5.2.1: Вирішення процентних проблем

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67478

The NROC Project

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте суму, базу та відсоток у відсотковій проблемі.
Знайдіть невідоме у відсотках проблеми.

Вступ

Відсотки - це відношення числа і 100, тому їх легше порівняти, ніж дроби, так як вони завжди мають один і той же знаменник, 100. Магазин може мати 10% знижки на продаж. Збережена сума завжди однакова частина або частка ціни, але більш висока ціна означає, що більше грошей знімається. Процентні ставки на ощадному рахунку працюють аналогічним чином. Чим більше грошей ви поклали на свій рахунок, тим більше грошей ви отримаєте під відсотки. Корисно зрозуміти, як обчислюються ці відсотки.

Частини проблеми відсотка

Джефф має купон у магазині гітари на 15% від будь-якої покупки в розмірі 100 доларів або більше. Він хоче придбати б/у гітару, ціна якої становить 220 доларів. Джефф задається питанням, скільки грошей купон зніме початкову ціну в 220 доларів.

Проблеми, пов'язані з відсотками, мають будь-які три величини для роботи: відсоток, сума та база.

Відсоток має символ відсотка (%) або слово «відсоток». У наведеній вище проблемі 15% - це відсоток від ціни покупки.
База - це вся сума. У наведеній вище проблемі вся ціна гітари становить 220 доларів, що є базовою.
Сума - це число, яке відноситься до відсотків. Це завжди частина цілого. У наведеній вище проблемі сума невідома. Оскільки відсоток - це відсоток від, сума буде сумою від ціни.

До цієї проблеми ви повернетеся трохи пізніше. Наступні приклади показують, як визначити три частини: відсоток, базу та суму.

Приклад

Визначте відсоток, суму та базу в цій проблемі.

30 - це 20% від якого числа?

Рішення

Відсоток: Відсоток - це число з символом%: 20%.

Base: База - це вся сума, яка в даному випадку невідома.

Сума: Сума, заснована на відсотках, становить 30.

Відповідь:

Відсоток = 20%

Сума = 30

base=Невідомо

Попередня проблема стверджує, що 30 - це частина іншого числа. Це означає, що 30 - це сума. Зверніть увагу, що цю проблему можна переписати: 20% від якого числа 30?

Вправа

Визначте відсоток, базу та суму в цій задачі:

Який відсоток від 30 дорівнює 3?

Відповідь: Відсоток невідомий, тому що проблема говорить «Який відсоток?» База - це ціле в ситуації, тому база дорівнює 30. Сума - це порція цілого, яка дорівнює 3 в даному випадку.

Розв'язування за допомогою рівнянь

Процентні задачі можуть бути вирішені шляхом написання рівнянь. Рівняння використовує знак рівності (=), щоб показати, що два математичних вирази мають однакове значення.

Відсотки - це дроби, і так само, як і дроби, при знаходженні відсотка (або дробу, або частини) іншої суми, ви множите.

Відсоток від бази - це сума.

Відсоток від Бази - це Сума.

\[\ \text { Percent } {\color{red}\cdot}\text { Base }{\color{blue}=}\text { Amount } \nonumber \]

У наведених нижче прикладах невідоме представлено буквою$\ n$. Невідоме може бути представлено будь-якою буквою або коробкою$\ \square$ або навіть знаком питання.

Приклад

Напишіть рівняння, яке представляє наступну задачу.

30 - це 20% від якого числа?

Рішення

20% від якого числа 30?

Перепишіть задачу у вигляді «відсоток бази - це сума».

Відсоток становить: 20%

База: невідомо

Сума становить: 30

Визначте відсотки, базу та суму.

$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$

$\ 20 \% \cdot n=30$

Запишіть процентне рівняння. використовуючи$\ n$ для бази, яка є невідомим значенням.

$\ 20 \% \cdot n=30$

Як тільки у вас є рівняння, ви можете вирішити його і знайти невідоме значення. Для цього подумайте про зв'язок між множенням і діленням. Подивіться на пари фактів множення та ділення нижче та шукайте візерунок у кожному ряду.

множення	Відділ
$\ 2 \cdot 3=6$	$\ 6 \div 2=3$
$\ 8 \cdot 5=40$	$\ 40 \div 8=5$
$\ 7 \cdot 4=28$	$\ 28 \div 7=4$
$\ 6 \cdot 9=54$	$\ 54 \div 6=9$

Множення і ділення є оберненими операціями. Що один робить з числом, інший «скасовує».

Коли у вас є таке рівняння$\ 20 \% \cdot n=30$, ви можете розділити 30 на 20%, щоб знайти невідоме:$\ n=30 \div 20 \%$.

Ви можете вирішити це, написавши відсоток у вигляді десяткового або дробу, а потім діливши.

$\ n=30 \div 20 \%=30 \div 0.20=150$

Приклад

Який відсоток 72 дорівнює 9?

Рішення

Відсоток: невідомий База: 72 Сума: 9	Визначте відсоток, базу та суму.
$\ n \cdot 72=9$	Напишіть рівняння відсотків:$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$. Використовувати$\ n$ для невідомого (відсотків).
$\ n=9 \div 72$	Ділимо, щоб скасувати множення на$\ n$ 72.
\ (\\ begin {масив} {r} 0.125\\ 72\ longdiv {9.000} \ кінець {масив}\)	Розділіть 9 на 72, щоб знайти значення для$\ n$, невідомого.
$\ n=0.125$ $\ n=12.5 \%$	Перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо, щоб записати десяткове число у відсотках.

$\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9$.

Ви можете оцінити, щоб побачити, чи є відповідь розумною. Використовуйте 10% і 20%, цифри близькі до 12,5%, щоб побачити, чи вони наближають вас до відповіді.

$\ 10 \% \text { of } 72=0.1 \cdot 72=7.2$

$\ 20 \% \text { of } 72=0.2 \cdot 72=14.4$

Зверніть увагу, що 9 становить від 7,2 до 14,4, тому 12,5% є розумним, оскільки це від 10% до 20%.

Приклад

Що таке 110% від 24?

Рішення

Відсоток: 110% База: 24 Сума: невідома	Визначте відсотки, базу та суму.
$\ 110 \% \cdot 24=n$	Запишіть рівняння відсотків. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$. Сума невідома, тому користуйтеся$\ n$.
$\ 1.10 \cdot 24=n$	Запишіть відсоток у вигляді десяткової коми, перемістивши десяткову крапку на два розряди вліво.
$\ 1.10 \cdot 24=26.4=n$	Помножте 24 на 1,10 або 1,1.

$\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24$.

Цю проблему трохи простіше оцінити. 100% з 24 - це 24. А 110% - це трохи більше 24. Отже, 26.4 - це розумна відповідь.

Вправа

18 - це який відсоток від 48?

$\ 0.375 \%$
$\ 8.64 \%$
$\ 37.5 \%$
$\ 864 \%$

Відповідь

$\ 0.375 \%$
Неправильний. Можливо, ви правильно розрахували, але ви забули перемістити десяткову крапку, коли ви переписали свою відповідь у відсотках. Рівняння для цієї задачі є$\ n \cdot 48=18$. Відповідний поділ є$\ 18 \div 48$, так$\ n=0.375$. Переписування цього десяткового числа у відсотках дає правильну відповідь,$\ 37.5 \%$.
$\ 8.64 \%$
Неправильний. Можливо, ви використовували$\ 18$ або$\ 48$ як відсотки, а не суму або базу. Рівняння для цієї задачі є$\ n \cdot 48=18$. Відповідний поділ є$\ 18 \div 48$, так$\ n=0.375$. Переписування цього десяткового числа у відсотках дає правильну відповідь,$\ 37.5 \%$.
$\ 37.5 \%$
Правильно. Рівняння для цієї задачі є$\ n \cdot 48=18$. Відповідний поділ є$\ 18 \div 48$, так$\ n=0.375$. Переписування цього десяткового числа у відсотках дає$\ 37.5 \%$.
$\ 864 \%$
Неправильний. Ви, ймовірно, використовували 18 або 48 як відсоток, а не суму або базу, а також забули переписати відсоток як десятковий, перш ніж множити. Рівняння для цієї задачі є$\ n \cdot 48=18$. Відповідний поділ є$\ 18 \div 48$, так$\ n=0.375$. Переписування цього десяткового числа у відсотках дає правильну відповідь,$\ 37.5 \%$.

Використання пропорцій для вирішення проблем відсотка

Процентні проблеми також можна вирішити шляхом написання пропорції. Пропорція - це рівняння, яке встановлює два співвідношення або дробу, рівні один одному. При відсоткових проблемах одним із співвідношень є відсоток, написаний як$\ \frac{n}{100}$. Інше співвідношення - сума до основи.

$\ \text { Percent }=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$

Приклад

Напишіть пропорцію, щоб знайти відповідь на наступне питання.

30 - це 20% від якого числа?

Рішення

$\ \frac{20}{100}=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$	Відсоток в цій проблемі становить 20%. Запишіть цей відсоток в дробовому вигляді, з 100 як знаменник.
$\ \frac{20}{100}=\frac{30}{n}$	Відсоток пишеться як співвідношення$\ \frac{20}{100}$, сума - 30, а база невідома.
\ (\\ почати {масив} {r} 20\ cdot n = 30\ cdot 100\\ 20\ cdot n = 3,000\\ n = 3,000\ div 20\\ n=150 \ кінець {масив}\)	Перехресні множте і вирішуйте для невідомого$\ n$, діливши 3000 на 20.

30 - це 20% від 150.

Приклад

Який відсоток 72 дорівнює 9?

Рішення

\ (\\ begin {масив} {r} \ текст {відсоток} =\ frac {\ текст {сума}} {\ текст {база}}\ \ frac {n} {100} =\ frac {9} {72} \ end {масив}\)	Відсоток - це співвідношення$\ n$ до 100. Сума дорівнює 9, а база - 72.
\ (\\ почати {масив} {r} n\ cdot 72=9\ cdot 100\\ n\ cdot 72=900\ n = 900\ div 72\\ n=12.5 \ кінець {масив}\)	Перехресне множення і$\ n$ вирішуйте для, діливши 900 на 72.
$\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9$	Відсоток є$\ \frac{12.5}{100}=12.5 \%$.

Приклад

Що таке 110% від 24?

Рішення

\ (\\ begin {масив} {l} \ текст {відсоток} =\ frac {\ текст {сума}} {\ текст {база}}\ \ frac {110} {100} =\ frac {n} {24} \ end {масив}\)	Відсоток - це співвідношення$\ \frac{110}{100}$. Сума невідома, а база дорівнює 24.
\ (\\ почати {масив} {r} 24\ cdot 110=100\ cdot n\\ 2,640\ div 100 = n\\ 26.4=n \ кінець {масив}\)	Перехресне множення і вирішуйте для$\ n$, діливши 2,640 на 100.
$\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24$

Вправа

18 - це 125% від якого числа?

$\ 0.144$
$\ 14.4$
$\ 22.5$
$\ 694 \frac{4}{9}$(або про$\ 694.4$)

Відповідь

$\ 0.144$
Неправильний. Ви, напевно, не написали пропорції і просто розділили 18 на 125. Або ви неправильно встановили один дріб як$\ \frac{18}{125}$ і встановили цей рівний основі,$\ n$. Відсоток в даному випадку дорівнює 125%, тому одна частка в пропорції повинна бути$\ \frac{125}{100}$. База невідома, а сума дорівнює 18, тому інша фракція є$\ \frac{18}{n}$. Рішення пропорції$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ дає$\ n=14.4$.
$\ 14.4$
Правильно. Відсоток в даному випадку дорівнює 125%, тому одна частка в пропорції повинна бути$\ \frac{125}{100}$. База невідома, а сума дорівнює 18, тому інша фракція є$\ \frac{18}{n}$. Рішення пропорції$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ дає$\ n=14.4$.
$\ 22.5$
Неправильний. Ви, ймовірно, ставите суму (18) понад 100 в пропорції, а не відсотки (125). Можливо, ви думали, що 18 відсотків, а 125 - основа. Правильна процентна частка для пропорції є$\ \frac{125}{100}$. База невідома, а сума дорівнює 18, тому інша фракція є$\ \frac{18}{n}$. Рішення пропорції$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ дає$\ n=14.4$.
$\ 694 \frac{4}{9}$(або про$\ 694.4$)
Неправильний. Ви, напевно, плутали суму (18) з відсотками (125), коли встановили пропорцію. Правильна процентна частка для пропорції є$\ \frac{125}{100}$. База невідома, а сума дорівнює 18, тому інша фракція є$\ \frac{18}{n}$. Рішення пропорції$\ \frac{125}{100}=\frac{18}{n}$ дає$\ n=14.4$.

Повернемося до проблеми, яка була поставлена на початку. Тепер ви можете вирішити цю проблему, як показано в наступному прикладі.

Приклад

Рішення

Скільки коштує 15% від $220?	Спростіть проблеми, усунувши зайві слова.
Відсоток: 15% База: 220 Сума:$\ n$	Визначте відсотки, базу та суму.
$\ 15 \% \cdot 220=n$	Запишіть рівняння відсотків. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$
$\ 0.15 \cdot 220=33$	Перетворіть 15% на 0,15, а потім помножте на 220. 15% від $220 становить $33.

Купон візьме $33 від початкової ціни.

Ви можете оцінити, щоб побачити, чи є відповідь розумною. Оскільки 15% - це половина шляху від 10% до 20%, знайдіть ці цифри.

\ (\\ begin {масив} {l}
10\%\ текст {з} 220=0,1\ cdot 220=2\
20\%\ текст {з} 220 = 0,2\ cdot 220=44
\ кінець {масив}\)

Відповідь, 33, знаходиться між 22 і 44. Тож 33 долари здаються розумними.

Є багато інших ситуацій, які передбачають відсотки. Нижче наведено лише деякі.

Приклад

Евелін купила кілька книг у місцевому книжковому магазині. Її загальний рахунок становив $31,50, який включав 5% податку. Скільки коштували книги до оподаткування?

Рішення

Яке число +5% від цього числа становить $31.50?	У цій проблемі ви знаєте, що податок у розмірі 5% додається до вартості книг. Так що якщо вартість книг 100%, вартість плюс податок становить 105%.
105% від якого числа = 31,50? Відсоток: 105% База:$\ n$ Сума внеску: 31.50	Визначте відсотки, базу та суму.
$\ 105 \% \cdot n=31.50$	Запишіть рівняння відсотків. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$.
$\ 1.05 \cdot n=31.50$	Перетворіть 105% в десяткове число.
$\ n=31.50 \div 1.05=30$	Ділимо, щоб скасувати множення на 1,05.$\ n$

Книги коштують 30 доларів до оподаткування.

Приклад

Сусана працювала 20 годин на своїй роботі минулого тижня. Цього тижня вона працювала 35 годин. З точки зору відсотка, наскільки більше вона працювала на цьому тижні, ніж минулого тижня?

Рішення

35 - це який відсоток від 20?	Спростіть проблему, усунувши зайві слова.
Відсоток:$\ n$ База: 20 Сума: 35	Визначте відсотки, базу та суму.
$\ n \cdot 20=35$	Запишіть рівняння відсотків. $\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$.
$\ n=35 \div 20$	Ділимо, щоб скасувати множення на$\ n$ 20.
$\ n=1.75=175 \%$	Перетворіть 1,75 до відсотка.

Оскільки 35 - це 175% з 20, Сусана працювала на 75% більше на цьому тижні, ніж минулого тижня. (Ви можете думати про це як: «Сусана працювала 100% годин, які вона працювала минулого тижня, а також на 75% більше».)

Резюме

Відсотки проблем мають три частини: відсоток, базу (або цілу) і суму. Будь-яка з цих частин може бути невідомим значенням, яке потрібно знайти. Для вирішення процентних задач можна використовувати рівняння$\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }$, і вирішити для невідомих чисел. Або ж можна встановити пропорцію$\ \text { Percent }=\frac{\text { amount }}{\text { base }}$, де відсоток - це відношення числа до 100. Потім ви можете використовувати перехресне множення для вирішення пропорції.

множення	Відділ
\(\ 2 \cdot 3=6\)	\(\ 6 \div 2=3\)
\(\ 8 \cdot 5=40\)	\(\ 40 \div 8=5\)
\(\ 7 \cdot 4=28\)	\(\ 28 \div 7=4\)
\(\ 6 \cdot 9=54\)	\(\ 54 \div 6=9\)

Відсоток: невідомий База: 72 Сума: 9	Визначте відсоток, базу та суму.
\(\ n \cdot 72=9\)	Напишіть рівняння відсотків:\(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\). Використовувати\(\ n\) для невідомого (відсотків).
\(\ n=9 \div 72\)	Ділимо, щоб скасувати множення на\(\ n\) 72.
\ (\\ begin {масив} {r} 0.125\\ 72\ longdiv {9.000} \ кінець {масив}\)	Розділіть 9 на 72, щоб знайти значення для\(\ n\), невідомого.
\(\ n=0.125\) \(\ n=12.5 \%\)	Перемістіть десяткову крапку на два розряди вправо, щоб записати десяткове число у відсотках.

\(\ \frac{20}{100}=\frac{\text { amount }}{\text { base }}\)	Відсоток в цій проблемі становить 20%. Запишіть цей відсоток в дробовому вигляді, з 100 як знаменник.
\(\ \frac{20}{100}=\frac{30}{n}\)	Відсоток пишеться як співвідношення\(\ \frac{20}{100}\), сума - 30, а база невідома.
\ (\\ почати {масив} {r} 20\ cdot n = 30\ cdot 100\\ 20\ cdot n = 3,000\\ n = 3,000\ div 20\\ n=150 \ кінець {масив}\)	Перехресні множте і вирішуйте для невідомого\(\ n\), діливши 3000 на 20.

\ (\\ begin {масив} {r} \ текст {відсоток} =\ frac {\ текст {сума}} {\ текст {база}}\ \ frac {n} {100} =\ frac {9} {72} \ end {масив}\)	Відсоток - це співвідношення\(\ n\) до 100. Сума дорівнює 9, а база - 72.
\ (\\ почати {масив} {r} n\ cdot 72=9\ cdot 100\\ n\ cdot 72=900\ n = 900\ div 72\\ n=12.5 \ кінець {масив}\)	Перехресне множення і\(\ n\) вирішуйте для, діливши 900 на 72.
\(\ 12.5 \% \text { of } 72 \text { is } 9\)	Відсоток є\(\ \frac{12.5}{100}=12.5 \%\).

\ (\\ begin {масив} {l} \ текст {відсоток} =\ frac {\ текст {сума}} {\ текст {база}}\ \ frac {110} {100} =\ frac {n} {24} \ end {масив}\)	Відсоток - це співвідношення\(\ \frac{110}{100}\). Сума невідома, а база дорівнює 24.
\ (\\ почати {масив} {r} 24\ cdot 110=100\ cdot n\\ 2,640\ div 100 = n\\ 26.4=n \ кінець {масив}\)	Перехресне множення і вирішуйте для\(\ n\), діливши 2,640 на 100.
\(\ 26.4 \text { is } 110 \% \text { of } 24\)

Відсоток: 110% База: 24 Сума: невідома	Визначте відсотки, базу та суму.
\(\ 110 \% \cdot 24=n\)	Запишіть рівняння відсотків. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\). Сума невідома, тому користуйтеся\(\ n\).
\(\ 1.10 \cdot 24=n\)	Запишіть відсоток у вигляді десяткової коми, перемістивши десяткову крапку на два розряди вліво.
\(\ 1.10 \cdot 24=26.4=n\)	Помножте 24 на 1,10 або 1,1.

Скільки коштує 15% від $220?	Спростіть проблеми, усунувши зайві слова.
Відсоток: 15% База: 220 Сума:\(\ n\)	Визначте відсотки, базу та суму.
\(\ 15 \% \cdot 220=n\)	Запишіть рівняння відсотків. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\)
\(\ 0.15 \cdot 220=33\)	Перетворіть 15% на 0,15, а потім помножте на 220. 15% від $220 становить $33.

35 - це який відсоток від 20?	Спростіть проблему, усунувши зайві слова.
Відсоток:\(\ n\) База: 20 Сума: 35	Визначте відсотки, базу та суму.
\(\ n \cdot 20=35\)	Запишіть рівняння відсотків. \(\ \text { Percent } \cdot \text { Base }=\text { Amount }\).
\(\ n=35 \div 20\)	Ділимо, щоб скасувати множення на\(\ n\) 20.
\(\ n=1.75=175 \%\)	Перетворіть 1,75 до відсотка.