10: Похідні від багатоваріантних функцій

Last updated

Oct 27, 2022
Save as PDF
- 9.8: Довжина дуги та кривизна
- 10.1: Обмеження

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

http://scholarworks.gvsu.edu/books/14/

10.1: Обмеження
У цьому розділі ми вивчимо межі функцій декількох змінних, з акцентом на межі функцій двох змінних. В єдиному змінному численні ми вивчали поняття межі, яке виявилося критичним поняттям, що лягло в основу похідної і певного інтеграла. У цьому розділі ми почнемо розбиратися, наскільки поняття limit для функцій двох змінних схоже з тим, що ми зіткнулися для функцій однієї змінної.
10.2: Часткові похідні першого порядку
Тепер, коли ми досліджуємо функції двох або більше змінних, ми все ще можемо запитати, як швидко функція змінюється, хоча ми повинні бути обережними щодо того, що ми маємо на увазі. Думаючи графічно знову, ми можемо спробувати виміряти, наскільки крутий графік функції в певному напрямку. Крім того, ми можемо знати, як швидко змінюється вихід функції у відповідь на зміну одного з входів. Протягом наступних кількох розділів ми розробимо інструменти для вирішення таких питань.
10.3: Часткові похідні другого порядку
Далі ми починаємо досліджувати чотири різні часткові похідні другого порядку функції двох змінних і прагнемо зрозуміти, що ці різні похідні говорять нам про поведінку функції.
10.4: Лінеаризація - дотичні площини та диференціали
Одне з центральних понять в єдиному змінному численні полягає в тому, що графік диференційовної функції, якщо дивитися в дуже маленькому масштабі, виглядає як лінія. Називаємо цю лінію дотичною лінією і вимірюємо її нахил з похідною. У цьому розділі ми розширимо це поняття на функції декількох змінних.
10.5: Правило ланцюга
У випадку функції f двох змінних, де z=f (x, y), можливо, обидва x і y залежать від іншої змінної t, а потім зміна t призводить до змін як у x, так і у, які потім призводять до зміни z. У цьому розділі ми побачимо, як знайти зміну z, спричинену зміною t, що призводить нас до багатоваріантних версій правила ланцюга, що включає як регулярні, так і часткові похідні.
10.6: Спрямовані похідні та градієнт
Природно дивуватися, як ми можемо виміряти швидкість, з якою функція змінюється в інших напрямках, крім паралельних осям координат. Далі ми досліджуємо це питання і бачимо, як швидкість зміни в будь-якому заданому напрямку пов'язана зі швидкістю зміни, заданою стандартними частковими похідними.
10.7: Оптимізація
У багатоваріантному обчисленні ми часто зацікавлені у пошуку найбільшого та/або найменшого значення (ів), яке може досягти функція. Більш того, існує безліч застосованих налаштувань, в яких кількість інтересів залежить від декількох різних змінних. У наступному попередньому перегляді ми починаємо бачити, як деякі ключові ідеї в багатоваріантному обчисленні можуть допомогти нам відповісти на такі питання, думаючи про геометрію поверхні, породженої функцією двох змінних.
10.8: Обмежена оптимізація - множники Лагранжа
Деякі проблеми оптимізації включають максимізацію або мінімізацію кількості, що підлягає зовнішньому обмеженню. У цих випадках крайні значення часто трапляються не в точках, де градієнт дорівнює нулю, а в інших точках, які задовольняють важливій геометричній умові. Ці задачі часто називають обмеженими задачами оптимізації і можуть бути вирішені методом множників Лагранжа, який ми вивчаємо в даному розділі.