4.2.1: Розуміння пропорцій

Last updated
Save as PDF

Page ID: 67279

The NROC Project

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Визначте, чи є пропорція істинною чи хибною.
Знайдіть невідомого в пропорції.
Вирішуйте проблеми нанесення, використовуючи пропорції.

Вступ

Справжня пропорція - це рівняння, яке стверджує, що два співвідношення рівні. Якщо ви знаєте одне співвідношення в пропорції, ви можете використовувати цю інформацію, щоб знайти значення в іншому еквівалентному співвідношенні. Використання пропорцій може допомогти вам вирішити такі проблеми, як збільшення рецепту для годування більшого натовпу людей, створення дизайну з певними узгодженими функціями або збільшення або зменшення зображення до масштабу.

Наприклад, уявіть, що ви хочете збільшити 5-дюймову на 8-дюймову фотографію, щоб відповідати дерев'яній рамі, яку ви придбали. Якщо ви хочете, щоб коротший край збільшеної фотографії вимірював 10 дюймів, скільки часу має бути фотографія, щоб зображення правильно масштабувалося? Можна налаштувати пропорцію для визначення довжини збільшеної фотографії.

Визначення того, чи є пропорція істинною чи хибною

Пропорція зазвичай записується у вигляді двох еквівалентних дробів. Наприклад:

$\ \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }}=\frac{36 \text { inches }}{3 \text { feet }}$

Зверніть увагу, що рівняння має відношення на кожній стороні знака рівності. Кожне співвідношення порівнює однакові одиниці, дюйми та фути, а співвідношення еквівалентні, оскільки одиниці є послідовними та$\ \frac{12}{1}$ еквівалентними$\ \frac{36}{3}$.

Пропорції також можуть порівнювати два співвідношення з однаковими одиницями. Наприклад, у Хуаніта є дві різні за розміром ємності з лимонадною сумішшю. Вона хоче порівняти їх. Вона могла б встановити пропорцію, щоб порівняти кількість унцій у кожному контейнері з кількістю порцій лимонаду, які можна зробити з кожного контейнера.

$\ \frac{40 \text { ounces }}{84 \text { ounces }}=\frac{10 \text { servings }}{21 \text { servings }}$

Оскільки одиниці для кожного співвідношення однакові, ви можете висловити пропорцію без одиниць:

$\ \frac{40}{84}=\frac{10}{21}$

При використанні цього типу пропорцій важливо, щоб чисельники представляли однакову ситуацію. У наведеному вище прикладі вони представляють 40 унцій на 10 порцій. Знаменники також повинні представляти ту ж ситуацію, яка є унціями для порцій.

Хуаніта також міг би встановити пропорцію для порівняння співвідношення розмірів контейнерів до кількості порцій кожного контейнера.

$\ \frac{40 \text { ounces }}{10 \text { servings }}=\frac{84 \text { ounces }}{21 \text { servings }}$

Іноді вам потрібно буде з'ясувати, чи є два співвідношення, насправді, істинною або помилковою пропорцією. Нижче наведено приклад, який показує кроки визначення того, чи є пропорція істинною чи помилковою.

Приклад

Пропорція істинна чи хибна?

$\ \frac{100 \text { miles }}{4 \text { gallons }}=\frac{50 \text { miles }}{2 \text { gallons }}$

Рішення

милі (чек)

Одиниці узгоджуються через чисельники.

галони (перевірка)

Одиниці узгоджуються по знаменників.

Напишіть кожне співвідношення в найпростішому вигляді.

\ (\\ почати {масив} {l}
\ гідророзриву {100\ div 4} {4\ div 4} =\ гідророзриву {25} {1}\
\ гідророзриву {50\ div 2} {2\ div 2} =\ frac {25} {1}\
\ гідророзриву {25} =\ гідророзриву {25} {1} {1}
\ кінець {масив}\)

Оскільки спрощені дроби еквівалентні, пропорція вірна.

Пропорція вірна.

Визначення справжніх пропорцій

Щоб визначити, чи порівнює пропорція рівні співвідношення чи ні, ви можете виконати наступні дії.

Перевірте, щоб переконатися, що одиниці в окремих співвідношеннях узгоджуються або вертикально, або горизонтально. Наприклад,$\ \frac{\text { miles }}{\text { hour }}=\frac{\text { miles }}{\text { hour }}$ або$\ \frac{\text { miles }}{\text { miles }}=\frac{\text { hour }}{\text { hour }}$ є дійсними налаштуваннями для пропорції.
Висловіть кожне співвідношення як спрощений дріб.
Якщо спрощені дроби однакові, пропорція істинна; якщо дроби різні, пропорція помилкова.

Іноді потрібно створити пропорцію, перш ніж визначити, правда це чи ні. Приклад наведено нижче.

Приклад

В одному офісі є 3 принтера на 18 комп'ютерів. Інший офіс має 20 принтерів на 105 комп'ютерів. Чи однакове співвідношення принтерів до комп'ютерів в цих двох офісах?

Рішення

$\ \frac{\text { printers }}{\text { computers }}=\frac{\text { printers }}{\text { computers }}$	Визначте відносини.
$\ \frac{3 \text { printers }}{18 \text { computers }}=\frac{20 \text { printers }}{105 \text { computers }}$	Напишіть співвідношення, які описують кожну ситуацію, і встановіть їх рівними один одному.
Принтери (перевірка)	Переконайтеся, що одиниці в чисельнику збігаються.
Комп'ютери (перевірка)	Перевірте, чи збігаються одиниці в знаменнику. Спростіть кожен дріб і визначте, чи є вони рівнозначними.
\ (\\ begin {масив} {c} \ гідророзриву {3\ div 3} {18\ div 3} =\ гідророзриву {1} {6} \\ гідророзриву {20\ div 5} {105\ div 5} =\ frac {4} {21}\ \ frac {1} {6}\ neq\ frac {4} {21} \ кінець {масив}\)	Так як спрощені дроби не рівні (позначаються$\ \neq$ знаком), пропорція не відповідає дійсності.

Співвідношення принтерів до комп'ютерів в цих двох офісах неоднакове.

Існує ще один спосіб визначити, чи є пропорція істинною чи помилковою. Цей метод називається «знаходження перехресного добутку» або «перехресне множення».

Для перехресного множення ви множите чисельник першого співвідношення в пропорції на знаменник іншого співвідношення. Потім множимо знаменник першого співвідношення на чисельник другого співвідношення в пропорції. Якщо ці продукти рівні, пропорція вірна; якщо ці продукти не рівні, пропорція не відповідає дійсності.

Ця стратегія визначення того, чи є пропорція істинною, називається перехресним множенням, оскільки візерунок множення виглядає як «х» або хрест-навхрест. Нижче наведено приклад знаходження перехресного добутку, або перехресного множення.

$Знімок екрана 2021-04-29 о 3.54.27 PM.png$

У цьому прикладі ви розмножуєте$\ 3 \cdot 10=30$, а потім множите$\ 5 \cdot 6=30$. Обидва продукти рівні, тому пропорція вірна.

Нижче наведено ще один приклад визначення того, чи є пропорція істинною чи помилковою за допомогою перехресних продуктів.

Приклад

Пропорція істинна чи хибна?

$\ \frac{5}{6}=\frac{9}{8}$

Рішення

$Знімок екрана 2021-04-29 в 3.png$	Визначте перехресні товарні відносини.
\ (\\ почати {масив} {л} 5\ cdot 8 = 40\\ 6\ cdot 9=54 \ кінець {масив}\)	Використовуйте перехресні продукти, щоб визначити, чи є пропорція істинною чи помилковою.
$\ 40 \neq 54$	Так як продукти не рівні, пропорція помилкова.

Пропорція помилкова.

Вправа

Пропорція$\ \frac{3}{5}=\frac{24}{40}$ істинна чи хибна?

Правда
Помилковий

Відповідь

Правильно. Використовуючи перехресні вироби, ви виявляєте$\ 5 \cdot 24=120$, що$\ 3 \cdot 40=120$ і, таким чином, перехресні продукти рівні, а пропорція вірна.
Неправильний. Поперечні вироби рівні, тому пропорція вірна. Правильна відповідь вірна.

Пошук невідомої кількості в пропорції

Якщо ви знаєте, що співвідношення між величинами пропорційне, ви можете використовувати пропорції, щоб знайти відсутні величини. Нижче наведено приклад.

Приклад

Вирішіть для невідомої кількості,$\ n$.

$\ \frac{n}{4}=\frac{25}{20}$

Рішення

$\ 20 \cdot n=4 \cdot 25$	Перехресне множення.
$\ 20 n=100$	Ви шукаєте число, яке, помноживши його на 20, ви отримаєте 100.
\ (\\ begin {масив} {r} 5\\ 20\ longdiv {100} \ кінець {масив}\)	Знайти це значення можна, розділивши 100 на 20.

$\ n=5$

Тепер повернемося до початкового прикладу. Уявіть, що ви хочете збільшити 5-дюймову на 8-дюймову фотографію, щоб зробити довжину 10 дюймів і зберегти пропорцію ширини до довжини однаковою. Можна налаштувати пропорцію для визначення ширини збільшеної фотографії.

$Знімок екрана 2021-04-29 о 10.39.23 PM.png$

Приклад

Знайдіть довжину фотографії, ширина якої становить 10 дюймів і пропорції якої такі ж, як у фотографії розміром 5 дюймів на 8 дюймів.

Рішення

$\ \frac{\text { width }}{\text { length }}$	Визначте відносини.
Оригінальне фото: $\ \frac{5 \text { inches wide }}{8 \text { inches long }}$ Збільшена фотографія: $\ \frac{10 \text { inches wide }}{n \text { inches long }}$	Напишіть співвідношення, яке порівнює довжину з шириною кожної фотографії. Використовуйте букву для представлення кількості, яка не відома (ширина збільшеної фотографії).
$\ \frac{5}{8}=\frac{10}{n}$	Напишіть пропорцію, яка стверджує, що два співвідношення рівні.
$\ 5 \cdot n=8 \cdot 10$	Перехресне множення.
$\ 5 n=80$	Ви шукаєте число, яке, коли воно множиться на 5, дасть вам 80.
\ (\\ begin {масив} {l} \ frac {5 n} {5} =\ гідророзриву {80} {5}\\ n=\ гідророзриву {80} {5} \ end {масив}\)	Розділіть обидві сторони на 5, щоб ізолювати змінну.
$\ n=16$	\ (\\ begin {масив} {r} 16\\\ 5\ longdiv {80} \ кінець {масив}\)

Довжина збільшеної фотографії становить 16 дюймів.

Рішення проблем додатків за допомогою пропорцій

Налаштування та вирішення пропорції є корисною стратегією для вирішення різноманітних проблем пропорційного міркування. У цих задачах завжди важливо визначити, що таке невідоме значення, а потім визначити пропорційну залежність, яку можна використовувати для вирішення для невідомого значення. Нижче наведено кілька прикладів.

Приклад

Серед виду тропічних птахів 30 з кожних 50 птахів - самки. Якщо певний пташиний заповідник має популяцію 1,150 цих птахів, скільки з них ви очікуєте бути самкою?

Рішення

Нехай$\ x$ = кількість самок птахів у святилищі.	Визначте невідомий предмет: кількість самок птахів у святилищі. Призначте лист цій невідомій кількості.
$\ \frac{30 \text { female birds }}{50 \text { birds }}=\frac{x \text { female birds in sanctuary }}{1,150 \text { birds in sanctuary }}$	Налаштуйте пропорції, встановивши співвідношення рівні.
$\ \frac{30 \div 10}{50 \div 10}=\frac{3}{5}$ $\ \frac{3}{5}=\frac{x}{1150}$	Спростіть співвідношення зліва, щоб зробити майбутнє перехресне множення простіше.
\ (\\ почати {вирівняний} 3\ cdot 150 &= 5\ cdot x\\ 3,450 &= 5 х \ кінець {вирівняний}\)	Перехресне множення.
\ (\\ begin {масив} {r} 690\\\ 5\ longdiv {3,450} \ кінець {масив}\)	Яке число при множенні на 5 дає добуток 3450? Знайти це значення можна, розділивши 3,450 на 5.
$\ x=690$птахів

Ви очікуєте, що 690 птахів у святилищі будуть самками.

Приклад

Сандра займає 1 годину, щоб текстовий процес 4 сторінок. З цією швидкістю, скільки часу вона займе, щоб завершити 27 сторінок?

Рішення

$\ \frac{4 \text { pages }}{1 \text { hour }}=\frac{27 \text { pages }}{x \text { hours }}$	Налаштуйте пропорцію, порівнюючи сторінки, які вона набирає, і час, необхідний для їх введення.
$\ 4 \cdot x=1 \cdot 27$	Перехресне множення.
$\ 4 x=27$	Ви шукаєте число, яке, коли воно множиться на 4, дасть вам 27.
\ (\\ begin {масив} {r} 6.75\\\ 4\ longdiv {27.00} \ кінець {масив}\)	Знайти це значення можна, розділивши 27 на 4.
$\ x=6.75 \text { hours }$

Сандра займе 6,75 години, щоб завершити 27 сторінок.

Вправа

Карта використовує масштаб, де 2 дюйми представляють 5 миль. Якщо відстань між двома містами відображається на карті як 20 дюймів, скільки миль один від одного два міста?

50 дюймів
50 миль
8 миль
100 миль

Відповідь

Неправильний. Відстань між містами вимірюється в дюймах на карті, але в милі насправді. Правильна відповідь - 50 миль.
Правильно. Налаштовуючи пропорції$\ \frac{2 \text { inches }}{5 \text { miles }}=\frac{20 \text { inches }}{x}$, ви виявите, що$\ x=50$ милі.
Неправильний. Коли ви вирішуєте пропорцію, ви перехрещуєте множення:$\ \frac{2 \text { inches }}{5 \text { miles }}=\frac{20 \text { inches }}{x}$,$\ 2 x=5 \cdot 20$. Правильна відповідь - 50 миль.
Неправильний. Коли ви вирішуєте пропорцію, ви перехрещуєте множення:$\ \frac{2 \text { inches }}{5 \text { miles }}=\frac{20 \text { inches }}{x}$,$\ 2 x=5 \cdot 20$. Правильна відповідь - 50 миль.

Резюме

Пропорція - це рівняння, яке порівнює два співвідношення. Якщо коефіцієнти еквівалентні, пропорція істинна. Якщо ні, пропорція помилкова. Знаходження перехресного добутку - ще один метод визначення того, чи є пропорція істинною чи помилковою. Перехресне множення також корисно для пошуку невідомої кількості в пропорційному співвідношенні. Налаштування і вирішення пропорцій - це навик, який стане в нагоді для вирішення найрізноманітніших завдань.

\(\ \frac{\text { printers }}{\text { computers }}=\frac{\text { printers }}{\text { computers }}\)	Визначте відносини.
\(\ \frac{3 \text { printers }}{18 \text { computers }}=\frac{20 \text { printers }}{105 \text { computers }}\)	Напишіть співвідношення, які описують кожну ситуацію, і встановіть їх рівними один одному.
Принтери (перевірка)	Переконайтеся, що одиниці в чисельнику збігаються.
Комп'ютери (перевірка)	Перевірте, чи збігаються одиниці в знаменнику. Спростіть кожен дріб і визначте, чи є вони рівнозначними.
\ (\\ begin {масив} {c} \ гідророзриву {3\ div 3} {18\ div 3} =\ гідророзриву {1} {6} \\ гідророзриву {20\ div 5} {105\ div 5} =\ frac {4} {21}\ \ frac {1} {6}\ neq\ frac {4} {21} \ кінець {масив}\)	Так як спрощені дроби не рівні (позначаються\(\ \neq\) знаком), пропорція не відповідає дійсності.

\(\ 20 \cdot n=4 \cdot 25\)	Перехресне множення.
\(\ 20 n=100\)	Ви шукаєте число, яке, помноживши його на 20, ви отримаєте 100.
\ (\\ begin {масив} {r} 5\\ 20\ longdiv {100} \ кінець {масив}\)	Знайти це значення можна, розділивши 100 на 20.

\(\ \frac{\text { width }}{\text { length }}\)	Визначте відносини.
Оригінальне фото: \(\ \frac{5 \text { inches wide }}{8 \text { inches long }}\) Збільшена фотографія: \(\ \frac{10 \text { inches wide }}{n \text { inches long }}\)	Напишіть співвідношення, яке порівнює довжину з шириною кожної фотографії. Використовуйте букву для представлення кількості, яка не відома (ширина збільшеної фотографії).
\(\ \frac{5}{8}=\frac{10}{n}\)	Напишіть пропорцію, яка стверджує, що два співвідношення рівні.
\(\ 5 \cdot n=8 \cdot 10\)	Перехресне множення.
\(\ 5 n=80\)	Ви шукаєте число, яке, коли воно множиться на 5, дасть вам 80.
\ (\\ begin {масив} {l} \ frac {5 n} {5} =\ гідророзриву {80} {5}\\ n=\ гідророзриву {80} {5} \ end {масив}\)	Розділіть обидві сторони на 5, щоб ізолювати змінну.
\(\ n=16\)	\ (\\ begin {масив} {r} 16\\\ 5\ longdiv {80} \ кінець {масив}\)

Нехай\(\ x\) = кількість самок птахів у святилищі.	Визначте невідомий предмет: кількість самок птахів у святилищі. Призначте лист цій невідомій кількості.
\(\ \frac{30 \text { female birds }}{50 \text { birds }}=\frac{x \text { female birds in sanctuary }}{1,150 \text { birds in sanctuary }}\)	Налаштуйте пропорції, встановивши співвідношення рівні.
\(\ \frac{30 \div 10}{50 \div 10}=\frac{3}{5}\) \(\ \frac{3}{5}=\frac{x}{1150}\)	Спростіть співвідношення зліва, щоб зробити майбутнє перехресне множення простіше.
\ (\\ почати {вирівняний} 3\ cdot 150 &= 5\ cdot x\\ 3,450 &= 5 х \ кінець {вирівняний}\)	Перехресне множення.
\ (\\ begin {масив} {r} 690\\\ 5\ longdiv {3,450} \ кінець {масив}\)	Яке число при множенні на 5 дає добуток 3450? Знайти це значення можна, розділивши 3,450 на 5.
\(\ x=690\)птахів

\(\ \frac{4 \text { pages }}{1 \text { hour }}=\frac{27 \text { pages }}{x \text { hours }}\)	Налаштуйте пропорцію, порівнюючи сторінки, які вона набирає, і час, необхідний для їх введення.
\(\ 4 \cdot x=1 \cdot 27\)	Перехресне множення.
\(\ 4 x=27\)	Ви шукаєте число, яке, коли воно множиться на 4, дасть вам 27.
\ (\\ begin {масив} {r} 6.75\\\ 4\ longdiv {27.00} \ кінець {масив}\)	Знайти це значення можна, розділивши 27 на 4.
\(\ x=6.75 \text { hours }\)