Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

17.2.1: Оцінювання функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    67310

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Цілі навчання
    • Задано функцію, описану рівнянням, знайти значення функцій (виходи) для заданих входів.

    Вступ

    Протягом цього курсу ви працювали з алгебраїчними рівняннями. Багато з цих рівнянь є функціями. Наприклад,\(\ y=4 x+1\) це рівняння, яке представляє функцію. Коли ви вводите значення для\(\ x\), ви можете визначити один вихід для\(\ y\). У цьому випадку, якщо ви\(\ x=10\) підставите рівняння, ви виявите, що\(\ y\) має бути 41; немає іншого значення\(\ y\), яке б зробило рівняння істинним.

    Замість того, щоб використовувати змінну\(\ y\), рівняння функцій можуть бути записані за допомогою позначення функцій. Позначення функцій дуже корисно, коли ви працюєте з більш ніж однією функцією одночасно, і підставляєте більше однієї змінної у for\(\ x\).

    Функція позначення

    Деякі люди думають про функції як «математичні машини». Уявіть, що у вас є машина, яка змінює число відповідно до певного правила, наприклад «помножити на 3 і додати 2» або «розділити на 5, додати 25 і помножити на -1». Якщо поставити в автомат число, то інший кінець вискочить нове число, змінивши згідно з правилом. Число, яке входить, називається входом, а число, яке виробляється, називається виходом.

    Ви також можете викликати машину «\(\ f\)» для функції. Якщо покласти\(\ x\) в машину,\(\ f(x)\) виходить. Математично кажучи,\(\ x\) це вхід, або «незалежна змінна», і\(\ f(x)\) є виходом, або «залежною змінною», оскільки це залежить від значення\(\ x\).

    \(\ f(x)=4 x+1\)записується в позначенні функції і читається «\(\ f\)\(\ x\)дорівнює\(\ 4x\) плюс 1». Він являє собою наступну ситуацію: Функція з ім'ям\(\ f\) діє на вхід і виробляє\(\ x\),\(\ f(x)\) яка дорівнює\(\ 4 x+1\). Це те ж саме, що і рівняння\(\ y=4 x+1\).

    Позначення функцій дає вам більше гнучкості, тому що вам не потрібно використовувати\(\ y\) для кожного рівняння. Замість цього можна використовувати\(\ f(x)\) або\(\ g(x)\) або\(\ c(x)\). Це може бути корисним способом розрізняти рівняння функцій, коли ви маєте справу з більш ніж однією за раз.

    Ви можете написати формулу для периметра\(\ P=4 s\), як функцію\(\ p(x)=4 x\), і формулу для площі\(\ A=x^{2}\), як\(\ a(x)=x^{2}\). Це дозволить легко відображати обидві функції на одному графіку без плутанини щодо змінних.

    Вправа

    Які два рівняння представляють одну і ту ж функцію?

    1. \(\ y=2 x-7 \text { and } f(x)=7-2 x\)
    2. \(\ 3 x=y-2 \text { and } f(x)=3 x-2\)
    3. \(\ f(x)=3 x^{2}+5 \text { and } y=3 x^{2}+5\)
    4. Жодне з перерахованих вище
    Відповідь
    1. Неправильний. Ці рівняння схожі, але не однакові. Перший має нахил 2 і y-перехоплення -7. Друга функція має нахил -2 і y-перехоплення 7. Вона нахиляється в зворотну сторону. Вони не виробляють однаковий графік, тому вони не є однаковою функцією. Правильна відповідь -\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) і\(\ y=3 x^{2}+5\).
    2. Неправильний. Ці рівняння представляють дві різні функції. Якщо ви перепишіть перше рівняння через\(\ y\), ви знайдете рівняння функції\(\ y=3 x+2\). Правильна відповідь -\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) і\(\ y=3 x^{2}+5\).
    3. Правильно. Вирази після\(\ f(x)=\) і\(\ y=\) однакові, тому це два різних способи написання однієї і тієї ж функції:\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) і\(\ y=3 x^{2}+5\).
    4. Неправильний. Подивіться на вирази, які слідують\(\ f(x)=\) і\(\ y=\). Якщо вирази однакові, то рівняння представляють одну і ту ж точну функцію. Правильна відповідь -\(\ f(x)=3 x^{2}+5\) і\(\ y=3 x^{2}+5\).

    Оцінювання функцій

    Рівняння, написані за допомогою позначення функцій, також можуть бути оцінені. З функцією позначення, ви можете побачити таку проблему.

    Дано\(\ f(x)=4 x+1\), знайдіть\(\ f(2)\).

    Ви читаєте цю проблему так: «дано\(\ f\)\(\ x\) дорівнює\(\ 4x\) плюс один, знайти\(\ f\) 2.» У той час як позначення і формулювання різні, процес оцінки функції такий же, як і оцінка рівняння: в обох випадках ви підставляєте 2 для\(\ x\), множите його на 4 і додаєте 1, спрощуючи отримати 9. Як у функції, так і в рівнянні вхід 2 призводить до виходу 9.

    \ (\\ begin {масив} {l}
    f (x) =4 x+1\\
    f (2) =4 (2) +1=8+1=9
    \ end {масив}\)

    Ви можете просто застосувати те, що ви вже знаєте про оцінку виразів для оцінки функції. Важливо зазначити, що дужки, які є частиною позначення функції, не означають множення. Позначення не\(\ f(x)\) означає\(\ f\) помножити на\(\ x\). Замість цього позначення означає «\(\ f\)of\(\ x\)» або «function of\(\ x\)» Щоб оцінити функцію, візьміть значення, задане для\(\ x\), і підставити це значення в for\(\ x\) у виразі. Давайте розглянемо пару прикладів.

    Приклад

    Дано\(\ f(x)=3 x-4\), знайдіть\(\ f(5)\).

    Рішення

    \(\ f(5)=3(5)-4\) Заставте 5\(\ x\) in for у функції.
    \ (\\ begin {масив} {л}
    f (5) =15-4\\
    f (5) =11
    \ end {масив}\)    		 Спростити вираз в правій частині рівняння.

    Дано\(\ f(x)=3 x-4, f(5)=11\).

    Функції можуть бути оцінені для від'ємних значень\(\ x\), теж. Майте на увазі правила цілочисельних операцій.

    Приклад

    Дано\(\ p(x)=2 x^{2}+5\), знайдіть\(\ p(-3)\).

    Рішення

    \(\ p(-3)=2(-3)^{2}+5\) Заставте -3\(\ x\) in for у функції.
    \ (\\ begin {масив} {l}
    p (-3) =2 (9) +5\\
    p (-3) =18+5\\
    p (-3) =23
    \ end {масив}\)    		 Спростити вираз в правій частині рівняння.

    Дано\(\ p(x)=2 x^{2}+5, p(-3)=23\).

    Вам також може бути запропоновано оцінити функцію для більш ніж одного значення, як показано в наступному прикладі.

    Приклад

    Дано\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\), знайдіть\(\ f(0)\)\(\ f(2)\), і\(\ f(-1)\).

    Рішення

    \ (\\ begin {масив} {l}
    f (0) =3 (0) ^ {2} +2 (0) +1\\
    f (0) =0+0+1\\
    f (0) =1
    \ end {масив}\)    		 Ставтеся до кожного з них як до трьох окремих проблем. У кожному конкретному випадку ви підставляєте значення для\(\ x\) і спрощуєте. Почніть з\(\ x=0\).
    \ (\\ почати {масив} {l}
    f (2) =3 (2) ^ {2} +2 (2) +1\\
    f (2) =3 (4) +4+1\\
    f (2) =12+4+1\\
    f (2) =17
    \ end {масив}\)    		 Оцініть для\(\ x=2\).
    \ (\\ почати {масив} {l}
    f (-1) =3 (-1) ^ {2} +2 (-1) +1\\
    f (-1) =3 (1) + (-2) +1\\
    f (-1) =3-2+1\\
    f (-1) =1+1\\
    f (-1) =2
    \ кінець {масив}\)    		 Оцініть для\(\ x=-1\).

    З огляду на\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\)\(\ f(0)=1\),\(\ f(2)=17\),, і\(\ f(-1)=2\).

    Вправа

    Дано\(\ h(x)=4 x+7\), знайдіть\(\ h(-10)\).

    1. \(\ -40 h+7\)
    2. \(\ -33\)
    3. \(\ 4 x+17\)
    4. \(\ 47\)
    Відповідь
    1. Неправильний. \(\ h(-10)\)означає «\(\ h\)негативного десятка», а не «\(\ h\)разів негативний десять». Щоб оцінити функцію,\(\ -10\) підставляємо\(\ x\). Правильна відповідь -\(\ -33\).
    2. Правильно. \(\ h(-10)=4(-10)+7=-40+7=-33\).
    3. Неправильний. Щоб знайти\(\ h(-10)\), підставити\(\ -10\) в для\(\ x\) в правій частині рівняння і спростити. Правильна відповідь -\(\ -33\).
    4. Неправильний. Оцінювати функцію для\(\ h(-10)\), а не\(\ h(10)\). Правильна відповідь -\(\ -33\).

    Оцінка функцій зі змінними входами

    Поки що ви оцінювали функції для вхідних даних, які були константами. Функції також можуть бути оцінені для вхідних даних, які є змінними або виразами. Процес той же, але спрощений відповідь буде містити змінну. Наступні приклади показують, як оцінити функцію для вхідної змінної.

    Приклад

    Дано\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\), знайдіть\(\ f(b)\).

    Рішення

    \(\ f(b)=3 b^{2}+2 b+1\)

    Ця проблема просить вас оцінити функцію для\(\ b\). Це означає заміну\(\ b\) в рівнянні для\(\ x\).

    (Ось і все! Ти закінчиш.)

    З огляду\(\ f(x)=3 x^{2}+2 x+1\) на,\(\ f(b)=3 b^{2}+2 b+1\).

    У наступному прикладі ви оцінюєте функцію для виразу. Таким чином, тут ви підставите весь вираз в для\(\ x\) і спростити.

    Приклад

    Дано\(\ f(x)=4 x+1\), знайдіть\(\ f(h+1)\).

    Рішення

    \(\ f(h+1)=4(h+1)+1\) Цього разу ви підставляєте\(\ (h+1)\) в рівняння для\(\ x\).
    \ (\\ почати {вирівняний}
    f (h+1) &= 4 ч+4+1\\
    &= 4 h+5
    \ end {вирівняний}\)    		 Використовуйте розподільну властивість з правого боку, а потім об'єднайте подібні терміни для спрощення.

    Дано\(\ f(x)=4 x+1, f(h+1)=4 h+5\).

    Резюме

    Функція позначення приймає такий вигляд, як\(\ f(x)=18 x-10\) і читається «\(\ f\)\(\ x\)дорівнює 18 разів\(\ x\) мінус 10». Функція позначення може використовувати інші літери\(\ f\), ніж\(\ c(x)\), наприклад,\(\ g(x)\), або\(\ h(x)\). Коли ви йдете далі у вивченні функцій, це позначення забезпечить вам більшу гнучкість, дозволяючи вам легше вивчати та порівнювати різні функції. Подібно до того, як алгебраїчне рівняння, записане\(\ x\) і\(\ y\) може бути оцінено для різних значень вхідних даних\(\ x\), рівняння, записане в позначенні функцій, також може бути оцінено для різних значень\(\ x\). Щоб оцінити функцію, підставити значення для\(\ x\) і спростити пошук пов'язаних виведених даних.