3: Послідовність та серія

\ begin {вирівнювати*} e^x &= 1 + х +\ розрив {x^2} {2!} +\ розрив {x^3} {3!} +\ cdots +\ frac {x^n} {n!} +e_n (x)\ end {вирівнювати*}

де$E_n(x)$ помилка, введена, коли ви$e^x$ наближаєтесь до свого полінома Тейлора ступеня$n\text{.}$ Ви, можливо, навіть бачили формулу для$E_n(x)\text{.}$ Ми зараз запитаємо, що відбувається, коли$n$ йде до нескінченності? Чи помилка йде до нуля, даючи точну формулу для$e^x\text{?}$ Ми пізніше побачимо, що це робить і що

\ begin {вирівнювати*} e^x &=1 + х +\ розрив {x^2} {2!} +\ розрив {x^3} {3!} +\ cdots =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {x^n} {n!} \ end {вирівнювати*}

На даний момент ми не визначили або не розвинули ніякого розуміння цієї нескінченної суми. Як обчислити суму нескінченного числа термінів? Дійсно, коли сума нескінченної кількості термінів навіть має сенс? Зрозуміло, що нам потрібно створити основи для вирішення цих ідей. По дорозі ми також побачимо інші функції, для яких відповідна помилка підкоряється$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}E_n(x)=0$ деяким значенням,$x$ а не для інших значень$x\text{.}$

Щоб мотивувати наступний розділ, розгляньте можливість використання наведеної вище формули$x=1$ with для обчислення числа$e\text{:}$

\ begin {вирівнювати*} е &= 1 + 1 +\ розрив {1} {2!} +\ гідророзрив {1} {3!} +\ cdots =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {1} {n!} \ end {вирівнювати*}

Як ми вже заявляли вище, ми ще не розуміємо, що робити з цієї нескінченної кількості термінів, але ми можемо спробувати підкрастися до нього, думаючи про те, що відбувається, коли ми приймаємо все більше і більше термінів.

\ begin {align*}\ текст {1 термін}\ фантом {s} &1&=1\\\ текст {2 терміни} &&1&= 2\\\ текст {3 терми} &1+1+\ розрив {1} {2} &= 2.5\\\ текст {4 терміни} &1+\ frac {1} {2} +\ frac {1}} &=2.6666\ точки\\ текст {5 термінів} &1+\ гідророзриву {1} {2} +\ гідророзриву {1} {6} +\ гідророзриву {1} {24} &=2.708333\ точки\\ текст {6 термінів} && 1+1+\ розрив {1} {2} +\ гідророзриву {1} {6} +\ гідророзриву {1} {24} +\ гідророзриву {1} {120} &=2.716666\ точки\ кінець {align*}

Дивлячись на нескінченну суму таким чином, ми, природно, отримуємо послідовність чисел.

\ begin {збирати*}\ {\ 1\,,\ ,2\,,\ 2,5\,\,\, 2.6666\,\ cdots,\,\ cdots,\ cdots,\, 2.71666\,\ cdots,\ cdots\\}. \ end {збирати*}

Ключем до розуміння початкової нескінченної суми є розуміння поведінки цієї послідовності чисел - зокрема, що роблять числа, коли ми йдемо далі і далі? Чи осідає він ² до заданої межі?

1. Тепер був би відмінний час, щоб швидко прочитати ваші замітки по темі.
2. Ви помітите велику схожість між результатами наступного розділу і «межі на нескінченність», які були розглянуті в минулому семестрі.