7.2.2: Периметр і площа

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67404

The NROC Project

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Знайдіть периметр багатокутника.
Знайдіть площу багатокутника.
Знайти площу і периметр нестандартних багатокутників.

Вступ

Периметр і площа - дві важливі та фундаментальні математичні теми. Вони допомагають кількісно оцінити фізичний простір, а також забезпечують основу для більш просунутої математики, знайденої в алгебрі, тригонометрії та обчисленні. Периметр - це вимірювання відстані навколо форми та площі дає нам уявлення про те, скільки поверхні покриває форма.

Знання області та периметра застосовуються практично людьми щодня, такими як архітектори, інженери та графічні дизайнери, і це математика, яка дуже потрібна людям загалом. Розуміння того, скільки місця у вас є, і навчитися точно поєднувати форми допоможуть вам, коли ви фарбуєте кімнату, купуєте будинок, переробляєте кухню або будуєте палубу.

Периметр

Периметр двомірної форми - це відстань навколо фігури. Можна подумати про обгортання нитки навколо трикутника. Довжина цього рядка буде периметром трикутника. Або гуляючи по зовнішній стороні парку, ви пройдете відстань периметра парку. Деякі люди вважають корисним думати «периметр», оскільки край предмета є його ободом, а PerimeTer має слово «ободок» у ньому.

Якщо фігура багатокутник, то можна скласти всі довжини сторін, щоб знайти периметр. Будьте уважні, щоб переконатися, що всі довжини вимірюються в однакових одиницях. Ви вимірюєте периметр в лінійних одиницях, який є одновимірним. Прикладами одиниць вимірювання довжини є дюйми, сантиметри або фути.

Приклад

Знайдіть периметр даної фігури. Всі зазначені вимірювання - дюйми.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.01.12 PM.png$

Рішення

$\ P=5+3+6+2+3+3$	Так як всі сторони вимірюються в дюймах, просто додайте довжини всіх шести сторін, щоб отримати периметр.
$\ P=22 \text { inches }$	Не забудьте включити одиниці.

Це означає, що щільно загорнута рядок, що проходить всю відстань навколо багатокутника, буде вимірювати 22 дюйми в довжину.

Приклад

Знайдіть периметр трикутника зі сторонами розміром 6 см, 8 см і 12 см.

Рішення

$\ P=6+8+12$

Так як всі сторони вимірюються в сантиметрах, просто складіть довжини всіх трьох сторін, щоб вийшов периметр.

$\ P=26 \text { centimeters }$

Іноді вам потрібно використовувати те, що ви знаєте про багатокутник, щоб знайти периметр. Давайте розглянемо прямокутник в наступному прикладі.

Приклад

Прямокутник має довжину 8 сантиметрів і ширину 3 сантиметри. Знайдіть периметр.

$Знімок екрана 2021-05-07 в 2.13.36 PM.png$

Рішення

$\ P=3+3+8+8$

Так як це прямокутник, протилежні сторони мають однакову довжину, 3 см. і 8 см. Складіть довжини всіх чотирьох сторін, щоб знайти периметр.

$\ P=22 \mathrm{~cm}$

Зверніть увагу, що периметр прямокутника завжди має дві пари сторін однакової довжини. У наведеному вище прикладі ви могли б також написати$\ P=2(3)+2(8)=6+16=22 \mathrm{~cm}$. Формула периметра прямокутника часто записується як$\ P=2 l+2 w$, де$\ l$ довжина прямокутника і$\ w$ ширина прямокутника.

Площа паралелограмів

Площа двомірної фігури описує кількість поверхні, яку покриває форма. Ви вимірюєте площу в квадратних одиницях фіксованого розміру. Прикладами квадратних одиниць виміру є квадратні дюйми, квадратні сантиметри або квадратні милі. Знаходячи площу багатокутника, ви підраховуєте, скільки квадратів певного розміру покриє область всередині багатокутника.

Давайте розглянемо квадрат 4 на 4.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.30.32 PM.png$

Можна порахувати, що квадратів 16, тому площа становить 16 квадратних одиниць. Підрахунок 16 квадратів не займає занадто багато часу, але як щодо пошуку площі, якщо це більший квадрат або одиниці менші? Це може зайняти багато часу, щоб розраховувати.

На щастя, можна використовувати множення. Так як є 4 ряди по 4 квадрата, ви можете помножити,$\ 4 \cdot 4$ щоб отримати 16 квадратів! І це можна узагальнити до формули знаходження площі квадрата з будь-якою довжиною,$\ s$:$\ \text { Area }=s \cdot s=s^{2}$.

$Знімок екрана 2021-05-07 в 2.32.33 PM.png$

Можна написати «$\ \mathrm{in}^{2}$» для квадратних дюймів і «$\ \mathrm{ft}^{2}$» для квадратних футів.

Щоб допомогти вам знайти площу багатьох різних категорій багатокутників, математики розробили формули. Ці формули допоможуть вам знайти вимірювання швидше, ніж просто підрахунком. Формули, які ви збираєтеся дивитися на всі розроблені з розуміння того, що ви підраховуєте кількість квадратних одиниць всередині багатокутника. Давайте розглянемо прямокутник.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.35.12 PM.png$

Можна порахувати квадрати окремо, але набагато простіше помножити 3 рази 5, щоб швидше знайти число. І, більш загально, площа будь-якого прямокутника можна знайти, помноживши довжину на ширину.

$Знімок екрана 2021-05-07 в 2.36.36 PM.png$

Приклад

Прямокутник має довжину 8 сантиметрів і ширину 3 сантиметри. Знайдіть місцевість.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.38.33 PM.png$

Рішення

$\ A=l \cdot w$	Почніть з формули площі прямокутника, яка множить довжину на ширину.
$\ A=8 \cdot 3$	Підставляємо 8 на довжину і 3 на ширину.
$\ A=24 \mathrm{~cm}^{2}$	Обов'язково включайте одиниці, в даному випадку квадратні сантиметри.

Було б потрібно 24 квадрата, кожен розміром 1 сантиметр на стороні, щоб покрити цей прямокутник.

Формула площі будь-якого паралелограма (пам'ятайте, прямокутник - це тип паралелограма) така ж, як і у прямокутника:$\ \text { Area }=l \cdot w$. Зверніть увагу на прямокутник, довжина і ширина перпендикулярні. Це також повинно бути вірно для всіх паралелограм. Часто використовується основа ($\ b$для довжини (основи), а висота ($\ h$) для ширини лінії, перпендикулярної до основи. Отже, формула для паралелограма, як правило, записана,$\ A=b \cdot h$.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.47.18 PM.png$

Приклад

Знайти площу паралелограма.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.48.43 PM.png$

Рішення

$\ A=b \cdot h$

Почніть з формули площі паралелограма:

$\ A=4 \cdot 2$

$\ \text { Area }=\text { base } \cdot \text { height }$.

Підставте значення в формулу.

$\ A=8$

Помножити.

Площа паралелограма дорівнює 8$\ \mathrm{ft}^{2}$.

Вправа

Знайдіть площу паралелограма висотою 12 футів і підставою 9 футів.

$\ 21 \mathrm{ft}^{2}$
$\ 54 \mathrm{ft}^{2}$
$\ 42 \mathrm{ft}$
$\ 108 \mathrm{ft}^{2}$

Відповідь

Неправильний. Схоже, ви додали розміри; пам'ятайте, що щоб знайти площу, ви множите основу на висоту. Правильна відповідь -$\ 108 \mathrm{ft}^{2}$.
Неправильний. Схоже, ви помножили основу на висоту, а потім розділили на 2. Щоб знайти площу паралелограма, ви множите підставу на висоту. Правильна відповідь -$\ 108 \mathrm{ft}^{2}$.
Неправильний. Схоже, ви додали$\ 12+12+9+9$. Це дасть вам периметр прямокутника 12 на 9. Щоб знайти площу паралелограма, ви множите підставу на висоту. Правильна відповідь -$\ 108 \mathrm{ft}^{2}$.
Правильно. Висота паралелограма 12, а підстави паралелограма - 9; площа 12 разів 9, або$\ 108 \mathrm{ft}^{2}$.

Площа трикутників і трапецій

Формулу площі трикутника можна пояснити, дивлячись на прямокутний трикутник. На зображенні нижче - прямокутник з такою ж висотою і основою, що і вихідний трикутник. Площа трикутника - одна половина прямокутника!

$Знімок екрана 2021-05-07 о 2.58.40 PM.png$

Оскільки площа двох конгруентних трикутників збігається з площею прямокутника, можна придумати формулу,$\ \text { Area }=\frac{1}{2} b \cdot h$ щоб знайти площу трикутника.

Коли ви використовуєте формулу для трикутника, щоб знайти його площу, важливо визначити підставу та відповідну йому висоту, яка перпендикулярна до основи.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 3.00.39 PM.png$

Приклад

Трикутник має висоту 4 дюйми і основу 10 дюймів. Знайдіть місцевість.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 3.11.14 PM.png$

Рішення

$\ A=\frac{1}{2} b h$

Почніть з формули для площі трикутника.

$\ A=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4$

Підставте 10 на підставу і 4 на висоту.

$\ A=\frac{1}{2} \cdot 40$

$\ A=20$

Помножити.

$\ A=20 \text { in }^{2}$

Тепер давайте розглянемо трапецію. Щоб знайти площу трапеції, візьміть середню довжину двох паралельних основ і помножте цю довжину на висоту:$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$.

Приклад наведено нижче. Зверніть увагу, що висота трапеції завжди буде перпендикулярна основам (так само, як коли ви знайдете висоту паралелограма).

Приклад

Знайдіть площу трапеції.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 3.21.19 PM.png$

Рішення

$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$	Почніть з формули для площі трапеції.
\ (\\ почати {масив} {c} A=\ frac {(4+7)} {2}\ cdot 2\\ A=\ гідророзриву {11} {2}\ cdot 2\\ A=11 \ end {масив}\)	Підставте 4 і 7 на підстави і 2 на висоту, і знайдіть$\ A$.

Площа трапеції дорівнює$\ 11 \mathrm{~cm}^{2}$.

Формули площі

Скористайтеся наступними формулами, щоб знайти області різної форми.

_{квадрат:$\ A=s^{2}$}

_{прямокутник:$\ A=l \cdot w$}

_{паралелограм:$\ A=b \cdot h$}

_{трикутник:$\ A=\frac{1}{2} b \cdot h$}

_{трапеція:$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$}

Робота з периметром і площею

Часто потрібно знайти площу або периметр фігури, яка не є стандартним багатокутником. Художники та архітектори, наприклад, зазвичай мають справу зі складними формами. Однак навіть складні форми можна вважати складними з менших, менш складних форм, таких як прямокутники, трапеції та трикутники.

Щоб знайти периметр нестандартних форм, ви все одно знайдете відстань навколо фігури, склавши разом довжину кожної сторони.

Знайти область нестандартних форм трохи інакше. Вам потрібно створити області в межах форми, для яких ви можете знайти область, і додати ці області разом. Подивіться, як це робиться нижче.

Приклад

Знайти площу і периметр багатокутника.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 3.33.10 PM.png$

Рішення

\ (\\ begin {масив} {r} P=18+6+3+11+9.5+6+6\\ P=59,5\ mathrm {~см} \ кінець {масив}\)	Щоб знайти периметр, складіть разом довжини сторін. Почніть з вершини і працюйте за годинниковою стрілкою навколо фігури.
$Знімок екрана 2021-05-07 в 3.34.44 PM.png$ Площа багатокутника = (Площа A) + (Площа B)	Щоб знайти площу, розділіть багатокутник на дві окремі, простіші області. Площа всього багатокутника дорівнюватиме сумі площ двох областей.
\ (\\ begin {масив} {r} \ text {Площа області} A=L\ cdot w\\ =18\ cdot 6\\ =108 \ end {масив}\)	Область A - прямокутник. Щоб знайти площу, помножте довжину (18) на ширину (6). Площа області А становить 108 см ².
\ (\\ почати {масив} {r} \ текст {Площа області}\ mathrm {B} =\ frac {1} {2} b\ cdot h\\ = \ frac {1} {2} {2}\ cdot 9\\ cdot 9\\ =\ frac {1} {2}\ cdot 81\\ = 40.5 \ кінець { масив}\)	Область B - трикутник. Щоб знайти площу, скористайтеся формулою$\ \frac{1}{2} b h$, де основа дорівнює 9, а висота - 9.
$\ 108 \mathrm{~cm}^{2}+40.5 \mathrm{~cm}^{2}=148.5 \mathrm{~cm}^{2}$	Площа області В становить 40,5 см ². Додайте регіони разом.

\ (\\ begin {масив} {c}
\ текст {Периметр} =59,5\ mathrm {~см}\
\ текст {Площа} =148.5\ mathrm {~см} ^ {2}
\ end {масив}\)

Ви також можете використовувати те, що ви знаєте про периметр і площа, щоб допомогти вирішити проблеми про ситуації, як покупка огорожі або фарби, або визначення того, наскільки великий килимок потрібен у вітальні. Ось приклад огорожі.

Приклад

Роза садить сад з розмірами, показаними нижче. Вона хоче нанести тонкий рівний шар мульчі по всій поверхні саду. Мульча коштує 3 долари за квадратний фут. Скільки грошей їй доведеться витратити на мульчу?

$Знімок екрана 2021-05-07 о 3.54.15 PM.png$

Рішення

$Знімок екрана 2021-05-07 о 4.06.04 PM.png$	Ця форма являє собою поєднання двох більш простих форм: прямокутника і трапеції. Знайдіть площу кожного.
\ (\\ почати {масив} {c} A=L\ cdot w\\ A=8\ cdot 4\\ A=32\ mathrm {ft} ^ {2} \ кінець {масив}\)	Знайдіть площу прямокутника.
\ (\\ почати {масив} {c} A=\ розрив {\ лівий (b_ {1} +b_ {2}\ праворуч)} {2} h\ A=\ розрив {(14+8)} {2}\ cdot 4\\ A=\ frac {22} {2}\ cdot 4\\ A=11\ cdot 4\ A=44\ mathr м {ft} ^ {2} \ end {масив}\)	Знайдіть площу трапеції.
$\ 32 \mathrm{ft}^{2}+44 \mathrm{ft}^{2}=76 \mathrm{ft}^{2}$	Додайте виміри.
$\ 76 \mathrm{ft}^{2} \cdot \$ 3=\$ 228$	Помножте на 3 долари, щоб дізнатися, скільки Розі доведеться витратити.

Розі витратить 228 доларів, щоб покрити свій сад мульчею.

Вправа

Знайдіть площу фігури, показаної нижче.

$Знімок екрана 2021-05-07 о 4.13.17 PM.png$

$\ 11 \mathrm{ft}^{2}$
$\ 18 \mathrm{ft}^{2}$
$\ 20.3 \mathrm{ft}$
$\ 262.8 \mathrm{ft}^{2}$

Відповідь

Правильно. Ця форма є трапецією, тому ви можете скористатися формулою,$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$ щоб знайти площу:$\ A=\frac{(2+9)}{2} \cdot 2$.
Неправильний. Схоже, ви помножили 2 на 9, щоб отримати$\ 18 \mathrm{ft}^{2}$; це працювало б, якби форма була прямокутником. Ця форма є трапецією, правда, тому скористайтеся формулою$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$. Правильна відповідь -$\ 11 \mathrm{ft}^{2}$.
Неправильний. Схоже, ви додали всі розміри разом. Це дасть вам периметр. Щоб знайти площу трапеції, скористайтеся формулою$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$. Правильна відповідь -$\ 11 \mathrm{ft}^{2}$.
Неправильний. Схоже, ви помножили всі розміри разом. Ця форма є трапецією, тому ви користуєтеся формулою$\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h$. Правильна відповідь -$\ 11 \mathrm{ft}^{2}$.

Резюме

Периметр двомірної форми - це відстань навколо фігури. Його знаходять шляхом складання всіх сторін (до тих пір, поки всі вони є однією одиницею). Площа двомірної форми знаходять шляхом підрахунку кількості квадратів, які покривають фігуру. Розроблено багато формул для швидкого пошуку площі стандартних багатокутників, таких як трикутники та паралелограми.

\(\ P=5+3+6+2+3+3\)	Так як всі сторони вимірюються в дюймах, просто додайте довжини всіх шести сторін, щоб отримати периметр.
\(\ P=22 \text { inches }\)	Не забудьте включити одиниці.

\(\ A=l \cdot w\)	Почніть з формули площі прямокутника, яка множить довжину на ширину.
\(\ A=8 \cdot 3\)	Підставляємо 8 на довжину і 3 на ширину.
\(\ A=24 \mathrm{~cm}^{2}\)	Обов'язково включайте одиниці, в даному випадку квадратні сантиметри.

\(\ A=\frac{\left(b_{1}+b_{2}\right)}{2} h\)	Почніть з формули для площі трапеції.
\ (\\ почати {масив} {c} A=\ frac {(4+7)} {2}\ cdot 2\\ A=\ гідророзриву {11} {2}\ cdot 2\\ A=11 \ end {масив}\)	Підставте 4 і 7 на підстави і 2 на висоту, і знайдіть\(\ A\).