1.3: Науковий вимірний аналіз

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22927

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Результати навчання

Перетворення значень між одиницями.
Використовуйте розмірний аналіз для вирішення проблем.

Розмірний аналіз (також званий методом факторної мітки або одиничним аналізом) використовується для перетворення з одного набору одиниць в інший. Цей метод використовується як для простих (футів до дюймів), так і для складних (\(\text{g/cm}^3\)\(\text{kg}\)в/галон) перетворень і використовує відносини або коефіцієнти перетворення між різними наборами одиниць. Хоча терміни часто використовуються як взаємозамінні, коефіцієнти перетворення та відносини відрізняються. Коефіцієнти перетворення - це величини, рівні один одному, наприклад\(100 \: \text{cm} = 1 \: \text{m}\), в яких обидва значення описують довжину. Відносини між двома значеннями, які не обов'язково є мірою однієї і тієї ж величини. Наприклад, щільність води є\(1.00 \: \text{g/mL}\). Грами - це міра маси, тоді як мілілітри вимірюють об'єм, тому це вважається співвідношенням, а не коефіцієнтом перетворення. У будь-якому випадку, ми залежимо від одиниць, щоб допомогти налаштувати та вирішити розрахунок. Ми побачимо додаткові приклади взаємозв'язків, коли ми досліджуємо інші деталі про хімічну речовину.

Важливість використання правильних конверсій

У медичних професіях помилка розрахунку може буквально мати наслідки життя або смерті. Прочитайте коротку статтю, Med-Math Errors та студент медсестер на http://www.alysion.org/dimensional/matherrors.htm, щоб краще зрозуміти важливість одиниць та правильні розрахунки.

Коефіцієнти перетворення

Багато величини можуть бути виражені декількома різними способами. Англійська система вимірювання 4 чашки також дорівнює 2 пінтам, 1 кварт і\(\ce{1/4}\) галон. \(4 \: \text{cups} = 2 \: \text{pints} = 1 \: \text{quart} = 0.25 \: \text{gallon}\). Зверніть увагу, що числовий компонент кожної кількості відрізняється, тоді як фактична кількість матеріалу, який вона представляє, однакова. Це тому, що одиниці різні. Ми можемо встановити однаковий набір рівностей для метричної системи:\(1 \: \text{meter} = 10 \: \text{decimeters} = 100 \: \text{centimeters} = 1000 \: \text{millimeters}\). Використання метричною системою степенів 10 для всіх конверсій робить це досить простим. Ми можемо записати коефіцієнти перетворення між будь-якою парою еквівалентних величин. У кожному коефіцієнті перетворення чисельник і знаменник представляють однакові величини, тому всі вони є дійсними коефіцієнтами перетворення. Крім того, ці коефіцієнти перетворення можуть бути інвертовані або використані в поєднанні з іншими коефіцієнтами перетворення в задачі розмірного аналізу.

\[ \dfrac{\text{4 cups}}{\text{2 pints}} =\dfrac{\text{1 quart}}{\text{4 cups}} = \dfrac{\text{0.25 gallen}}{\text{1 quarter}}=1 \nonumber\]

\[ \dfrac{\text{1 meter}}{\text{10 decimeters}} =\dfrac{\text{100 centimeters}}{\text{1000 milimeters}} = \dfrac{\text{1000 milimeters}}{\text{1 meter}}=1 \nonumber\]

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Скільки сантиметрів в\(3.4 \: \text{m}\)?

Рішення

Ця проблема вимагає перетворення з однієї одиниці в іншу, щоб ми могли використовувати розмірний аналіз для вирішення проблеми. Нам потрібно визначити одиниці, які задані\(\left( \text{m} \right)\), одиниці для відповіді та будь-які відносини\(\left( \text{cm} \right)\), які пов'язують одиниці відомих і невідомих значень. В цьому випадку ми будемо використовувати відносини\(1 \: \text{m} = 100 \: \text{cm}\). Почніть з відомого значення і його одиниці.

\[3.4 \: \text{m} \times \dfrac{?}{?} \nonumber\]

Потім ми дивимося на одиниці нашого співвідношення, щоб побачити, яке значення йде в чисельнику, а яке значення йде в знаменник. Пам'ятайте, ми намагаємося знайти значення в сантиметрах. Оскільки наше відоме значення знаходиться в одиницях метрів, нам потрібно, щоб метри були в знаменнику, щоб воно скасувалося. В результаті сантиметри виявляться в чисельнику.

\[3.4 \: \text{m} \times \dfrac{100 \: \text{cm}}{1 \: \text{m}} \nonumber\]

Зверніть увагу, що цифри залишаються з відповідною одиницею (100 з сантиметрами і 1 з метрами). Тепер лічильники скасуються, і нам залишаться одиниці сантиметрів. Завжди перевіряйте, чи ваша проблема налаштована повністю і що ваші одиниці скасування належним чином, перш ніж робити фактичний розрахунок.

\[\begin{align*}3.4 \: \cancel{\text{m}} \times \dfrac{100 \: \text{cm}}{1 \: \cancel{\text{m}}} &= 340 \: \text{cm} \\[5pt] &= 3.4 \times 10^2 \: \text{cm} \end{align*}\]

Знаходимо відповідь бути\(340 \: \text{cm}\) або\(3.4 \times 10^2 \: \text{cm}\).

Похідні одиниці

Використання розмірного аналізу з похідними одиницями вимагає особливої обережності. Коли одиниці знаходяться в квадраті або кубі, як у випадку з площею або об'ємом, самі коефіцієнти перетворення також повинні бути квадратними або кубовими. Дві зручні об'ємні одиниці - це літр, який дорівнює кубічному дециметру, і мілілітри, що дорівнює кубічному сантиметру. Є, таким чином\(1 \: \text{dm}^3\),\(1000 \: \text{cm}^3\) в, що те ж саме, що сказати, що є\(1000 \: \text{mL}\) в\(1 \: \text{L}\). Коефіцієнт перетворення\(1 \: \text{cm}^3 = 1 \: \text{mL}\) є дуже корисним перетворенням.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Один сантиметр в кубі - це обсяг, зайнятий кубом з довжиною ребра\(1 \: \text{cm}\).

Є\(1000 \: \text{cm}^3\) в\(1 \: \text{dm}^3\). Так як a\(\text{cm}^3\) дорівнює a\(\text{mL}\), а а\(\text{dm}^3\) дорівнює a\(\text{L}\), можна сказати, що є\(1000 \: \text{mL}\) в\(1 \: \text{L}\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Перетворити\(3.6 \: \text{mm}^3\) на\(\text{mL}\).

Рішення

Визначте одиниці відомого значення\(\left( \text{mm}^3 \right)\) і одиниці невідомого значення\(\left( \text{mL} \right)\). Початкова і кінцева одиниці допоможуть керувати налаштуванням проблеми. Далі перерахуйте всі відомі коефіцієнти перетворення, які можуть бути корисними.

\(1 \: \text{m} = 1000 \: \text{mm}\)
\(1 \: \text{mL} = 1 \: \text{cm}^3\)
\(1 \: \text{m} = 100 \: \text{cm}\)

Тепер ми можемо налаштувати задачу, щоб знайти значення в одиницях\(\text{mL}\). Як тільки ми дізнаємося початкові одиниці, ми можемо використовувати коефіцієнти перетворення, щоб знайти відповідь.

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \dfrac{?}{?} \right) \nonumber\]

Продовжуйте використовувати коефіцієнти перетворення між одиницями, щоб налаштувати решту проблеми. Зверніть увагу, що всі одиниці скасовують\(\text{mL}\), крім тих, які є запитуваними одиницями для відповіді. Оскільки значення в цих коефіцієнтах перетворення є точними числами, вони не вплинуть на кількість значущих цифр у відповіді. Тільки початкове значення (3,6) буде враховуватися при визначенні значущих цифр.

\[3.6 \: \text{mm}^3 \times \left( \dfrac{1 \: \text{m}}{1000 \: \text{mm}} \right)^3 \times \left( \dfrac{?}{?} \right) \nonumber\]

Після того, як ви вирішили проблему, завжди запитуйте, чи здається відповідь розумною. Пам'ятайте, міліметр - це дуже мало, а кубічний міліметр теж дуже малий. Тому ми очікуємо невеликого обсягу, що означає\(0.0036 \: \text{mL}\) розумний.

Якщо ви виявили, що забули кубічні числа, а також одиниці виміру, ви можете встановити проблему в розгорнутому вигляді, що еквівалентно попередньому методу куба числових значень.