Десяткові числа: округлення та наукові позначення

Last updated
Save as PDF

Page ID: 97297

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Результати навчання

Зрозумійте, що означає мати число, округлене до певної кількості десяткових знаків.
Округлити число до фіксованої кількості цифр.
Перетворення з наукового позначення в десяткове і назад.

У цьому розділі ми розглянемо, як округлити десяткові числа до найближчого цілого числа, найближчого десятого, найближчого сотого і т.д. в більшості додатків статистики, з якими ви зіткнетеся, цифри вийдуть не рівномірно, і вам потрібно буде округлити десяткове. Також ми розглянемо, як читати наукові позначення. Дуже поширена помилка, яку роблять студенти статистики, - це не помічати, що калькулятор дає відповідь у наукових позначеннях.

Наприклад, припустимо, що ви використовували калькулятор, щоб знайти ймовірність того, що випадково обраний день липня матиме високу температуру понад 90 градусів. Ваш калькулятор дає відповідь: 0.4987230156. Це занадто багато цифр для практичного використання, тому має сенс округлити до декількох цифр. До кінця цього розділу ви зможете виконати округлення, необхідне для того, щоб зробити некеровані числа керованими.

Короткий огляд десяткової мови

Розглянемо десяткове число: 62.5739. Існує певний спосіб позначення кожної з цифр.

Цифра 6 знаходиться в «Десятковому місці»
Цифра 2 знаходиться в «Єдине місце»
Цифра 5 знаходиться в «Десятому місці»
Цифра 7 знаходиться в «Сотих місцях»
Цифра 3 знаходиться в «Тисячному місці»
Цифра 9 знаходиться в «Десятитисячному місці»
Ми також говоримо, що 62 - це частина «Цілого числа».

Значення місця 62.5739: Десятки, Они, Десяті, Соті, Тисячні, Десять тисячних

Зберігання цього прикладу допоможе вам, коли вас попросять округлити до певного значення місця.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Повідомляється, що середня кількість класів, які студенти коледжу приймають кожен семестр, становить 3.2541. Тоді цифра в сотих місцях дорівнює 5.

Правила округлення

Тепер, коли ми розглянули значення місць чисел, ми готові перейти до процесу округлення до зазначеного значення місця. Коли вас попросять округлити до зазначеного значення місця, відповідь зітре всі цифри після зазначеної цифри. Процес боротьби з іншими цифрами найкраще показати прикладами.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Case 1 - The Test Digit is Less Than 5

Округлення 3,741 до найближчої десятої.

Рішення

3.741 7 - десяті, 4 - контрольна цифра

Так як тестова цифра (4) менше 5, просто стираємо все праворуч від десятої цифри, 7. Відповідь: 3.7.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Case 2 - The Test Digit is 5 or Greater

Округлення 8,53792 до найближчої сотої.

Рішення

0,014952. 9 - положення округлення і 5 - контрольна цифра.

Так як тестова цифра (6) дорівнює 5 і більше, додаємо одну цифру сотих і стираємо все праворуч від цифри сотих, 3. Таким чином, 3 стає 4. Відповідь: 8.54.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Case 3 - The Test Digit is 5 or Greater and the rounding position digit is a 9

Округлення від 0.014952 до чотирьох знаків після коми.

Рішення

Тестова цифра дорівнює 5, тому ми повинні округлити в більшу сторону. Позиція округлення дорівнює 9, а додавання 1 дає 10, що не є однозначним числом. Замість цього подивіться на дві цифри зліва від тестової цифри: 49. Якщо додати 1 до 49, то отримаємо 50. Таким чином, відповідь становить 0,0150.

Додатки

Округлення використовується в більшості областей статистики, оскільки калькулятор або комп'ютер видаватимуть числові відповіді з набагато більшою кількістю цифр, ніж корисно. Якщо вам не сказали, скільки знаків після коми округлити, то вам часто хочеться подумати про найменшу кількість десяткових знаків, щоб зберегти так, щоб не втрачалася важлива інформація. Наприклад, припустимо, ви провели вибірку, щоб знайти частку студентів коледжу, які отримують фінансову допомогу, а калькулятор представлений 0.568429314. Ви можете перетворити це на відсоток на 56.8429314%. Немає додатків, де зберігати таку кількість знаків після коми корисно. Якщо, наприклад, ви хотіли представити цю знахідку студентському самоврядуванню, ви можете округлити до найближчого цілого числа. У цьому випадку цифра одиниці дорівнює 6, а тестова цифра - 8. Починаючи з 8 > 5, ви додаєте 1 до одиниць цифри. Ви можете сказати студентському самоврядуванню, що 57% всіх студентів коледжу отримують фінансову допомогу.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Припустимо, що ви з'ясували, що ймовірність того, що випадково обраний людина, з яким неправильно використовували рецептурні опіоїди, перейде на героїн, становить 0.04998713. Округлити це число до чотирьох знаків після коми.

Рішення

Перші чотири знака після коми - 0,0499, а тестова цифра - 8. Починаючи з 8 > 5, ми хотіли б додати 1 до четвертої цифри. Так як це 9, ми переходимо до наступної цифри зліва. Це також 9, тому ми йдемо до наступного, який є 4. Ми можемо подумати про додавання 0499 + 1 = 0500. Таким чином, відповідь становить 0,0500. Зверніть увагу, що ми зберігаємо останні два 0 після 5, щоб підкреслити, що це точно до четвертого знака після коми.

Округлення та арифметика

Багато разів ми повинні робити арифметику на числа з декількома знаками після коми і хочете, щоб відповідь округлялася до меншої кількості десяткових знаків. Одне питання, яке ви могли б задати, це слід округлити, перш ніж виконувати арифметику або після. Для найбільш точного результату слід завжди округлити після того, як ви виконуєте арифметику, якщо це можливо.

Коли вас попросять зробити арифметику і представити вам відповідь округлена до фіксованого числа знаків після коми, тільки округлити після виконання арифметики.

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Припустимо, ви вибираєте три карти з 52 карткової колоди з заміною і хочете знайти ймовірність події, A, що жодна з трьох карт не буде від 2 до 7 сердець. Така ймовірність:

\[P\left(A\right)=\left(0.8846\right)^3 \nonumber\]

Округляйте відповідь до 2 знаків після коми.

Рішення

Зверніть увагу, що ми повинні спочатку виконати арифметику. За допомогою комп'ютера або калькулятора отримуємо:

\[0.8846^3=\text{0.69221467973} \nonumber\]

Тепер округляємо до двох знаків після коми. Зверніть увагу, що цифра сотих дорівнює 9, а тестова цифра - 2. Таким чином 9 залишається незмінним і все праворуч від 9 йде. результат

\[P\left(A\right)\approx0.69 \nonumber\]

Якщо ми помилково округлимо 0.8846 до двох знаків після коми (0.88), а потім кубічно відповідь ми отримали б 0.68, що не є правильною відповіддю.

Наукові позначення

Коли калькулятор представляє число в наукових позначеннях, ми повинні звернути увагу на те, що це означає. Стандартним способом написання числа в науковому позначенні є написання числа у вигляді добутку числа, більшого або рівного 1, але менше 10 з подальшим ступенем 10. Наприклад:

\[ 602,000,000,000,000,000,000,000 = 6.02 \times 10^{23} \nonumber\]

Основна мета наукового позначення - дозволити нам писати дуже великі числа або числа, дуже близькі до 0, без необхідності використовувати стільки цифр. Більшість калькуляторів та комп'ютерів використовують різні позначення для наукових позначень, швидше за все, тому, що верхній індекс важко візуалізувати на екрані. Наприклад, за допомогою калькулятора:

\[0.00000032 = 3.2E-7 \nonumber\]

Зверніть увагу, що для того, щоб прийти в 3.2, десяткове число потрібно було перемістити на 7 місць вправо.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Калькулятор відображає:

\[2.0541E6 \nonumber\]

Запишіть це число в десятковій формі.

Рішення

Зверніть увагу, що число, наступне за E, є 6. Це означає, що перемістити десяткову кому на 6 знаків вправо. Перші 4 ходи є природними, але для останніх 2 ходів немає чисел для переміщення десяткового знака повз. Ми завжди можемо додати зайві нулі після останнього числа праворуч від десяткового знака:

\[2.0541E6 = 2.054100E6 \nonumber\]

Тепер ми можемо перемістити десятковий розряд вправо 6 знаків, щоб отримати

\[2.0541E6 = 2.054100E6 = 2,054,100 \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Якщо ви скористаєтеся калькулятором або комп'ютером, щоб знайти ймовірність перевернути монету 27 разів і отримати всі голови, то на ній будуть відображені:

\[ 7.45E−9 \nonumber\]

Запишіть це число в десятковій формі.

Рішення

Багато студентів забудуть шукати «Е» і просто пишуть, що ймовірність 7,45, але ймовірності ніколи не можуть бути більше 1. Ви не можете мати 745% шансів на це. Зверніть увагу, що число, що слідує за E, дорівнює −9. Так як сила негативна, це означає перемістити десяткове число вліво, а зокрема на 9 знаків вліво. Зліва від десяткового знака знаходиться всього одна цифра, тому нам потрібно вставити 8 нулів:

\[ 7.45E−9 = 000000007.45E−9 \nonumber\]

Тепер ми можемо перемістити десятковий розряд вправо 9 знаків вліво, щоб отримати

\[ 7.45E−9 = 000000007.45E−9 = 0.00000000745 \nonumber\]