10.1: Математика

Хоча вивчення геммології не вимагає формальної попередньої підготовки, диплом середньої школи полегшить розуміння основної математики. Знання тригонометрії особливо може служити вам добре.

Нижче наведені деякі основні розрахунки, які ви, можливо, захочете зрозуміти.

перехресне множення

Деякі люди мають проблеми з перехресним множенням, тоді як це досить легко, якщо ви тримаєте на увазі просте рівняння.

\[5 = \frac{10}{2}\]

який такий же, як і\[\frac{5}{1} = \frac{10}{2}\] тому, що 5 ділиться на 1 = 5.

Припустимо, ви хочете, щоб привести 10 ліворуч від рівняння. Очевидно 10 = 5 разів 2, тому ви перехресно множите.

\[\frac{5}{1}\swarrow \frac{10}{2}\]множимо 10 на 1, щоб отримати його в ліву сторону і:

\[\frac{5}{1}\searrow \frac{10}{2}\]множимо 5 на 2, так отримуємо:\(10 * 1 = 5 * 2\) або\(10 = 5 * 2\)

Це, ймовірно, матиме більше сенсу в наступному рівнянні:

\[\frac{6}{3}=\frac{4}{2}\]

Якби ви перехресно множили, ви б отримали\(4*3 = 12\) і\(6*2 = 12\), так\(12 = 12\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

Ми можемо зробити це простіше за допомогою простої схеми. На малюнку\(\PageIndex{1}\) ви бачите трикутник з рівнянням\(10 = 5 * 2\) (символ "\(*\)" залишений поза межами). Подвійні горизонтальні смуги служать знаком\(=\) "" АБО як знак\(/\) "" (поділ).
Маючи на увазі цю просту діаграму, ви можете вирішити найпростіші перехресні множення.

Як читати трикутник:

• Ви починаєте з одного числа, а потім переходите до наступного, а потім до 3-го
• Ви працюєте спочатку вгору, а потім вниз

Приклади:

• Скажімо, ви починаєте з 2
• Потім ви піднімаєтеся вгору і бачите знак\(=\) "". Тепер у вас є "\(2=\)»
• Потім ви рухаєтеся далі, ви зустрічаєте 10, так що у вас є "\(2=10\)»
• Ви не можете йти далі вгору, тому ви повинні спуститися вниз. Ви знову зустрічаєте подвійні лінії, але вони не можуть бути\(=\) секундами, тому вони служать поділом. Тепер у вас є "\(2=10/\)»
• Ви спускаєтеся далі і бачите 5, що робить "\(2=10/5\)»

Він працює так само, коли ви починаєте з 5.

Тепер почнемо з 10:

• Ви починаєте з 10, так що "\(10\)»
• Ви не можете йти далі вгору, тому ви повинні спуститися вниз. Ви стикаєтеся з подвійними лініями. Оскільки вони вперше їх бачите, вони є "\(=\)«, тепер у вас є"\(10=\)»
• Тоді ви зустрічаєте 5 (або 2 залежно від того, якщо ви йдете за годинниковою стрілкою або проти годинникової стрілки), роблячи "\(10=5\)»
• Ви не можете йти далі вниз, тому повинні йти боком. Ви бачите 2, що робить дивний вигляд "\(10=52\)». Це насправді хороший математичний стиль, але це заплутано, тому нам потрібно розмістити "\(*\)" між ними. Результатом є "\(10=5x2\)«, про який погодиться будь-який підготовчий школяр.

Це, звичайно, не дуже весело, тому що всі відповіді даються. Але це просте знання є базовим, коли ви хочете вирішити таке рівняння, як:

\[2.417 = \frac{300}{x}\]

Просто замініть\(10=5*2\) "" цифрами та невідомим "\(x\)" новим рівнянням у трикутнику. (Підказка:\(x\) "" займає місце "\(2\)«)

Спробуйте і подивіться, чи зможете ви обчислити швидкість світла всередині алмазу за допомогою вищевказаного рівняння (300 - це скорочення на 300 000 км/с, що є швидкістю світла у вакуумі).

Якщо все інше не вдається, майте на\(5 = \frac{10}{2}\) увазі і підставляйте числа для невідомих у рівняння, яке потрібно вирішити.

Синус, косинус і тангенс

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Для обчислення кутів використовуються синус, косинус і тангенс.

На малюнку\(\PageIndex{2}\) 3 сторони прямокутного трикутника (видно з кута А) позначені суміжною стороною, протилежною стороною та гіпотенузою. Гіпотенуза - це завжди похила (і найдовша) сторона в прямокутному трикутнику.

Протилежна і суміжна сторони відносно кута А. Якщо A буде знаходитися в іншому гострому куті, вони будуть зворотними.

Синус

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Синус зазвичай скорочено позначається як гріх.

Можна обчислити синус кута в прямокутному трикутнику, розділивши протилежну сторону на гіпотенузу. Для цього потрібно знати два значення:

1. значення протилежної сторони

2. значення гіпотенузи.

На малюнку\(\PageIndex{3}\) ці значення 3 і 5, синус A або краще гріх (A) дорівнює 3/5 = 0,6

\[\sin = \frac{opposite\ side}{hypotenuse} = \frac{3}{5} = 0.6\]

Тепер, коли у вас є синус кута A, ви хотіли б знати кут цього кута.
Кут кута А є «зворотним синусом» (позначається як sin ^-1 або arcsin) синуса і проводиться комплексним розрахунком. На щастя, у нас є електронні калькулятори, щоб зробити брудну роботу за нас:

• введіть 0.6
• натиснути кнопку «INV»
• натискаємо кнопку «гріх»

Це повинно дати вам приблизно 36,87, тому кут кута А становить 36,87°

\[\arcsin \left(\sin A\right) = \arcsin \left(0.6\right) = 36.87\]

Коли ви знаєте кут кут, скажімо, 30°, ви можете обчислити синус наступним чином:

• введіть 30
• прес гріх

Це повинно дати вам 0,5

практичне застосування

Якщо ви знаєте кути падіння та заломлення дорогоцінного каменю, ви можете обчислити показник заломлення цього дорогоцінного каменю. Або робити інші цікаві речі, такі як:

\[index\ of\ refraction = \frac{sin\ i}{sin\ r}\]

Алмаз має показник заломлення 2.417, тому якщо кут падіння становить 30°, кут заломлення можна обчислити як:

\[\sin r = \frac{\sin i}{n} = \frac{\sin 30}{2.417} = \frac{0.5}{2.417} = 0.207\]

Отже, використовуючи зворотний синус:

\[\arcsin \left(\sin r \right) = \arcsin \left(0.207 \right) = 11.947 \Rightarrow angle\ of\ refraction = 11.947^\circ\]

Це ще не все ракетобудування. Прочитайте сторінку про заломлення, якщо ви не знаєте, що мається на увазі під кутом падіння і кутом заломлення.

Розрахунок критичного кута

Обчислити критичний кут дорогоцінного каменю досить легко, хоча формула може вас налякати.

\[critical\ angle = \arcsin\left(\frac{1}{n}\right)\]

Де n - показник заломлення дорогоцінного каменю.

Фактична формула є\(\arcsin(n_2 / n_1)\), але, як ми геммологи, як правило, стурбовані лише критичним кутом між повітрям і дорогоцінним каменем, n2 = 1.

Розрахунок цієї формули простий, в якості прикладу ми будемо використовувати кварц з n = 1,54.
Коли ви використовуєте калькулятор вікон, переконайтеся, що ви перебуваєте в науковому режимі. Потім натискаємо наступні кнопки:

• 1
• /
• 1.54
• =

Потім встановіть прапорець «inv» і натисніть кнопку «грішити». Це повинно дати вам приблизне значення 40,493, тому критичний кут для кварцу дорівнює 40,5° (округлений до однієї десяткової).

косинус

Косинус кута в прямокутному трикутнику аналогічний синусу, все ж тепер розрахунок проводиться з діленням сусідньої сторони на гіпотенузу. Косинус скорочено позначається як «cos»

На малюнку\(\PageIndex{3}\), що б 4 розділити на 5 = 0,8

\[\cos = \frac{adjacent\ side}{hypotenuse} = \frac{4}{5} = 0.8\]

Знову ж таки, як і у випадку з синусом, зворотним косинусом є arccos або cos ^-1:

• введіть 0.8
• прес INV
• прес cos

Це також повинно дати вам 36,87, тому кут залишається 36,87° (як очікувалося).

\[\arccos \left(\cos A\right) = \arccos \left(0.8\right) = 36.87\]

Тангенс

3-й спосіб обчислення кута - через дотичну (або скорочений до «загар»). Тангенс кута - протилежна сторона, розділена суміжною стороною.

\[\tan = \frac{opposite\ side}{adjacent\ side}\]

Для малюнка\(\PageIndex{3}\), що буде 3/4 = 0.75
Розрахунок кута, як зазначено вище, але використовуючи арктан або тан ^-1:

• введіть 0.75
• прес INV
• прес загар

Це повинно дати вам 36,87, тому за допомогою цього методу розрахунку кут кута А знову дорівнює 36,87°.

\[\arctan \left(\tan A\right) = \arctan \left(0.75\right) = 36.87\]

Простим мостом, щоб запам'ятати, які сторони вам потрібні в розрахунках, є міст SOH-CAH-TOA.

• SOH = Синус-протилежні-гіпотенузи
• CAH = Косинус-суміжні-гіпотенуза
• TOA = Дотична протилежній-сусідніх

Градуси, хвилини і секунди

Коли ми думаємо про градуси, ми зазвичай пов'язуємо це з температурою і розглядаємо хвилини та секунди як атрибути часу. Однак в тригонометрії вони використовуються для опису кутів кола, і ми називаємо їх радіановими значеннями.

Повне коло має 360 градусів, або 360°.
Кожен ступінь можна розділити на 60 хвилин (як у годиннику) замість 10 десяткових підрозділів.
Хвилини позначаються знаком ', як у 26'.
Окремі хвилини далі діляться на 60 секунд, і вони описуються з «, як у 23".

Спочатку це може виглядати дивно, але це не дуже важко зрозуміти.

Якщо у вас кут 24°26'23" (24 градуси, 26 хвилин і 23 секунди), це означає, що десяткове значення:

• 24°
• 26 розділений на 60 або 26/60 = 0,433°
• 23/ (60* 60) або 23/3600 = 0,0063°

Це становить 24 + 0,433 + 0,0063 = 24.439° в десятковому значенні (що є десятковим значенням критичного кута алмазу).

Якщо ви хочете обчислити значення радіана 24,439°, виконайте наступне:

• 24 залишається 24 (тому що це не змінюється)
• ви намагаєтеся знайти скільки разів 0,439 разів 60 вписується в градус по: 60 разів 0.439 = 26,34, так що 26 повних хвилин (0.34 залишилося)
• ви обчислюєте секунди через 60 разів 0.34 = 20,4 (або 20 повних секунд, тому що ми не рахуємо нижче секунд).

Це дає 24° 26'20" (24° + 26' + 20") замість 24°26'23". 3-секундна різниця викликана округленням до 3 десяткових знаків у попередньому обчисленні. У геммології ми зазвичай навіть не згадуємо секунди, тому вона буде округлена до ≈ 24° 26 '.

Незважаючи на те, що вам можуть не знадобитися ці знання часто, важливо, щоб ви принаймні знали про його існування, оскільки ви можете заплутатися при читанні статей. Іноді значення задаються в десяткових градусах, в інший час - в радіанових значеннях.

Зовнішні посилання

• Вступ до математики
• Визначення синуса за допомогою демо Java
• Визначення косинуса з демонстрацією Java
• Визначення тангенса за допомогою демо Java