Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

6.2.3: Швидкість падіння

2021-10-27 8.49.36.png
Малюнок 6.1: Сили на «сфері» у прозорій воді.

Коли частинка потрапляє в тиху і чисту воду, вона прискорюється, поки не досягне постійної вертикальної швидкості, яка називається швидкістю падіння або швидкістю осідання. Цю швидкість можна оцінити за балансом між спрямованою вниз силою тяжінняFG (мінус ефект плавучості) і спрямованою вгору (уповільнює) силою опору,FD як зазначено на рис. 6.1.

Основне рівняння

Спрямована вниз сила тяжінняFG на сферу в поєднанні з ефектом висхідної плавучості задається так званим підводним вагою сфери, тобто вагою сфери за вирахуванням ваги зміщеного об'єму води. При вазі, рівній масі раз прискорення за рахунок сили тяжіння, ми маємо для ідеальної сфери:

FG=(ρsρ)g(π6D3)

де:

ρs масова щільність частинки kg/m3
ρ масова щільність навколишньої рідини kg/m3
D діаметр частинок m
g прискорення гравітації m/s2

У цьому рівнянні термін між дужками - це обсяг сфери.

Спрямована вгору сила дорівнює так званій силі перетягування, що позначається:

FD=12CDρw2s(π4D2)

де:

CD коефіцієнт опору  
ws швидкість падіння частинок m/s

Другий термін між дужками відноситься до перетину сфери. Сила перетягування не дорівнює нулю, тільки якщоws>0.

У рівновазі обидві сили знаходяться в рівновазі, а швидкість падінняwsm/s) задається:

ws=4(s1)gD3CD

вs якому відносна щільність (див. 6.2.2).

Швидкість падіння частинки залежить від її розміру, щільності та величини коефіцієнта опоруCD. Цей коефіцієнт опору залежить від форми частинки, її шорсткості, але в основному від числа Рейнольдса зерна:

Re=wsD/v

де

v кінематичний коефіцієнт в'язкості m2/s

Кінематична в'язкість визначається як динамічна в'язкість, поділена на щільність води:v=μ/ρ. Характерне значення дляv є106 m2/s. Динамічна в'язкість представляє внутрішній опір рідини потоку («товщина») і є функцією температури і в меншій мірі щільності.

Залежність від числа Рейнольдса

2021-10-27 пнг
Малюнок 6.2: Коефіцієнт опору як функція числа Рейнольдса (Vanoni, 1975).

Для низькозернистих чисел Рейнольдса (Re<0.1до 0,5) в так званому діапазоні Стокса коефіцієнт опору можна описати (див. Рис. 6.2):

CD=24/Re

врожайність:

ws=(s1)gD218v

У цьому діапазоні швидкість падіння залежить від квадрата діаметра зерна, відносної щільності і кінематичного коефіцієнта в'язкості.

Для високозернистих чисел Рейнольдса (400<Re<2×105), в так званому діапазоні Ньютона, коефіцієнт опору стає постійним (CD0.5). У такому випадку це випливає з Eq. ???:

ws=1.6gD(s1)

У цьому діапазоні швидкість падіння залежить від квадратного кореня діаметра зерна і відносної щільності і не залежить від кінематичного коефіцієнта в'язкості. Це також стосується надзвичайно високих чисел Рейнольдса (Re>2×105), де коефіцієнт опору (постійний) близько 0,2.

Для кварцових сфер, що падають у негазованій воді, число Рейнольдса 0,5 приблизно відповідає діаметру частинок 0,08 мм, тоді як число Рейнольдса 400 відповідає діаметру близько 1,9 мм. Оскільки більшість пляжних відкладень падають в діапазоні від 0,08 мм до 1,9 мм, в більшості практичних випадків ні наближення Стокса, ні наближення Ньютона не можуть бути використані.

2021-10-28 пнг
Малюнок 6.3: Швидкість падіння осаду в залежності від розміру зерна в прісній воді з температурою18 (ρw=1000 kg/m3,ρs=2650 kg/m3іv=1.05×106 m2/s). Порівняння між Ван Рейн (1984b) та Аренсом (2000).

Для дуже дрібних частинок (мулу, глини) швидкість падіння пропорційнаD2; для частинок гравію розмір пропорційна швидкості падінняD. Для піску швидкість падіння падає в перехідному діапазоні міжD2 залежністю таD залежністю. Через відсутність простого співвідношення коефіцієнта опору в цьому діапазоні прийнято використовувати емпіричні формули для швидкості падіння. У літературі можна знайти багато формул (наприклад, Ван Рейн (1984b) та Аренс (2000)). Як приклад, на рис. 6.3, для двох формул побудована швидкість падіння в залежності від діаметра зерен.

Утруднене заселення

У сумішах з високою концентрацією швидкість падіння однієї частинки знижується за рахунок присутності інших частинок. Це можна пояснити наступним чином: при кожному русі зерен вниз аналогічний обсяг рідини повинен витікати вгору; цей висхідний потік уповільнює інші зерна. Для того, щоб врахувати цей утруднений ефект осідання, швидкість падіння в суміші рідина-осад повинна визначатися як функція концентрації осадуc та швидкості падіння частинокws. Часто використовувана рецептура для ефективної швидкості падіння в суміші є:

we=(1c)αws

де:

we ефективна швидкість падіння m/s
ws швидкість падіння одного зерна в прозорій воді в спокої m/s
c концентрація осаду (об'ємний%, об'єм частинок твердого осаду в об'ємі водно-осадової суміші) -
α коефіцієнт (від 4.6 при низьких числах Рейнольдса до 2.3 при високих числах Рейнольдса) -

У багатьох інженерних випадках, пов'язаних з транспортуванням осаду, концентрація осаду може становити приблизно до 1% (2.65 kg/m3), що означає, що вплив концентрації осаду на швидкість падіння невеликий. Це не так в умовах потоку аркушів (див. 6.4.2) і в дуже мулистих середовищах, де концентрації осаду можуть бути значно вищими.