1.2: Значні цифри

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22928

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Результати навчання

Розрізняють точність і точність.
Поясніть поняття значущих цифр.
Доповідь відповідей на розрахунки з правильною кількістю значущих цифр.

У хімії ми дивимося на вимірювання, а не тільки цифри. Тому необхідно вміти підраховувати кількість значущих цифр і звітувати вимірювання з правильним рівнем точності. Повідомлене значення має бути максимально точним без додавання цифр до значення, яке неможливо виміряти.

Точність і точність

У повсякденному мовленні терміни точність і точність часто використовуються як взаємозамінні. Однак наукові значення у них зовсім інші. Точність - це міра того, наскільки близьке вимірювання до правильного або прийнятого значення вимірюваної величини. Точність - це міра того, наскільки близькі серії вимірювань один до одного. Точні вимірювання дуже відтворювані, навіть якщо вимірювання не близькі до правильного значення. Дартс, кинутий на дартс, корисні для ілюстрації точності та точності (див. Малюнок нижче).

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Розподіл дротиків на дартс для відображення точності та точності.

Припустімо, що три дротики кидаються на дартс, причому бичаче око представляє справжнє або прийняте значення того, що вимірюється. Дротик, який потрапляє в яблучко, є високоточним, тоді як дротик, який приземляється далеко від бичачого ока, демонструє погану точність. На фото вище наведено чотири можливі результати.

(A) Дартс приземлився далеко один від одного і далеко від бичачого ока. Це угруповання демонструє вимірювання, які не є ні точними, ні точними.

(Б) Дартс знаходяться близько один до одного, але далеко від яблучка. Це угруповання демонструє точні, але не точні вимірювання. У лабораторній ситуації висока точність з низькою точністю часто виникає в результаті систематичної помилки. Або вимірювач робить одну і ту ж помилку неодноразово, або вимірювальний інструмент якимось чином недосконалий. Погано відкалібрований баланс може кожен раз давати однакові показники маси, але це буде далеко від справжньої маси об'єкта.

(C) Дартс не групуються дуже близько один до одного, але вони, як правило, зосереджені навколо яблучка. Це демонструє погану точність, але досить високу точність. Така ситуація не бажана, оскільки в лабораторній ситуації ми не знаємо, де насправді знаходиться «яблучко». Продовжуючи цю аналогію, проводяться вимірювання для того, щоб знайти яблучко. Якби ми могли бачити лише місця розташування дротиків, а не бичаче око, великий розкид ускладнив би бути впевненим у тому, де знаходиться точний центр, навіть якби ми знали, що дротики були кинуті точно (що відповідало б наявності обладнання, яке калібрується та працює правильно).

(D) Дартс згруповані разом і потрапили в яблучко. Це демонструє високу точність і високу точність. Вчені завжди прагнуть максимізувати обидва в своїх вимірах. Повертаючись до нашої лабораторної ситуації, де ми можемо побачити дротики, але не яблучко, ми маємо набагато вужчий діапазон можливостей для точного центру, ніж у менш точній ситуації, зображеній у частині С.

Значні цифри в вимірах

Якась похибка або невизначеність завжди існує в будь-якому вимірі. Величина невизначеності залежить як від майстерності вимірювача, так і від якості вимірювального інструменту. У той час як деякі баланси здатні вимірювати маси тільки до найближчого\(0.1 \: \text{g}\), інші високочутливі баланси здатні вимірювати до найближчого\(0.001 \: \text{g}\) або навіть краще. Багато вимірювальних інструментів, таких як лінійки та градуйовані циліндри, мають невеликі лінії, які потрібно уважно прочитати, щоб зробити вимірювання. На малюнку нижче знаходиться об'єкт (позначений синьою стрілкою), довжина якого вимірюється двома різними лінійками.

З будь-якою лінійкою зрозуміло, що довжина предмета становить від 2 до 3 сантиметрів. Нижня лінійка не містить міліметрових позначок, тому цифру десятих можна оцінити лише, а довжину може повідомити один спостерігач як\(2.5 \: \text{cm}\). Однак інша людина може судити про те, що вимірювання є\(2.4 \: \text{cm}\) чи можливо\(2.6 \: \text{cm}\). У той час як 2 відомо напевно, значення десятих цифр є невизначеним.

Верхня лінійка містить позначки на десяті частки сантиметра (міліметри). Тепер можна виміряти той самий об'єкт, що і\(2.55 \: \text{cm}\). Вимірювач здатний оцінити цифру сотих, оскільки він може бути впевнений, що цифра десятих - це 5.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Вимірювання можуть бути більш-менш точними в залежності від маркування на лінійці.

Знову ж таки, інший вимірювач може повідомити довжину бути\(2.54 \: \text{cm}\) або\(2.66 \: \text{cm}\). У цьому випадку є дві певні цифри (2 і 5), при цьому цифра сотих є невизначеною. Зрозуміло, що верхня лінійка - це чудова лінійка для вимірювання довжини якомога точніше.

Значущі цифри у вимірюванні складаються з усіх певних цифр у цьому вимірюванні плюс одна невизначена (розрахункова) цифра. У правильно повідомленому вимірюванні кінцева цифра є значною, але не певною. Незначні цифри не повідомляються.

Правила визначення значущих цифр

1. Всі ненульові цифри є значущими.

237 має три значущі цифри
1.897 має чотири значущі цифри

2. Нулі між значними цифрами значні.

39004 має п'ять значущих цифр
2.03 має три значущі цифри

3. Нулі, які з'являються ліворуч від усіх ненульових цифр, називаються заповнювачами нулів і не є значними.

0.008 має одну значну цифру
0.0000416 має три значущі цифри

4. Нулі, які з'являються після останньої ненульової цифри, можуть бути значними.

а Якщо число більше 1, а за нулем (ами) не слідує десяткова крапка, то кількість значущих цифр неоднозначна.

140 неоднозначний

б. якщо за нулем слідує десяткова крапка, то нуль є значущим.

140. має три значущі цифри (зверніть увагу на десяткову крапку після нуля)

с. якщо нуль стоїть після десяткової крапки, то нуль є значущим.

141.0 має чотири значущі цифри

Потрібно підкреслити, що тільки тому, що певна цифра не є значною, не означає, що вона не важлива або що її можна залишити осторонь. Хоча нуль при вимірюванні 140 може не бути значним, значення не може бути просто повідомлено як 14. Незначний нуль функціонує як заповнювач для десяткової крапки. Коли числа записуються в науковому позначенні, це стає більш очевидним. Вимірювання 140 можна записати як\(1.4 \times 10^2\), з двома значними цифрами в коефіцієнті або як\(1.40 \times 10^3\), з трьома значущими цифрами. Число менше одиниці, наприклад 0.000416, може бути записано в науковому позначенні як\(4.16 \times 10^{-4}\), що має 3 значущі цифри. У деяких випадках наукові позначення є єдиним способом правильно вказати правильну кількість значущих цифр. Для того, щоб повідомити про значення 15,000,00 з чотирма значними цифрами, його потрібно було б написати як\(1.500 \times 10^7\).

Точні величини

Коли цифри точно відомі, правила значущої цифри не застосовуються. Це відбувається, коли об'єкти підраховуються, а не вимірюються. Наприклад, в коробці яєць є 12 яєць. Фактичне значення не може бути 11,8 яєць, так як ми підраховуємо яйцеклітини в цілих кількостях. Таким чином, 12 - це точна кількість. Вважається, що точні величини мають нескінченну кількість значущих цифр; важливість цього поняття буде видно пізніше, коли ми почнемо дивитися на те, наскільки значні цифри розглядаються під час розрахунків. Числа у багатьох коефіцієнтах перетворення, особливо для простих одиничних перетворень, також є точними величинами і мають нескінченні значні цифри. У 1 метрі рівно 100 сантиметрів і рівно 60 секунд за 1 хвилину. Ці значення є визначеннями і не є результатом вимірювання.

Розрахунки

Додавання та віднімання значущих цифр

Сума або різниця визначається найменшою кількістю цифр праворуч від десяткової крапки в будь-якому з вихідних чисел.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Який результат,\(89.332 + 1.1\) коли відповіли на правильну кількість значущих цифр?

Рішення

Математичний результат є\(89.332 + 1.1 = 90.432\). Однак нам потрібно округлити відповідь до правильної кількості значущих цифр. Для додавання і віднімання відповідь повинна мати таку ж кількість десяткових розрядів, що і початкове значення з найменшою кількістю десяткових знаків. Оскільки 1.1 має лише одну цифру після коми, відповідь буде округлена до одного знака після коми. Перша цифра, яку потрібно скинути, менше п'яти, тому ми округляємо вниз.

Правильна відповідь - 90,4.

Множення та ділення значущих цифр

Кількість значущих цифр в кінцевому продукті або частці дорівнює кількості значущих цифр у вихідному значенні, що має найменші значні цифри.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Яке добуток 2,8 і 4.5039 повідомляється на правильну кількість значущих цифр?

Рішення

Спочатку знаходимо математичну відповідь на обчислення, який є\(2.8 \times 4.5039 = 12.61092\). Далі нам потрібно округлити відповідь до правильної кількості значущих цифр. Для множення і ділення відповідь слід округлити до того, щоб він мав таку ж кількість значущих цифр, що і початкове значення з найменшою кількістю значущих цифр. Значення 2.8 має дві значні цифри, тоді як 4.5039 має п'ять. Тому відповідь повинна мати дві значні цифри, тому ми повинні округлити відповідь до 13, оскільки перша цифра, яку потрібно скинути, більша за 5, тому нам потрібно округлити вгору.

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Мішечок шоколадних цукерок має масу 8,25 унції. Цукерки повинні були бути розділені між 4 людьми. Скільки унцій повинна отримати кожна людина? Повідомте свою відповідь на правильну кількість значущих цифр.

Рішення

Для початку знайдемо математичну відповідь на цей розрахунок:\(8.25 \div 4 = 2.0625\). Тепер нам потрібно округлити до правильної кількості значущих цифр, щоб ми озирнулися на початкові значення. У 8.25 є три значущі цифри, але 4 - точне число, тому воно не враховується при визначенні кількості значущих цифр у відповіді. Тому відповідь слід округлити до трьох значущих цифр або 2,06 унції.

Додаткові ресурси