4.1.1: Спрощення коефіцієнтів та ставок
- Page ID
- 67280
- Запишіть співвідношення і ставки у вигляді дробів в найпростішому вигляді.
- Знайти одиничні ставки.
- Знайти ціни за одиницю.
Вступ
Співвідношення використовуються для порівняння сум або величин або опису зв'язку між двома сумами або величинами. Наприклад, співвідношення може бути використано для опису вартості місячної орендної плати порівняно з доходом, отриманим за один місяць. Ви також можете використовувати співвідношення для порівняння кількості слонів із загальною кількістю тварин у зоопарку або кількості калорій на порцію в двох різних марках морозива.
Ставки - це особливий тип співвідношення, який використовується для опису взаємозв'язку між різними одиницями виміру, такими як швидкість, заробітна плата або ціни. Автомобіль можна охарактеризувати як подорож 60 миль на годину; ландшафтний майстер може заробити $35 за скошений газон; газ може продаватися по 3 долари за галон.
Коефіцієнти
Співвідношення порівнюють величини за допомогою ділення. Це означає, що ви можете встановити співвідношення між двома величинами як вираз поділу між тими самими двома величинами.
Ось приклад. Якщо у вас є блюдо, що містить 10 цукрового печива і 20 шоколадних печива, ви можете порівняти печиво, використовуючи співвідношення.
Співвідношення цукрового печива до шоколадного печива становить:
\(\ \frac{\text { sugar cookies }}{\text { chocolate chip cookies }}=\frac{10}{20}\)
Співвідношення шоколадного печива до цукрового печива становить:
\(\ \frac{\text { chocolate chip cookies }}{\text { sugar cookies }}=\frac{20}{10}\)
Ви можете написати співвідношення, використовуючи слова, дріб, а також використовуючи двокрапку, як показано нижче.
\ (\\ begin {масив} {c}
\ текст {співвідношення} {\ колір {червоний}\ текст {цукрове печиво}}
\\ колір {синій}\ текст {шоколадне печиво}\
\ колір {червоний} 10}\ текст {до}\ колір {синій} 20\
\\ frac {колір {червоний} 10} {колір {синій} 20\\\
{колір {червоний}} 10}:\ колір {синій} 20
\ end {масив}\)
Деякі люди думають про це співвідношення так: «На кожні 10 цукрового печива у мене є, у мене 20 шоколадних печива».
Ви також можете спростити співвідношення так само, як ви спрощуєте дріб.
\(\ \frac{10}{20}=\frac{10 \div 10}{20 \div 10}=\frac{1}{2}\)
Тож ми також можемо сказати, що:
\ (\\ begin {масив} {c}
\ текст {співвідношення} {\ колір {червоний}\ текст {цукрове печиво}}
\\ колір {синій}\ текст {шоколадне печиво}\
\ колір {червоний} 1}\ текст {до}\ колір {синій} 2\\
\ frac {колір {червоний} 1} {колір {синій} 2\\\
{колір {червоний} 1}} 1}:\ колір {синій} 2
\ end {масив}\)
Співвідношення можна записати трьома різними способами:
- зі словом «до»: від 3 до 4
- як дріб:\(\ \frac{3}{4}\)
- з двокрапкою: 3:4
Співвідношення спрощується, якщо воно еквівалентно спрощеному дробу.
Нижче наведено ще два приклади, які ілюструють, як порівнювати величини за допомогою співвідношення, і як висловити співвідношення в спрощеному вигляді.
Баскетболіст робить 50 стрибкових пострілів під час тренування. Вона складає 28 з них. Яке співвідношення зроблених пострілів до знятих пострілів? Спростити співвідношення.
Рішення
| \(\ \frac{\text { shots made }}{\text { shots taken }}\) | Визначте відносини. |
| \(\ \frac{28}{50}\) | Висловіть дві величини у вигляді дробу. |
| \(\ \frac{28 \div 2}{50 \div 2}=\frac{14}{25}\) | Спростити дріб, щоб висловити співвідношення в найпростішому вигляді. |
| \ (\\ begin {масив} {r} 14:25\\ 14\ текст {до} 25 \ end {масив}\) |
Розглянемо два інших способи написання співвідношення. Якщо потрібно, ви хочете висловити свою відповідь у певному форматі. |
Співвідношення пострілів, зроблених до знятих пострілів\(\ \frac{14}{25}\), становить, 14:15, або 14 до 15.
Найчастіше одна величина в співвідношенні більше другого. Вам не потрібно писати співвідношення, щоб менша кількість була першою; головне - підтримувати відносини послідовними.
Пол порівнює кількість калорій у великому порядку картоплі фрі з двох своїх улюблених ресторанів швидкого харчування. Fast Foodz рекламує, що замовлення картоплі має 450 калорій, а Beef Stop стверджує, що його картопля фрі має 300 калорій. Напишіть співвідношення, яке представляє кількість калорій у фрі Fast Foodz порівняно з калоріями у картоплі Beef Stop.
Рішення
| \(\ \frac{\text { calories in Fast Foodz fries }}{\text { calories in Beef Stop fries }}\) | Визначте відносини. |
| \(\ \frac{450}{300}\) | Напишіть співвідношення порівняння калорій. |
| \(\ \frac{450 \div 150}{300 \div 150}=\frac{3}{2}\) |
Спростити співвідношення. 450 і 300 мають загальний коефіцієнт 150. |
Співвідношення калорій в Fast Foodz fries до Beef Stop fries становить\ frac {3} {2}, 3:2 або 3 до 2.
Співвідношення можуть порівнювати частину з частиною або частина до цілого. Розглянемо приклад нижче, який описує гостей на вечірці.
Луїза запрошує групу друзів на вечірку. У тому числі Луїза, в цілому налічується 22 людини, 10 з яких жінки.
Що більше: співвідношення жінок до чоловіків на вечірці, або співвідношення жінок до загальної кількості присутніх?
Рішення
| \(\ \frac{\text { number of women }}{\text { number of men }}\) | Визначте перші відносини. |
| \(\ \frac{10}{12}\) | Напишіть співвідношення порівняння жінок з чоловіками. Оскільки є 22 людини і 10 - жінки, 12 повинні бути чоловіками. |
| \(\ \frac{10 \div 2}{12 \div 2}=\frac{5}{6}\) | Спростити співвідношення. 10 і 12 мають загальний коефіцієнт 2; співвідношення жінок до чоловіків на вечірці є\(\ \frac{5}{6}\). |
| \(\ \frac{\text { number of women }}{\text { number of people }}\) | Визначте наступні відносини. |
| \(\ \frac{10}{22}\) | Напишіть співвідношення, яке порівнює кількість жінок із загальною кількістю людей на вечірці. |
| \(\ \frac{10 \div 2}{22 \div 2}=\frac{5}{11}\) | Спростити співвідношення. 10 і 22 мають загальний коефіцієнт 2. |
| \ (\\ почати {масив} {l} \ frac {5\ cdot 1} {6\ cdot 1} =\ frac {5} {66}\ \ frac {5\ cdot 6} {1\ cdot 6} =\ frac {30} {66} \ кінець {масив}\) |
Перепишіть кожен дріб загальним знаменником, 66. |
| \(\ \frac{5}{6}>\frac{5}{11}\) | Так як\(\ \frac{55}{66}>\frac{30}{66}\). |
Співвідношення жінок до чоловіків на вечірці\(\ \frac{5}{6}\), більше, ніж відношення жінок до загальної кількості людей,\(\ \frac{5}{11}\).
Опитування в Університеті Форрестера показало, що 4000 з 6000 студентів не перебувають у шлюбі. Знайдіть співвідношення неодружених до одружених учнів. Експрес як спрощене співвідношення.
- 3 до 2
- від 1 до 3
- 2 до 1
- 2 до 3
- Відповідь
-
- Неправильний. Співвідношення 3 до 2 порівнює загальну кількість учнів з кількістю неодружених студентів. Правильна відповідь - 2 до 1.
- Неправильний. Співвідношення 1 до 3 порівнює кількість одружених студентів із загальною кількістю учнів. Правильна відповідь - 2 до 1.
- Правильно. Якщо 4000 студентів з 6000 не перебувають у шлюбі, то 2000 повинні бути одружені. Співвідношення неодружених до одружених студентів може бути представлено як 4 000 до 2000, або просто 2 до 1.
- Неправильний. Співвідношення 2 до 3 порівнює кількість неодружених студентів із загальною кількістю учнів. Правильна відповідь - 2 до 1.
Тарифи
Ставка - це співвідношення, яке порівнює дві різні величини, які мають різні одиниці виміру. Ставка - це порівняння, яке надає таку інформацію, як долари на годину, фути в секунду, милі на годину та долари за кварт, наприклад. Слово «per» зазвичай вказує на те, що ви маєте справу зі ставкою. Ставки можуть бути написані за допомогою слів, з використанням двокрапки, або як дріб. Важливо, щоб ви знали, які величини порівнюються.
Наприклад, роботодавець хоче орендувати 6 автобусів для перевезення групи з 300 осіб на виїзді компанії. Швидкість опису відносин може бути написана за допомогою слів, за допомогою двокрапки, або як дріб; і ви повинні включити одиниці.
\ (\\ begin {масив} {c}
\ текст {шість шин на} 300\ текст {люди}\\
6\ текст {автобуси:} 300\ текст {люди}\
\ frac {6\ text {автобуси}} {300\ текст {люди}}
\ кінець {масив}\)
Як і при співвідношеннях, ця норма може бути виражена в найпростішому вигляді шляхом спрощення дробу.
\(\ \frac{6 \text { buses}{\div6 }}{300 \text { people}{\div6 }}=\frac{1 \text { bus }}{50 \text { people }}\)
Ця фракція означає, що ставка автобусів до людей становить від 6 до 300 або, спрощене, 1 автобус на кожні 50 чоловік.
Напишіть ставку спрощеною фракцією: 8 телефонних ліній на 36 співробітників.
Рішення
| \(\ \frac{8 \text { phone lines }}{36 \text { employees }}\) | Пишіть як дріб. |
| \(\ \frac{8 \text { phone lines}{\div4 }}{36 \text { employees}{\div4 }}=\frac{2 \text { phone lines }}{9 \text { employees }}\) | Спростити дріб можна за допомогою загального коефіцієнта 4. |
Норма телефонних ліній для співробітників може бути виражена як\(\ \frac{2 \text { phone lines }}{9 \text { employees }}\).
Напишіть ставку спрощеним дробом: 6 стюардес на 200 пасажирів.
Рішення
| \(\ \frac{6 \text { flight attendants }}{200 \text { passengers }}\) | Пишіть як дріб. |
| \(\ \frac{6 \text { flight attendants}{\div2 }}{200 \text { passengers}\div2}=\frac{3 \text { flight attendants }}{100 \text { passengers }}\) | Спростіть дріб, використовуючи загальний коефіцієнт 2. |
Норма бортпровідників пасажирам становить\(\ \frac{3 \text { flight attendants }}{100 \text { passengers }}\).
Аніла їде на своєму велосипеді 18 блоків за 20 хвилин. Висловлюйте її ставку як спрощену дріб.
- \(\ 18: 20\)
- \ (\\ begin {масив} {cc}
9 &\ текст {блоки}
\\ hline 10 &\ текст {хвилини}
\ кінець {масив}\) - \(\ \frac{9 \text { minutes }}{10 \text { blocks }}\)
- \(\ \frac{18 \text { blocks }}{20 \text { minutes }}\)
- Відповідь
-
- \(\ 18: 20\)
Неправильний. Подорож Аніли порівнює кількості з різними одиницями, тому її можна описати як швидкість. Оскільки ставки порівнюють дві величини, виміряні в різних одиницях виміру, вони повинні включати свої одиниці. Правильна відповідь:\ (\ begin {вирівняні}
9 &\ text {блоки}\
\ hline 10 &\ text {хвилини}
\ end {вирівняні}\). - \ (\\ begin {масив} {cc}
9 &\ текст {блоки}
\\ hline 10 &\ текст {хвилини}
\ кінець {масив}\)Правильно. Подорож Аніли порівнює величини з різними одиницями (блоки та хвилини), тому це швидкість і може бути записана\ (\\ begin {масив} {cc}
18 &\ text {blocks}\
\ hline 20 &\ text {minutes}
\ end {array}\). Цей дріб можна спростити, розділивши і чисельник, і знаменник на 2. - \(\ \frac{9 \text { minutes }}{10 \text { blocks }}\)
Неправильно. 18 блоків за 20 хвилин не еквівалентно 10 блокам за 9 хвилин. Перевірте одиниці ще раз у вашій відповіді. Правильна відповідь:\ (\ begin {вирівняні}
9 &\ text {блоки}\
\ hline 10 &\ text {хвилини}
\ end {вирівняні}\). - \(\ \frac{18 \text { blocks }}{20 \text { minutes }}\)
Неправильний. Подорож Аніли порівнює кількості з різними одиницями, тому її можна описати як швидкість. Це правильне уявлення і включає в себе одиниці, але дріб можна спростити. Правильна відповідь:\ (\ begin {вирівняні}
9 &\ text {блоки}\
\ hline 10 &\ text {хвилини}
\ end {вирівняні}\).
- \(\ 18: 20\)
Пошук одиничних ставок
Одинична ставка порівнює кількість з однією одиницею виміру. Ви часто бачите швидкість, з якою рухається об'єкт з точки зору його одиниці.
Наприклад, якщо ви хотіли описати швидкість хлопчика, який їде на своєму велосипеді - і ви вимірювали відстань, яку він пройшов у милі за 2 години - ви, швидше за все, висловите швидкість, описуючи відстань, пройдену за одну годину. Це одинична ставка; вона дає пройдену відстань за одну годину. Знаменник одиничної ставки завжди буде один.
Розглянемо на прикладі автомобіля, який проїжджає 300 миль за 5 годин. Щоб знайти одиничну ставку, ви знайдете кількість пройдених миль за одну годину.
\(\ \frac{300 \text { miles}{\div5 }}{5 \text { hours}{\div5 }}=\frac{60 \text { miles }}{1 \text { hour }}\)
Поширеним способом написання цієї одиничної ставки є 60 миль на годину.
Переповнений поїзд метро має 375 пасажирів, розподілених рівномірно між 5 вагонами. Яка одинична норма пасажирів на вагон метро?
Рішення
| \(\ \frac{\text { passengers }}{\text { subway cars }}\) | Визначте відносини. |
| \(\ \frac{375 \text { passengers }}{5 \text { subway cars }}\) | Запишіть швидкість у вигляді дробу. |
| \(\ \frac{375 \text { passengers } \div 5}{5 \text { subway cars } \div 5}=\frac{75 \text { passengers }}{1 \text { subway car }}\) | Висловіть дріб з 1 в знаменнику, щоб знайти кількість пасажирів в одному вагоні метро. |
Одиниця ставки вагона метро становить 75 гонщиків на вагон метро.
Пошук цін на одиницю
Ціна одиниці - це одинична ставка, яка виражає ціну чогось. Ціна одиниці завжди описує ціну однієї одиниці, так що ви можете легко порівняти ціни.
Можливо, ви помітили, що продуктові полиці позначені ціною одиниці (а також загальної ціни) кожного товару. Ця ціна за одиницю дозволяє покупцям легко порівнювати ціни конкуруючих брендів та різних розмірів упаковки.
Розглянемо дві ємності чорниці, показані нижче. Це може бути важко вирішити, що краще купити, просто дивлячись на ціни; контейнер зліва дешевше, але ви також отримуєте менше чорниці. Кращим показником вартості є ціна за одну унцію чорниці для кожного контейнера.
Подивіться на ціни одиниці - контейнер праворуч насправді є кращою угодою, оскільки ціна за унцію нижча за одиницю ціни контейнера зліва. Ви платите більше грошей за більший контейнер чорниці, але ви також отримуєте більше чорниці, ніж ви б з меншим контейнером. Простіше кажучи, контейнер праворуч є кращим значенням, ніж контейнер зліва.
Отже, як знайти ціну за одиницю?
Уявіть, що покупець хотів використати ціни за одиницю, щоб порівняти 3-упаковку тканини за 4,98 долара з однією коробкою тканини за ціною 1,60 долара. Яка вигідна угода?
Знайдіть ціну за одиницю 3 упаковки:\(\ \frac{\$ 4.98}{3 \text { boxes }}\)
Оскільки ціна вказана за 3 коробки, розділіть і чисельник, і знаменник на 3, щоб отримати ціну 1 коробки, ціну за одиницю. Ціна за одиницю становить $1.66 за коробку.
Ціна за одиницю 3 упаковки становить 1,66 долара за коробку; порівняйте це з ціною однієї коробки в 1,60 долара. Дивно, але 3-пакет має більш високу ціну за одиницю! Купівля однієї коробки - це краща вартість.
Як і ставки, ціни за одиницю часто описуються словом «за». Іноді похила лінія/використовується для позначення «per». Ціна тканини може бути написана $1.60/коробка, де написано «$1.60 за коробку».
3 фунта філейних наконечників коштують 21 долар. Яка ціна одиниці за фунт?
Рішення
| \(\ \frac{\$ 21.00}{3 \text { pounds }}\) | Напишіть ставку, щоб представляти вартість за кількість фунтів. |
| \(\ \frac{\$ 21.00 \div 3}{3 \text { pounds}{\div3 }}=\frac{\$ 7.00}{1 \text { pound }}\) | Висловіть дріб з 1 в знаменнику, розділивши і чисельник, і знаменник на 3. |
Ціна одиниці філейних наконечників становить 7,00 дол. США/фунт.
Наступний приклад показує, як використовувати ціну за одиницю для порівняння двох продуктів та визначення того, який має нижчу ціну.
Самі намагається визначитися між двома марками крекерів. Яка марка має нижчу ціну за одиницю?
Марка А: $1.12 за 8 унцій
Марка B: $1.56 за 12 унцій
Рішення
| Марка А | |
| \(\ \frac{\$ 1.12}{8 \text { ounces }}\) | Напишіть ставку, щоб представити вартість за унцію для марки А. |
| \(\ \frac{\$ 1.12 \div 8}{8 \text { ounces}{\div8 }}=\frac{\$ 0.14}{1 \text { ounce }}\) | Знайти ціну за одиницю марки А, розділивши чисельник і знаменник на 8. |
| Марка B | |
| \(\ \frac{\$ 1.56}{12 \text { ounces }}\) | Напишіть ставку, щоб представити вартість за унцію для бренду B. |
| \(\ \frac{\$ 1.56 \div 12}{12 \text { ounces }{\div12 }}=\frac{\$ 0.13}{1 \text { ounce }}\) | Знайти ціну за одиницю марки Б, розділивши чисельник і знаменник на 12. |
| \(\ \frac{\$ 0.14}{1 \text { ounce }}>\frac{\$ 0.13}{1 \text { ounce }}\) | Порівняйте ціни на одиницю. |
Ціна одиниці крекерів марки А становить 14 центів/унція, а ціна одиниці марки B - 13 центів/унція. Марка B має нижчу ціну за одиницю і представляє кращу вартість.
Покупець порівнює дві упаковки рису в продуктовому магазині. Пакет 10 фунтів коштує 9,89 доларів, а 2-фунтовий пакет коштує 1,90 долара. Який пакет має нижчу ціну за одиницю до найближчого цента? Яка його ціна за одиницю?
- 2-фунтовий мішок має нижчу ціну за одиницю - $95/фунт.
- 10-фунтовий мішок має нижчу ціну за одиницю - 0,99 дол. США/фунт.
- 10-фунтовий мішок має нижчу ціну за одиницю - $95/фунт.
- 2-фунтовий мішок має нижчу ціну - 1,89/2 фунта.
- Відповідь
-
- Правильно. Ціна одиниці за фунт за 2-фунтовий мішок становить\(\ \$ 1.90 \div 2=\$ 0.95\). Ціна одиниці за фунт за 10-фунтовий мішок становить\(\ \$ 9.89 \div 10=\$ 0.989\), який округляється до $0.99.
- Неправильний. \(\ \$ 9.89 \div 10=\$ 0.989\), який округляється до $0.99. \(\ \$ 1.90 \div 2=\$ 0.95\). 2-фунтовий мішок має нижчу ціну за одиницю. Правильна відповідь - А.
- Неправильний. \(\ \$ 9.89 \div 10=\$ 0.989\), який округляється до $0.99. Правильна відповідь - А.
- Неправильний. Ціна одиниці - це ціна за одну одиницю; в цьому випадку вам потрібно знайти вартість одного фунта, а не двох фунтів. Правильна відповідь - А.
Резюме
Співвідношення і ставки використовуються для порівняння величин і вираження взаємозв'язків між величинами, виміряними в одних і тих же одиницях виміру і в різних одиницях виміру. Вони обидва можуть бути записані як дріб, використовуючи двокрапку, або використовуючи слова «to» або «per». Оскільки ставки порівнюють дві величини, виміряні в різних одиницях виміру, таких як долари на годину або лікарняні дні на рік, вони повинні включати свої одиниці. Одинична ставка або ціна одиниці - це ставка, яка описує ставку або ціну за одну одиницю виміру.