. Тіольні групи можуть бути введені в білки шляхом точкової мутації амінокислоти до цистеїну і до РНК шляхом заміщення нуклеобази на тіуридин. У похідних$\mathbf{4}$ DOXYL шестичленне кільце спіропов'язане з алкільним ланцюгом, який може входити до складу стеаринової кислоти або молекул ліпідів. $\mathrm{N}^{\circ} \mathrm{O}^{\bullet}$Група в похідних DOXYL жорстко прикріплена до алкільного ланцюга і майже паралельна осі гіпотетичної все-транс-ланцюга.

Нитроксид ЕПР спектр

До хорошого наближення спінова система нитроксидного радикала може розглядатися як електронний спін,$S=1 / 2$ пов'язаний$I=1$ з ядерним спіном${ }^{14} \mathrm{~N}$ атома$\mathrm{N}-\mathrm{O}^{\bullet}$ групи. надтонка

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.2: Спектр ЕПР та молекулярна рамка нитроксидних радикалів. (а) Надтонкі підрівні, що відповідають трьом можливим${ }^{14} \mathrm{~N}$ магнітним квантовим числам$m_{I}=-1,0,1$, зміщуються на$m_{S} m_{I} A\left({ }^{14} \mathrm{~N}\right)$. Дозволені переходи - це ті, з$\Delta m_{S}=1$ і$\Delta m_{I}=1$. Мікрохвильовий квант$h \nu_{\mathrm{mw}}$ має постійну енергію, так як$\nu_{\mathrm{mw}}$ мікрохвильова частота постійна. Під час розгортки магнітного поля спостерігається резонанс, коли енергія$h \nu_{\mathrm{mw}}$ відповідає різниці енергій рівнів дозволеного переходу. Три переходи відповідають трьом можливим${ }^{14} \mathrm{~N}$ магнітним квантовим числам$m_{I}=-1,0,1$. (b) У твердому тілі кожна орієнтація дає трилінійний спектр, але розщеплення$A\left({ }^{14} \mathrm{~N}\right)$ та центральне поле$h \nu_{\mathrm{mw}} / g \mu_{\mathrm{B}}$ залежать від орієнтації, оскільки$A$ і$g$ є анізотропними. До хорошого наближення надтонкий тензор має осьову симетрію з унікальною$z$ віссю, відповідною напрямку$p_{\pi}$ орбітальних часточок на${ }^{14} \mathrm{~N}$ атомі. $g$Тензор орторомбічний, тобто спектри в$x y$ площині молекулярного каркаса, які всі мають однакове надтонке розщеплення, мають різні центральні поля. Напрямок$\mathrm{N}-\mathrm{O}$ зв'язку, яке відповідає максимальному$g$ значенню, -$x$ вісь молекулярного каркаса.

зв'язки з іншими ядрами, такими як метилові протони, зазвичай не вирішуються і сприяють лише розширенню лінії. Надтонке з'єднання з$s p^{2}$ гібридизованим${ }^{14} \mathrm{~N}$ атомом має значний ізотропний внесок контакту Фермі від щільності спина в$2 s$ орбіталі та значний анізотропний внесок від щільності спина в$p_{\pi}$ орбіталі, що поєднується з$p_{\pi}$ орбіталлю на атомі кисню, щоб надати зв'язку N-O частковий подвійний характер зв'язку. Напрямок часток$p_{\pi}$ орбіти вибирається як молекулярна$z$ вісь (рис.10.2 (b)). ${ }^{14} \mathrm{~N}$Надтонкий тензор має майже осьову симетрію з$z$ унікальною віссю. Надтонка муфта значно більше уздовж$z$ (на порядок$90 \mathrm{MHz}$), ніж в$x y$ площині (на порядок$15 \mathrm{MHz}$).

Спін-орбітальна зв'язок, яка індукує$g$ анізотропію, виникає в основному на$\mathrm{O}$ атомі, де рівень енергії одинокої пари дуже близький до SOMO. $g$Тензор орторомбічний з майже максимальною асиметрією. Найбільший$g$ зсув позитивний і спостерігається уздовж N-O зв'язку, яка є$x$ віссю молекулярного каркаса$\left(g_{x} \approx 2.009\right)$. Проміжний$g$ зсув спостерігається уздовж$y$ осі$\left(g_{y} \approx 2.006\right)$, тоді як$g_{z}$ величина дуже близька до$g_{e}=2.0023$. На частотах Х-діапазону, де$\nu_{\mathrm{mw}} \approx 9.5 \mathrm{GHz}, g$ анізотропія відповідає лише$1.13 \mathrm{mT}$ дисперсії в резонансних полах, тоді як надтонка анізотропія відповідає$6.5 \mathrm{mT}$ дисперсії. На частотах W-діапазону$\nu_{\mathrm{mw}} \approx 95 \mathrm{GHz}$, де, надтонка анізотропія все ще така ж, але$g$ анізотропія сприяє в десять разів більшої дисперсії$11.3 \mathrm{mT}$, яка зараз домінує.

Польовий спектр CW EPR для однієї орієнтації можна зрозуміти, враховуючи правило вибору, що магнітне квантове число спіна електронів повинно змінюватися на 1, тоді як магнітне квантове число$m_{S}$ ядерного спіна повинно змінюватися на 1, тоді як магнітне квантове$m_{I}$ число${ }^{14} \mathrm{~N}$ ядерного спіна повинно не змінюються. Кожному переходу, таким чином, може бути присвоєно значення$m_{I}$. $I=1$Бо таких значень три$m_{I}=-1,0$, і 1 (рис. $10.2(\mathrm{a})$). НВЧ-частота$\nu_{\mathrm{mw}}$ фіксована і резонанс спостерігається на полах, де енергія мікрохвильового кванта$h \nu_{\mathrm{mw}}$ відповідає енергії переходу.

$a$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

$b$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.3: Побудова твердотільного спектра ЕПР нітроксиду в X діапазоні. (а) Спектр поглинання кожного переходу розглядається окремо. $m_{I}=0$Бо надтонкий внесок зникає і сприяє лише$g$ анізотропія. Ця лінія є найвужчою у$\mathrm{X}$ смузі. Для дисперсії$m_{I}=+1$ по$g$ анізотропії віднімається з більшої дисперсії надтонкою анізотропією. Ця лінія має проміжну ширину. Для$m_{I}=-1$ дисперсії від$g$ анізотропії до дисперсії додають надтонку анізотропію. Ця лінія має найбільшу ширину. (b) Три внески від окремих$m_{I}$ значень додають до загального спектру поглинання ЕПР (зверху). У CW EPR спостерігається похідна цього спектра поглинання (знизу). Оскільки домінує надтонка анізотропія, поділ між зовнішніми кінцівками є$2 A_{z z}$.

Для побудови твердотільного спектра необхідно враховувати орієнтаційну залежність трьох переходів (рис.10.3 (а)). При кожній індивідуальній орієнтації$m_{I}=0$ лінія є осьовою лінією. Оскільки надтонкі внески масштабуються з$m_{I}$, він зникає для цієї лінії і спостерігається лише$g$ анізотропія. У X діапазоні, де на сьогоднішній день домінує надтонка анізотропія, ця лінія є найвужчою. Лінеформа - це та для чистої$g$ анізотропії (див. Рис. 3.4). Бо$m_{I}=+1$, орієнтація з найбільшим$g$ зсувом резонансного поля збігається з найменшим надтонким зсувом. Отже, менша дисперсія резонансного поля$g$ анізотропією віднімається від більшої дисперсії надтонкою анізотропією. Бо$m_{I}=-1$, ситуація протилежна і дві дисперсії додають. Отже,$m_{I}=-1$ перехід, який при будь-якій заданій орієнтації є лінією високого поля, має найбільшу резонансну дисперсію, тоді як низькопольовий$m_{I}=+1$ перехід має проміжну резонансну дисперсію поля. Центральна ознака в сумарному спектрі поглинання (рис. $10.3(\mathrm{~b})$) сильно переважає$m_{I}=0$ перехід, тоді як зовнішні плечі відповідають$m_{I}=+1$ (низьке поле) і$m_{I}=-1$ (високе поле) переходи при$z$ орієнтації. Тому розщеплення між зовнішніми кінцівками в спектрі CW ЕПР, які відповідають цим плечима в спектрі поглинання, є$2 A_{z z}$.

Вплив динаміки на нітроксидний спектр

У рідкому розчині молекули стохастично падають за рахунок броунівської обертальної дифузії. Далі ми розглянемо ізотропну обертальну дифузію, де молекула падає з однаковою середньою швидкістю навколо будь-якої осі в своєму молекулярному каркасі. Це гарне наближення для нітроксидних спінових зондів з малими замісниками$\mathrm{R}$. Наприклад, TEMPO$(\mathbf{1}$ з$\mathrm{R}=\mathrm{H})$ майже сферичним з радіусом Ван-дер-Ваальса$3.43 \AA \AA$. У воді при температурі навколишнього середовища час$\tau_{\mathrm{r}}$ обертальної кореляції для TEMPO становить близько$10 \mathrm{ps}$. Твір$\tau_{\mathrm{r}} \Delta \omega$ з максимальною анізотропією$\Delta \omega$ нитроксидного ЕПР спектра на кутовій частотній осі значно менше одиниці. У цій ситуації очікуються середні анізотропії та три вузькі лінії однакової ширини та інтенсивності. Спектр на рис. 10.2 (а) відповідає цій ситуації і при уважному погляді виявляється, що лінія високого поля має дещо меншу амплітуду. Це може бути простежено до більшої ширини лінії, ніж для інших двох рядків, що вказує на коротший$T_{2}$ для$m_{I}=-1$ переходу, ніж для інших переходів. Дійсно, в поперечній релаксації переважає ефект від комбінованої гіпертонкої і$g$ анізотропії, яка є найбільшою для$m_{I}=-1$ переходу, який має найбільшу анізотропну дисперсію резонансних частот. Зі збільшенням часу ротаційної кореляції$\tau_{r}$, можна очікувати, що цей процес релаксації стане сильнішим, що повинно призвести до більшого розширення лінії, що є найсильнішим для лінії високого поля і найслабшим для центральної лінії. Це дійсно спостерігається при моделюванні для$\tau_{\mathrm{r}}=495$ ns, показаних у нижній сліді на рис. $10.4$.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.4: Моделювання спектрів CW EPR Х-діапазону ізотропічно перекисного радикала для різних часів обертальної кореляції$\tau_{\mathrm{r}}$. Прийнято час обертальної кореляції$1 \mu$ s at$190 \mathrm{~K}$ та активованого процесу з енергією активації, близькі до параметрів, що$22.9 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}$ спостерігаються для TEMPO в синтетичному полімері.

Відповідно до теорії релаксації Ківельсона, відношення ширини лінії однієї з зовнішніх ліній до ширини лінії центральної лінії задається

$$\frac{T_{2}^{-1}\left(m_{I}\right)}{T_{2}^{-1}(0)}=1+B m_{I}+C m_{I}^{2}$$

де

$$B=-\frac{4}{15} b \Delta \gamma B_{0} T_{2}(0) \tau_{\mathrm{r}}$$

і

$$C=\frac{1}{8} b^{2} T_{2}(0) \tau_{\mathrm{r}}$$

з параметром надтонкої анізотропії

$$b=\frac{4 \pi}{3}\left[A_{z z}-\frac{A_{x x}+A_{y y}}{2}\right]$$

і параметр анізотропії електронів Зеемана$\Delta \gamma$

$$\Delta \gamma=\frac{\mu_{\mathrm{B}}}{\hbar}\left[g_{z z}-\frac{g_{x x}+g_{y y}}{2}\right]$$

Час$T_{2}(0)$ релаксації центральної лінії можна обчислити з відповідної ширини лінії від піку до піку в області поля$\Delta B_{p p}(0)$ як

$$T_{2}(0)=\frac{2}{\sqrt{3} g_{\text {iso }} \mu_{\mathrm{B}} \Delta B_{\mathrm{pp}}(0)}$$

Таким чином, Eqs. (10.1-10.3) можна вирішити для єдиного, що залишився невідомим$\tau_{\mathrm{r}}$. На практиці$I\left(m_{I}\right)$ аналізуються співвідношення амплітуд лінії пік-пік, а не співвідношення ширини лінії, оскільки їх можна виміряти з більшою точністю. Коефіцієнт ширини лінії пов'язаний з амплітудним відношенням$I(0) / I(-1)$ (див. Нижній слід на рис. 10.4) в першому спектрі похідної

$$\frac{T_{2}^{-1}\left(m_{I}\right)}{T_{2}^{-1}(0)}=\sqrt{\frac{I(0)}{I\left(m_{I}\right)}}$$

оскільки інтегральна інтенсивність лінії поглинання (подвійний інтеграл похідної лінійної форми) однакова для кожного з трьох переходів. Таким чином, час ротаційної кореляції можна визначити, наприклад,

$$\tau_{\mathrm{r}}=\frac{\sqrt{3}}{2 b}\left[\frac{b}{8}-\frac{4 \Delta \gamma B_{0}}{15}\right]^{-1} \frac{g_{\mathrm{iso}} \mu_{\mathrm{B}}}{\hbar} \Delta B_{\mathrm{pp}}(0)\left[\sqrt{\frac{I(0)}{I(-1)}}-1\right]$$

де$\Delta B_{0}$ - ширина лінії від піку до піку центральної лінії. Це рівняння може бути застосовано в режимі швидкого перекидання, де три окремі лінії для$m_{I}=-1,0$, і все ще$+1$ можуть бути чітко розпізнані і мають форму симетричних похідних ліній поглинання.

Для більш повільного перекидання з$\tau_{\mathrm{r}}>1.5 \mathrm{~ns}$ форма лінії стає більш складною і наближається до жорсткої межі (твердотільний спектр) приблизно$\tau_{\mathrm{r}}=1 \mu \mathrm{s}$ (рис.10.4). Ці форми ліній можуть бути змодельовані, розглядаючи багатосайтовий обмін між різними орієнтаціями молекули щодо магнітного поля. На відміну від двосайтового обміну, який обговорюється в частині курсу лекцій ЯМР (див. Розділ 3 конспектів лекцій ЯМР), ніяких закритих виразів не можна отримати для багатосайтового обміну. Тим не менш, ми можемо оцінити часову шкалу, де спектральні особливості найширші, а поперечні часи релаксації найкоротші. Коалесценція при двомісному обміні спостерігається при$\Delta \Omega / k=2 \sqrt{2}$. $k$$1 / \tau_{\text {r and }} \Delta \Omega$Підставляючи на максимальну анізотропію$7.6 \mathrm{mT}$, відповідну$213 \mathrm{MHz}$, знаходимо «час коалесценції»$2 \sqrt{2} / \Delta \Omega \approx 2.1$ нс. Моделювання на рис. $10.4$показати дійсно, що навколо цього часу ротаційної кореляції,

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.5: Графік поділу зовнішніх екстрем$2 A_{z z}^{\prime}$ як функції температури$T$ для нітроксидних спектрів, змодельованих за тими ж припущеннями, що і на рис.10.4.

характер спектра змінюється від швидкого обміну орієнтацією (рідкоподібний спектр з трьома різними піками) до повільного обміну орієнтацією (твердоподібний спектр).

Простий спосіб аналізу температурної залежності, такий як показаний на рис. 10.4, полягає в побудові поділу зовнішніх екстремумів$2 A_{z z}^{\prime}$ як функції температури (рис.10.5). «Час коалесценції» в такому графіку відповідає найбільшому градієнту$\mathrm{d} A_{z z}^{\prime} / \mathrm{d} T$, який збігається із середнім$2 A_{z z}^{\prime}$ значенням між значеннями в межі швидкого перекидання і жорсткою межею, яка є$5 \mathrm{mT}$. У випадку, що знаходиться під рукою, це час коалесценції є$3.5 \mathrm{~ns}$ і спостерігається при температурі$T_{5 \mathrm{mT}}=312$$\mathrm{K}$. $T_{5 \mathrm{mT}}$Температура - це температура, коли матеріал стає «м'яким», а молекулярні конформації можуть перебудовуватися. Нитроксидні спектри в режимі повільного перекису можуть виявити більш детальну інформацію про динаміку, наприклад, чи є переважні осі обертання, чи обмежений рух через ковалентний зв'язок нітроксиду з великою молекулою, або чи існує місцевий порядок, наприклад, у ліпідному бішарі.

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.6: Вплив полярності навколишнього середовища та водневого зв'язку на$g_{x x}$ зсув і надтонке зчеплення. (а) У мезомерній структурі, де непарний електрон знаходиться на атомі кисню (зліва), п'ять валентних електронів формально присвоюються$\mathrm{N}$ і шість до$\mathrm{O}$, що відповідає електронно-нейтральності. У мезомерной структурі, де непарний електрон знаходиться на атомі азоту (праворуч), формально закріплені лише чотири валентні електрони$\mathrm{N}$ і сім до$\mathrm{O}$, що відповідає позитивному заряду при$\mathrm{N}$ і негативному заряду при $\mathrm{O}$. (b) Домішка мезомерної структури, розділеної зарядом, породжує часткові заряди і сприятлива в полярному середовищі, яке екранує кулонівське залучення двох зарядів. Водневий зв'язок з киснем знижує енергію одинокої пари, роблячи збудження одинокої пари електрона до СОМО менш імовірним, і, таким чином, зменшуючи$g_{x x}$ зсув.

Полярність і протичність

Делокалізацію непарного електрона в$\mathrm{N}-\mathrm{O}^{\bullet}$ групі можна зрозуміти, розглянувши мезомерні структури (рис.10.6). Якщо непарний електрон знаходиться на кисні, формальне число валентних електронів становить п'ять на азоті і шість на кисні, що відповідає ядерному заряду, який не компенсується електронами внутрішньої оболонки. Отже, обидва атоми формально нейтральні в цій граничній структурі. Якщо, з іншого боку, непарний електрон знаходиться на атомі азоту, цьому атому присвоюються лише чотири валентні електрони, тоді як сім валентних електронів присвоюються атому кисню. Це відповідає поділу заряду з формальним позитивним зарядом на азот і формальним негативним зарядом на кисень. Форма, розділена зарядом, віддається перевазі в полярних розчинниках, які екранують притягнення Кулона між двома зарядами, тоді як нейтральна форма віддається перевагу в неполярних розчинниках. Отже, для даного нітроксидного${ }^{14} \mathrm{~N}$ радикалу в серії розчинників, надтонке з'єднання, яке випливає з щільності спина на атомі азоту, як очікується, збільшиться зі збільшенням полярності розчинника. Цей ефект дійсно був знайдений. Це найлегше побачити в твердому стані для,$A_{z z}$ але також може бути розрізнений в рідкому стані для$A_{\text {iso }}$.

$A_{z z}$Очікується, що зміна буде антикорелювати зі$g_{x x}$ зміщенням, оскільки цей зсув виникає внаслідок SOC в атомі кисню, і чим вища щільність спина на атомі азоту, тим нижча вона знаходиться на атомі кисню. Цей ефект також був знайдений і найлегше виявити високопольовим/високочастотним ЕПР на частотах W-діапазону частот$\approx 95 \mathrm{GHz}$ або навіть більш високих частот. Як$A_{z z}$ співвідноситься з$g_{x x}$ залежить від протікання розчинника. Протичні розчинники утворюють водневі зв'язки з одинокими парами на атомі кисню${ }^{\bullet}$ групи N-O. Це знижує енергію одиноких парних орбіталів, роблячи збудження електрона від цих орбіталів до СОМО менш імовірним. Оскільки це збудження забезпечує основний внесок у SOC і, таким чином,$g_{x x}$ зміщення, водневе зв'язування з киснем зменшує$g_{x x}$ зрушення. Якщо два нітроксиди мають однакове$A_{z z}$ надтонке з'єднання в апротичному та протонному середовищі,$g_{x x}$ буде нижчим у протонному середовищі. Цей ефект також був виявлений. У деяких випадках можна було розрізнити мітки нітроксиду з нульовими, одними та двома водневими зв'язками за роздільною здатністю їх$g_{x x}$ ознак у W-діапазоні CW EPR спектрах. Виявлено нахили$-1.35 \mathrm{~T}^{-1}$$-2 \mathrm{~T}^{-1}$ для апротичних середовищ для протичних середовищ для кореляції між$A_{z z}$ і$g_{x x}$ для MTSL у спінових мічених бактеріородопсину в ліпідних бішарах [Ste+00].

$10.1 .6$доступність води

Полярність і протічність є проксі-параметрами доступності води спін-мічених ділянок в білках. Дві інші методи надають додаткову інформацію. По-перше, воду можна замінити дейтрованою водою, а глибину модуляції дейтерію ESEEM можна виміряти. Через$r^{-6}$ залежність глибини модуляції (див. Eq. (8.7)) методика найбільш чутлива до ядер дейтерію в безпосередній близькості від спінової мітки. До тих пір$k \ll 1$, поки вклади глибини модуляції окремих ядер додаються, так що загальна глибина модуляції дейтерію є мірою для місцевої концентрації дейтерію, близької до мітки. Дані можуть бути оброблені таким чином, що видаляє внесок з безпосередньо пов'язаних з воднем ядер. Строго кажучи, ця методика вимірює концентрацію не тільки протонів води, але й одного з будь-яких обмінних протонів біля етикетки, але лише в тій мірі, в якій ці обмінні протони є доступними для води під час підготовки або вимірювання зразків.

Друга, більш пряма техніка, яка застосовується при температурі навколишнього середовища, вимірює сигнал ЯМР протона як функція опроміненої мікрохвильової потужності з мікрохвильовою частотою, що є резонансною з центральним переходом нітроксидної спінової мітки. Таке опромінення передає спінову поляризацію електронів протонам води за допомогою ефекту Оверхаузера. Ця динамічна ядерна поляризація Overhauser (DNP) дуже специфічна для води, оскільки це критично залежить від того, що сигнал ЯМР протона води є вузьким і від швидкої дифузії води. У біомолекулах водна доступність спінових етикеток висока на оголених водою поверхнях розчинних і мембранних білків і низькою всередині білків і на поверхнях, що піддаються впливу ліпідів. Для транспортерів доступність води може змінюватися в залежності від стану в транспортному процесі. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.7: Характеристика доступності кисню на віджиманому майданчику V229C в основному рослинному легкозбиральному комплексі LHCII шляхом прогресивного насичення потужністю CW. (а) Стрічкова модель LHCII із зеленим кольором з його каротиноїдними кофакторами (жовтий, фіолетовий) та просторовою моделлю залишку 229 (червоний, позначений стрілкою). Рожеві площини відповідають ліпідному шару головної групи тилакоїдної мембрани в хлоропластах. (б) Прогресивні криві насичення потужності за відсутності (синього кольору) і присутності (червоного кольору) кисню.

доступність кисню

З моменту зіткнення парамагнітного триплета кисню зі спіновими зондами посилює релаксацію (рис. $7.4)$, параметр насичення$S=\omega_{1}^{2} T_{1} T 2$ менший для кисневих етикеток, доступних для спина, ніж для спінових етикеток, недоступних кисню. Ця зміна може бути виявлена за допомогою прогресивних вимірювань насичення потужності CW (Розділ 7.2.2). Експеримент найзручніше проводити з капілярними трубками, виготовленими з газопроникного пластику TPX. Еталонне вимірювання проводиться в атмосфері азоту, що викликає дезоксигенацію зразка за часовою шкалою 15 хв. Потім потік газу змінюється на повітря (20% кисню) або чистий кисень і вимірювання повторюється. Такі дані наведені на рис. $10.7$для залишку 229 в основному рослинному легкому збиральному комплексі LHCII. Цей залишок піддається впливу ліпідів. Як неполярна молекула кисень добре розчиняється в області алкільного ланцюга ліпідного бішару. Відповідно, сигнал насичується на більшій потужності в повітряній атмосфері, ніж в атмосфері азоту. Доступність кисню можна кількісно визначити нормованим$P_{1 / 2}$ параметром (Розділ 7.2.2).

$10.1 .8$Локальні вимірювання рН

${ }^{14} \mathrm{~N}$Надтонке з'єднання нитроксидних спінових зондів стає$\mathrm{pH}$ чутливим, якщо гетероцикл, який містить$\mathrm{N}-\mathrm{O}^{\bullet}$ групу, також містить атом азоту, який може бути протонований в потрібному$\mathrm{pH}$ діапазоні. Це відноситься, наприклад, до імідазолідину нітроксиду 3 на рис. $10.1$, який має значення pK$\approx 4.7$ і демонструє зміну ізотропного${ }^{14}$ N надтонкого зв'язку$0.13 \mathrm{mT}$ між протонованою (1,43 мТ) та депротонованою$(1.56 \mathrm{mT})$ формою, яка може бути легко розчинена в рідині рішення. Модифікуючи зонд до етикетки, місцеве$\mathrm{pH}$ можна виміряти поблизу залишку інтересу до білка.

$10.2$Спінові пастки

Багато радикали дуже реактивні. Цей факт робить їх виявлення під час хімічних реакцій і в живих клітині дуже важливим, але це також робить їх концентрацію дуже низькою, оскільки часто реакція їх утворення відбувається повільніше, ніж реакції, що руйнують їх знову. Наприклад, концентрація гідроксильного радикала${ }^{\circ} \mathrm{OH}$, активної форми кисню (ROS) у живих клітині, занадто низька для виявлення ЕПР навіть в умовах, коли${ }^{\bullet} \mathrm{OH}$ призводить до пошкодження клітин або загибелі клітин. Ситуація дещо краща для супероксидного аніонного радикала$\mathrm{O}_{2}^{2-}$, але фізіологічно відповідні концентрації важко виявити і для цього виду. </figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Малюнок 10.8: Реакція часто використовуваних спінових пасток фенілбутилнітрону (PBN) і 5,5-диметил-1піроліну N-оксиду (DMPO) з нестабільними радикалами$\mathrm{R}^{\bullet}$. Надтонкі муфти${ }^{14} \mathrm{~N}$ і$\mathrm{H}^{\alpha}$ атома утвореного нітроксиду (червоного кольору), а також$g$ значення нітроксиду надають відбиткову інформацію про тип радикала$\mathrm{R}^{\bullet}$.

ROS та деякі інші високореактивні радикали, що представляють інтерес, найлегше виявляються за допомогою спінового трепінгу. Спінова пастка (рис. 10.8) являє собою діамагнітне з'єднання, яке грунтується з утворенням стійкого радикала шляхом реакції з нестійким радикалом. Найбільш часто використовуваними спіновими пастками є нітрони, які утворюють нітроксидні радикали шляхом додавання нестійкого радикала до$\mathrm{C}$ атома в$\alpha$ положенні нітронної групи. Утворені нитроксидні радикали не такі стабільні, як ті, що використовуються в якості спінових етикеток, головним чином тому, що вони містять атом водню в$\alpha$ положенні до$\mathrm{N}-\mathrm{O}$ групи. Їх термін служби зазвичай знаходиться на хвилинній шкалі часу, якої достатньо для виявлення. Надтонка зв'язок$\mathrm{H}^{\alpha}$ атома чутлива до типу первинного радикала$\mathrm{R}^{\bullet}$, тобто до природи іншого замінника у$C^{\alpha}$ атома. Крім того, ці нітрони менш стерично переповнені, ніж ті, які давали б більш стабільні нітроксиди, і, таким чином, нітрони є більш реактивними і легше затримують радикали$\mathrm{R}^{\bullet}$. Крім$\mathrm{H}^{\alpha}$ надтонкої зв'язку, надтонка зв'язок${ }^{14} \mathrm{~N}$ атома$\mathrm{N}-\mathrm{O}^{\bullet}$ групи чутлива до характеру$\mathrm{R}^{\bullet}$. База даних експериментальних результатів підтримує присвоєння$R^{\bullet}$ у складних випадках: https://tools.niehs.nih.gov//stdb/index.cfm ¹

\({ }^{1}\)Перегляньте «Підказки щодо використання бази даних Spin Trap» перед початком пошуку. Формат ключових слів потужний, але не дуже інтуїтивно зрозумілий.

Бібліографія

Книги

[CCM16] В.Чечик, Е.Картер, і Д.М. Мерфі. Електронно-парамагнітний резонанс. $1^{\text {st }}$Ред. Оксфорд: Преса Оксфордського університету, 2016 (цитується на сторінках 8, 26).

[KBE04] М.Каупп, М.Буль, і В.Г. Малкін (ред.) Розрахунок параметрів ЯМР та ЕПР: теорія та застосування. $1^{\text {st }}$Ред. Вайнгейм: Вілей-ВЧ,$2004($ цитується на сторінці 16).

[Rie07] Філіп Рігер. Електронний спіновий резонанс. Аналіз і інтерпретація. Королівське товариство хімії, 2007, P001-173. НОМЕР: 978-0-85404-355-2. КОД: 10.1039/9781847557872. Адреса: http://dx. doi .org/10.1039/9781847557872 (цитується на сторінці 37).

[WBW94] Дж. Вайль, Дж.Р. Болтон, і Дж. Е. Електронно-парамагнітний резонанс. $1^{\text {st }}$Ред. Нью-Йорк: Джон Вілі & Sons, Inc., 1994 (цитується на сторінці 8).

Статті

[Cas+60] Теодор Кастнер та ін. «Примітка про парамагнітний резонанс заліза в склі». В: Дж. Chem. Фіз. $32.3(1960)$, сторінки 668-673. Двері: http://dx. дої. орг/10. $1063 / 1.1730779$(цитується на стор$)$. 40.

[KM85] А.К. Кох і Дж. Міллер. «Надтонкі константи зв'язку та атомні параметри для даних електронного парамагнітного резонансу». В: Таблиці атомних даних та ядерних даних 33 (1985), сторінки 235-253 (цитується на сторінках 22,23).

[Леф67] Лефевр Р. «Псевдогіпертонкі взаємодії в радикалах». В: Молекулярна фізика$12.5$ (1967), сторінки 417-426. Дор:$10.1080 / 00268976700100541$ (цитується на стор. 22).

[Ste+00] Хайнц-Юрген Штайнгофф та ін. «Високопольові ЕПР-дослідження структури та конформаційних змін сайт-спрямованого спіна міченого бактеріородопсину». В: Біохім. Біофіси. $\operatorname{Acta}(B B A)$- Біоенергетика 1457 (2000), стор. 253-262. DOI: 10. 1016/S0005$2728(\theta \theta) 00106-7$ (цитується на сторінці 82).

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Індекс

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Девіс ЕНДОР

мертвий час$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots 49$

ОЛЕНЬ... 68

форм-фактор$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .71$

ДНП... 82

динамічна ядерна поляризація... 82

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Фермі контактна взаємодія$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .22$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

г значення

вільний електрон$\ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 9$

Ч

наближення високого поля$\ldots . \ldots .10,17$

наближення високого поля$\ldots \ldots \ldots . \ldots 10,17$

однорідна ширина лінії$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .54$

Правило Гунда... 37

Надтонка контрастна селективність$\ldots . \ldots . \ldots 61$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

Іони Крамерса... 37

Теорема Крамерса$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .37$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

$\mathrm{L}$крива$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots 73$

рівень енергій

перше замовлення$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$

лінійний режим$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .54$

М

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

глибина модуляції

ESEEM... 62 Молекулярна орбітальна

$\mathrm{~ s i n g l y ~ o c c u p i e d ~ . . . . . . . . . . . . . . .}$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

вибір орієнтації$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots 19$

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

ПЕЛДОР... 68

прогресивне насичення потужності... 55

</figcaption><figure>$1<figcaption>$2</figure>

квантове число

$\operatorname{good} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots . \ldots . \ldots . \ldots . \ldots$

магнітний$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots$

спина$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots$

$\mathbf{R}$

швидке сканування$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .53$

активні форми кисню$\ldots . \ldots \ldots . \ldots .84$

параметр регуляризації... 72

$\operatorname{ROS} \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots \ldots . \ldots \ldots$

S

крива насичення$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots .55$

правило вибору$\ldots . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots$

маркування віджиму, орієнтованого на сайт... 75

СОМО... 11

спіновий пакет$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . \ldots . \ldots 3$

спін-орбітальна муфта$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .15,37$

Т

Тихонова регуляризація$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .72$

двоімпульсний ESEEM$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .47$

$Z$

розщеплення нульового поля.