15.1.1: Вступ до раціональних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67296

The NROC Project

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Цілі навчання

Знайти значення змінної, які роблять раціональний вираз undefined.
Спростіть раціональні вирази.

Вступ

Раціональні вирази - це дроби, які мають многочлен в чисельнику, знаменнику або обох. Хоча раціональні вирази можуть здатися складними, оскільки вони містять змінні, їх можна спростити так само, як спрощуються числові дроби, також звані числовими дробами.

Пошук області виразу

Першим кроком спрощення раціонального виразу є визначення області, набору всіх можливих значень змінних. Знаменник у дробі не може бути нулем, оскільки ділення на нуль не визначено. Причина\(\ \frac{6}{3}=2\) полягає в тому, що коли ви множите відповідь 2, раз дільник 3, ви отримуєте назад 6. Щоб мати можливість розділити будь-яке число\(\ c\) на нуль\(\ \left(\frac{c}{0}=?\right)\), вам доведеться знайти число, яке, коли ви помножите його на 0, ви отримаєте назад\(\ c\) (скільки разів дорівнює нулю\(\ c\)?). Немає чисел, які можуть це зробити, тому ми говоримо «ділення на нуль не визначено». При спрощенні раціональних виразів потрібно звернути увагу на те, які значення змінної (ів) у виразі зробили б знаменник рівним нулю. Ці значення не можуть бути включені в домен, тому вони називаються виключені значення. Відмовтеся від них прямо на старті, перш ніж йти далі.

(Зауважте, що хоча знаменник не може бути еквівалентним 0, чисельник може. Ось чому ви шукаєте лише виключені значення в знаменнику раціонального виразу.)

Для раціональних виразів область виключить значення, для яких значення знаменника дорівнює 0. Нижче наведено два приклади для ілюстрації пошуку області виразу.

Приклад

Визначте область виразу.

\(\ \frac{3 x+2}{x-4}\)

Рішення

\(\ x-4=0\)	Знайти будь-які значення для\(\ x\) того, щоб знаменник був рівним 0.
\(\ x=4\)	Коли\(\ x=4\), знаменник дорівнює 0.

Домен - це всі дійсні числа, крім 4.

Ви виявили, що\(\ x\) не може бути 4. (Іноді ви можете побачити цю ідею, представлену як «\(\ x \neq 4\).») Що станеться, якщо ви підставите це значення у вираз?

\ (\\ begin {масив} {c}
\ розрив {3 x+2} {x-4}
\\ розрив {3 (4) +2} {(4) -4}\
\ гідророзриву {12+2} {0}\
\ frac {14} {0}
\ кінець {масив}\)

Ви виявите\(\ x=4\), що коли чисельник оцінює 14, але знаменник оцінює 0. А оскільки ділення на 0 не визначено, це має бути виключене значення.

Давайте спробуємо той, який є трохи складнішим.

Приклад

Визначте область виразу.

\(\ \frac{x+7}{x^{2}+8 x-9}\)

Рішення

\(\ x^{2}+8 x-9=0\)	Знайдіть будь-які значення для\(\ x\) того, щоб знаменник був рівним 0, встановивши знаменник рівним 0 і вирішивши рівняння.
\ (\\ begin {масив} {c} (x+9) ( x-1) =0\ x = -9\ текст {або} x = 1 \ кінець {масив}\)	Вирішити рівняння шляхом факторингу. Рішення - це значення, які виключені з домену.

Домен - це всі дійсні числа, крім -9 і 1.

Вправа

Знайдіть область раціонального виразу\(\ \frac{5 x}{2 x+8}\).

всі дійсні числа, крім -4
всі дійсні числа, крім 4
всі дійсні числа, крім 0
всі дійсні числа

Відповідь

Правильно. Коли\(\ x=-4\), знаменник є\(\ 2(-4)+8=-8+8=0\). Поділ на 0 не визначено, тому домен повинен виключити\(\ x=-4\).
Неправильний. Коли\(\ x=4\), знаменник не дорівнює 0, тому він не є виключеною величиною. Встановіть знаменник рівним 0 і вирішіть для\(\ x\). Правильною відповіддю є всі дійсні числа, крім -4.
Неправильний. Коли чисельник дорівнює 0\(\ x=0\), а знаменник - ні, отже, це не виключене значення. Встановіть знаменник рівним 0 і вирішіть для\(\ x\). Правильною відповіддю є всі дійсні числа, крім -4.
Неправильний. Існує одне значення\(\ x\), яке зробить знаменник 0. Встановіть знаменник рівним 0 і вирішіть для\(\ x\). Правильною відповіддю є всі дійсні числа, крім -4.

Спрощення раціональних виразів

Після того, як ви з'ясували виключені значення, наступним кроком буде спрощення раціонального виразу. Щоб спростити раціональний вираз, дотримуйтесь того ж підходу, який ви використовуєте для спрощення числових дробів: знайдіть спільні множники в чисельнику та знаменнику. Почнемо зі спрощення числового дробу.

Приклад

Спростити. \(\ \frac{15}{27}\)

Рішення

\(\ \frac{15}{27}=\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 3}\)	Коефіцієнт чисельника і знаменника.
\(\ \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 3 \cdot 3}\)	Визначте дроби, які дорівнюють 1, а потім витягніть їх з дробу.
\ (\\ почати {масив} {l} \ frac {5} {3\ cdot 3}\ cdot\ frac {3} {3}\ \ FRAC {5} {3\ cdot 3}\ cdot 1 \ кінець {масив}\)	У цьому дробі множник 3 знаходиться і в чисельнику, і в знаменнику. Нагадаємо, що\(\ \frac{3}{3}\) це інша назва для 1.
\(\ \frac{5}{3 \cdot 3}=\frac{5}{9}\)	Спростити.

\(\ \frac{15}{27}=\frac{5}{9}\)

Ви могли б зробити цю проблему у своїй голові, але варто було записати все це, тому що саме так ви спрощуєте раціональне вираження.

Отже, давайте спростимо раціональний вираз, використовуючи ту саму техніку, яку ви застосували до дробу\(\ \frac{15}{27}\). Тільки на цей раз чисельником і знаменником є обидва мономи зі змінними.

Приклад

Спростити. \(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\)

Рішення

\(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}=\frac{5 \cdot x \cdot x}{5 \cdot 5 \cdot x}\)	Коефіцієнт чисельника і знаменника.
\ (\\ почати {масив} {r} \ frac {5\ cdot x\ cdot x} {5\ cdot 5\ cdot x} \\ frac {x} {5}\ cdot\ frac {5\ cdot x}\ \ frac {x} {5}\ cdot 1 \ кінець {масив}\)	Визначте дроби, які дорівнюють 1, а потім витягніть їх з дробу.
\(\ \frac{x}{5}\)	Спростити.

\(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}=\frac{x}{5}\)

Ті ж кроки спрацювали знову. Фактор чисельник, множник знаменник, визначити фактори, які є загальними для чисельника і знаменника і записувати як множник 1, і спростити.

При спрощенні раціональних виразів хороша звичка завжди розглядати домен, і знаходити значення змінної (або змінних), які роблять вираз невизначеною. (Це стане в нагоді, коли ви почнете розв'язувати змінні трохи пізніше.)

Приклад

Визначте область виразу.

\(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\)

Рішення

\(\ 25 x=0\)

Знайдіть будь-які значення для\(\ x\) того, щоб знаменник був рівним 0, встановивши знаменник рівним 0 і вирішивши рівняння.

\(\ \frac{25 x}{25}=\frac{0}{25}\)

\(\ x=0\)

Значення\(\ x\), які роблять знаменник рівним 0, виключаються з домену.

Домен - це всі дійсні числа, крім 0.

Зверніть увагу, що ви почали з вихідного виразу, і визначені значення\(\ x\), які будуть\(\ 25x\) дорівнювати 0. Чому це має значення? Коли\(\ \frac{5 x^{2}}{25 x}\) спрощено, то це дріб\(\ \frac{x}{5}\). Оскільки 5 є знаменником, здається, що ніяких значень не потрібно виключати з домену. Під час пошуку області виразу ви завжди починаєте з вихідного виразу, оскільки змінні терміни можуть бути враховані як частина процесу спрощення.

У наступних прикладах чисельник і знаменник - це поліноми з більш ніж одним терміном, але знову будуть застосовуватися ті ж принципи спрощення. Фактор чисельника і знаменника для спрощення раціонального виразу.

Приклад

Спростити та вказати домен для виразу.

\(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}\)

Рішення

\(\ x^{2}+12 x+27=0\)
\(\ (x+3)(x+9)=0\) \ (\\ begin {масив} {llrl} x+3=0 &\ текст {або} & x+9 = 0\\ x = 0-3 &\ текст {або} & x = 0-9\ x = -3 &\ текст {або} & x = -9 \ кінець {масив}\) \(\ x=-3\)або\(\ x=-9\) домен - це всі дійсні числа, крім -3 та -9	Щоб знайти домен (і виключені значення), знайдіть значення, для яких знаменник дорівнює 0. Фактор квадратичний, щоб знайти значення.
\(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}\)	Коефіцієнт чисельника і знаменника.
\(\ \frac{x+3}{(x+3)(x+9)}\)	Визначте ті фактори, які однакові в чисельнику і знаменнику.
\ (\\ begin {масив} {r} \ frac {x+3} {x+3}\ cdot\ frac {1} {x+9}\\ 1\ cdot\ frac {1} {x+9} \ end {масив}\)	Пишіть як окремі дроби, витягуючи дроби, які дорівнюють 1. Спростити.

\(\ \frac{x+3}{x^{2}+12 x+27}=\frac{1}{x+9}\)

Домен - це всі дійсні числа, крім -3 і -9.

Приклад

Спростити та вказати домен для виразу.

\(\ \frac{x^{2}+10 x+24}{x^{3}-x^{2}-20 x}\)

Рішення

\(\ x^{3}-x^{2}-20 x=0\)
\ (\\ begin {масив} {l} х\ лівий (x^ {2} -x-20\ праворуч) =0\\ x (x-5) (x+4) =0 \ end {масив}\)	Щоб знайти домен, визначте значення, для яких знаменник дорівнює 0.
domain є всі дійсні числа, крім 0, 5 і -4
\ (\\ почати {масив} {r} \ розрив {x^ {2} +10 х+24} {x^ {3} -x^ {2} -20 x}\ \ розрив {(x+4) (x+6)} {x (x-5) (х+4)}\ \ розрив {x+6} {x (x-5)}\ cdot\ frac {x+4)} {(x+4)} \ кінець {масив}\)	Для спрощення перерахуйте чисельник і знаменник раціонального виразу. Визначте ті фактори, які однакові в чисельнику і знаменнику. Пишіть як окремі дроби, витягуючи дроби, які дорівнюють 1.
\(\ \frac{x+6}{x(x-5)} \text { or } \frac{x+6}{x^{2}-5 x}\)	Спростити. Допустимо або залишити знаменник в факторованном вигляді, або розподілити з множенням.

\(\ \frac{x+6}{x(x-5)} \text { or } \frac{x+6}{x^{2}-5 x}\)

Доменом є всі дійсні числа, крім 0, 5 та -4.

Кроки для спрощення раціонального виразу

Щоб спростити раціональне вираження, виконайте наступні дії:

Визначте домен. Виключені значення - це ті значення змінної, які призводять до виразу, що має знаменник 0.
Коефіцієнт чисельника і знаменника.
Знайти загальні множники для чисельника і знаменника і спростити.

Вправа

Спростіть раціональний вираз нижче.

\(\ \frac{2 x^{2}+13 x+15}{2 x^{2}+23 x+30}\)

[Примітка: Хоча значення домену та виключені значення раціонального виразу важливі, вас не завжди попросять знайти їх при спрощенні раціонального виразу. У цьому виразі доменом є всі дійсні числа, крім\(\ \frac{3}{2}\) і -10.]

\(\ \frac{14}{25}\)
\(\ \frac{x+5}{x+10}\)
\(\ \frac{2 x}{3}\)
\(\ \frac{1}{2}\)

Відповідь

Неправильний. Спочатку потрібно перерахувати многочлени в чисельнику та знаменнику, а потім висловити подібні множники в чисельнику та знаменнику як 1, щоб спростити. Вираз може бути враховано як\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\), тому правильна відповідь є\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
Правильно. Раціональний вираз можна спростити, враховуючи чисельник і знаменник як\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\). Так як\(\ \frac{2 x+3}{2 x+3}=1\), спростити вираз до\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
Неправильний. Спочатку потрібно перерахувати многочлени в чисельнику та знаменнику, а потім висловити подібні множники в чисельнику та знаменнику як 1, щоб спростити. Вираз може бути враховано як\(\ \frac{(2 x+3)(x+5)}{(2 x+3)(x+10)}\), тому правильна відповідь є\(\ \frac{x+5}{x+10}\).
Неправильний. Ви не можете\(\ \frac{x+5}{x+10}\) спростити,\(\ \frac{1}{2}\) тому що\(\ x\) в чисельнику і\(\ x\) в знаменнику не множаться, вони додаються. Правильна відповідь -\(\ \frac{x+5}{x+10}\).

Резюме

Раціональні вирази - це дроби, що містять многочлени. Вони можуть бути спрощені так само, як числові дроби. Для спрощення раціонального виразу спочатку визначають загальні множники чисельника і знаменника, а потім видаляють їх, переписуючи їх як вирази, рівні 1.

Додатковим розглядом раціональних виразів є визначення того, які значення виключаються з області. Оскільки ділення на 0 не визначено, будь-які значення змінних, які призводять до знаменника 0, повинні бути виключені. Виключені значення повинні бути ідентифіковані в вихідному рівнянні, а не з його факторної форми.