12: Моделювання

12.1 Що таке модель?

Модель - це уявлення про реальність, яка дозволяє нам зрозуміти щось краще. Існує багато типів моделей, включаючи концептуальні, математичні та фізичні моделі. Фізична модель - це фізичний об'єкт або сукупність об'єктів, призначених для представлення чогось іншого, занадто великого, малого, складного або іншого недоступного для прямого дослідження. Концептуальна модель являє собою сукупність гіпотезованих зв'язків між різними об'єктами або змінними, і зазвичай описується в розповіді. З раннього віку ми вчимося будувати як фізичні, так і концептуальні моделі. Діти створюють концептуальні моделі, щоб допомогти їм зрозуміти причинно-наслідкові зв'язки, які призводять до бажаних або небажаних результатів («якщо я стрибаю вниз на один-два кроки, це весело, але якщо я стрибаю вниз на три або більше кроків, це болить ноги: стрибки далі болять більше»). Коли мій класний син будує космічний корабель з Легоса, він створює фізичну модель космічного корабля, який він бачив у фільмі чи книзі. Це не особливо складні моделі, але вони все ж є способами представлення якогось аспекту реальності (або уявної реальності).

Як і у випадку з Легосом, математичні моделі можуть служити здебільшого бажанням до творчої гри. Як і моделі Lego, цілком можливо створити математичну модель, яка погано представляє реальність, і тому не дуже корисна. Можливо, ми стверджуємо, що створили модель автомобіля, але якщо ми склали лише прямокутні цеглини разом і не змогли додати колеса, це не особливо хороша чи корисна модель автомобіля. Таким чином, побудова та використання моделі має здійснюватися з урахуванням більш широкого контексту проблеми. Засіб має виправдовувати бажані кінці.

Евристичний

Математичні моделі є настільки ж корисними, як і концептуальні моделі, на яких вони засновані.

У цій книзі нас цікавлять математичні та концептуальні моделі та зв'язки між ними. Зрештою, наша мета не обов'язково стати математичними модельєрами, а скоріше в тому, щоб мати можливість будувати, використовувати та розуміти моделі, які можуть допомогти у вирішенні проблем. Дійсно, багато математичних моделей походять від бажання кількісно оцінити відносини в концептуальній моделі, розробленій для вирішення проблеми. Кілька можливих підходів до кількісної оцінки призводять до декількох різновидів математичних моделей. Ми зосередимо нашу дискусію на трьох різних, але пов'язаних типах математичних моделей, які відрізняються своїм витоком та реалізацією. Перші два ґрунтуються на теорії, тоді як третій часто виникає внаслідок статистичного аналізу даних.

• Аналітичні моделі зазвичай розробляються з теорії, заснованої на фундаментальних фізичних, хімічних або біологічних принципах. Гіпотеза про те, що висота дерева повинна масштабуватися з його діаметром стовбура, піднятим на 2/3 потужності, щоб зберегти структурну цілісність, є такою моделлю. Ці моделі часто бувають найзагальнішими і абстрактними, а іноді можуть бути вирішені папером і олівцем. Однак вони можуть стати безнадійно складними та нерозв'язними, коли хтось намагається включити реалістичні деталі та контекст. Ідеалізації, необхідні для того, щоб зробити аналітичну модель розв'язною, також іноді можуть обмежити її корисність.
• Чисельні моделі можуть бути створені та мотивовані так само, як і аналітичні моделі, але використовують методи математичного наближення, які дозволяють розслабити аналітичні ідеалізації та введення деталей, не роблячи рівняння занадто важкими для розв'язання. Чисельні моделі можуть бути вирішені вручну для дуже маленьких систем, але більш доцільно реалізовані в комп'ютерних програмах.
• Емпіричні моделі можуть мати аналітичні або числові компоненти, але містити параметри, які повинні бути кількісно визначені експериментом або систематичним спостереженням. Дані повинні бути включені і, як правило, аналізуються статистично, щоб визначити значення параметрів. У деяких випадках регресія використовується для обмеження функціональних зв'язків між змінними або для виявлення значення коефіцієнтів. Таким чином, повністю емпірична модель керується даними або калібрується даними.

Ми вже бачили або працювали з кількома прикладами моделей. Логістична модель зростання населення, яку ми коротко розглянули в розділі 10.1.3, є теоретичною моделлю, яка може бути реалізована як в числовому, так і аналітичному вигляді. Однак навіть ця модель має емпіричні складові, оскільки її використання в практичному вирішенні проблем вимагає деяких спостережних обмежень на r і K. Коли ми розв'язували загальну популяцію струмкової форелі в розділі 11.2.1, ми використовували емпіричну модель, відому як метод Леслі, яка базується на концептуальній моделі зміни ймовірності вилову при зниженні популяції.

12.1.1 Приклад: Універсальне рівняння втрат ґрунту (USLE)

Широко використовуване універсальне рівняння втрат ґрунту (USLE) є прикладом емпіричної моделі. Основне рівняння для USLE:

\[A = RKLSCP \label{12.1} \]

де A - втрата ґрунту (зазвичай у тоннах/акр/рік), R - коефіцієнт ерозійності опадів, K - коефіцієнт ерозивності ґрунту, L і S - фактори довжини нахилу та кута нахилу, C - коефіцієнт ґрунтового покриву, а P - параметр що враховує практику або споруди збереження ґрунтів.

Фактори в USLE - це величини, значення яких неможливо виміряти безпосередньо. Натомість числові значення кожне походить від комбінації ретельно розроблених польових експериментів, де всі, крім одного фактора, тримаються постійними. Значення фактора потім виводяться з виміряних відмінностей у втратах ґрунту.

Велике значення USLE і його родичів полягає в тому, що він досить простий у використанні, що фермери з невеликою формальною підготовкою з математики або обчислень можуть легко отримати задовільні результати. Більшість значень факторів можна шукати в таблицях або вимірювати на землі або з карт.

Простота використання приходить за ціною, однак. Оскільки значення факторів походять від експериментів, вони суворо дійсні лише в межах
діапазону умов, розглянутих в експериментах. Іншими словами, якщо застосовувати його в налаштуваннях, де, наприклад, інтенсивність опадів вдвічі більша за найбільшу, що спостерігається в експериментах, достовірність результатів є невизначеною. Тому повністю емпіричні моделі іноді можуть бути ненадійними в умовах поза діапазоном умов, за яких визначалися значення коефіцієнтів.

12.1.2 Приклад: ймовірність зіткнень з оленями та автомобілями (проблема 3.3)

Як ми вже бачили, простих теоретичних моделей іноді може бути достатньо для вивчення цілого ряду системної поведінки, навіть коли функціональні відносини невизначені. Ці моделі будуть неминучими через обмежену владу спрощуючими припущеннями або ідеалізаціями, які використовуються, але коли наука чи проблема управління дозволяють вирішити значну невизначеність, цей підхід все ще виправданий.

Припустимо, що олені в нашому окрузі випадковим чином розподілені в космосі, і що у них немає особливих причин ні уникати, ні шукати дороги. Назвіть загальну площу графства А\(_{c}\) і частку площі, зайнятої дорогами f, щоб площа доріг A\(_{r}\) = f A\(_{c}\). Припустимо, що в окрузі N\(_{0}\) оленів. Звідси випливає, що - якщо олені випадково розподілені - в будь-який момент на дорозі буде приблизно f N\(_{0}\) оленів. Що це за номер відповідно до номерів, які ми створили раніше для Story County, штат ІА? Значення f оцінювалося приблизно 0,0076, тому, якщо в окрузі є, скажімо, 1000 оленів, ми повинні очікувати або 7, або 8 з них на дорозі в будь-який момент часу. Це здається розумним, але це не те, що ми після. Ми хотіли б знати про те, наскільки ймовірні зіткнення між
оленями та автомобілями. Тож нам потрібно працювати над чимось щодо кількості та відстані автомобільних поїздок через дорожню систему, чи не так? Це залишається як вправа для учня, так як існує безліч можливих способів наблизитися до цього.

12.2 Робота з вищою математикою

Для дослідження та опису явищ в природі розроблено багато потужних математичних моделей. Одні з найпотужніших - це ті, які дозволяють прогнозувати неспостережувані або майбутні події чи закономірності. Вони можуть безпосередньо інформувати управлінські рішення за умови, що керівники довіряють і розуміють їх результати. На жаль, багато хто з цих потужних моделей використовують математичні концепції та методи, які виходять за рамки типової підготовки студентів з математики. Чи означає це, що більшість людей приречені ніколи не розуміти і не використовувати ці моделі? Абсолютно ні! Існує не притаманна причина того, що студенти повинні пройти курси обчислення, лінійної алгебри або диференціальних рівнянь, перш ніж вони зможуть зрозуміти суть моделі, побудованої з цими навичками. Це, безумовно, допомагає мати принаймні концептуальне розуміння деяких ключових понять у обчисленні, але це не означає передумови.

12.2.1 Приклад: чума прерійних собак (проблема 3.4)

Оскільки ця проблема стосується гіпотетичних майбутніх подій, можливо, неможливо отримати відповідь безпосередньо з минулої роботи або спостереження. Натомість ми можемо побудувати просту модель спільноти прерійних собак з випадковими ймовірнісними взаємодіями між добре змішаними особами.

Поширеним способом моделювання передачі захворювання є модель купе, яку часто називають SIR. Ми вважаємо, що особи в популяції перебувають у одному з трьох (або чотирьох) станів: сприйнятливі (S), інфіковані (I) та видалені (R) або відновлені. Особи переміщаються з відсіку S в відсік I шляхом передачі хвороби. Заражені особини в відсіку I потім або відновлюються і переїжджають в відсік R, або видаляються з популяції смертю або ізоляцією. Ці переходи між відсіками часто описуються системою диференціальних рівнянь:

\(\frac{dS}{dt}\)= − βSi (12.2)

\(\frac{dI}{dt}\)= β СІ − γI (12,3)

\(\frac{dR}{dt}\)= γI (12,4)

Ці диференціальні рівняння не легко вирішуються в більшості випадків, але ми можемо використовувати їх як основу для чисельного моделювання динаміки захворювання, якщо ми можемо оцінити параметри β і γ. Числове представлення першого рівняння може виглядати приблизно так, наприклад:

S\(_{t+1}\) = S\(_{t}\) − βS\(_{t}\) I\(_{t}\) (12.5)

I\(_{t+1}\) = I\(_{t}\) + βS\(_{t}\) I\(_{t}\) − γI\(_{t}\) (12,6)

R\(_{t+1}\) = R\(_{t}\) + γI\(_{t}\) (12,7)

Це говорить про те, що в даний час сприйнятливі особини переміщуються з відсіку S в I (інфікований) відсік зі швидкістю, пропорційною добутку чисел особин у кожному відсіку і постійної швидкості передачі β. У першому та другому рівняннях вище ви можете бачити, що коли кількість індивідів заражених відповідно до терміну β SI втрачено з відсіку S (оскільки воно негативне), воно отримується (позитивне) у I відсіку. Всі особи враховуються при переїзді в I відсік або з нього. Аналогічним чином особини переміщаються з I відсіку в відсік R зі швидкістю, регульованою постійною швидкістю γ. Вибір цих констант швидкості значною мірою керує поведінкою моделі, а отже і прогнозованою долею колонії прерійних собак. Але реалізація варіантів управління на основі позитивних результатів моделі - це те, де виникає найбільша проблема.

12.3 Масштабування влади

Розглянемо цей, здавалося б, нешкідливий питання: чи важчі більші тварини, ніж менші тварини?

Ти: Хммм, ну да я так думаю?! Наприклад, дорослий ведмідь важить більше, ніж заєць снігоступів.

Добре, здорово, але як би ми знали, якщо це вірно в цілому? І що саме ми маємо на увазі під більшим? Чи означає це вище? Більший об'єм? Це викликає кілька питань, які стають важливими, коли ми говоримо про реальні величини, а не абстрактні змінні. Однозначно визначення величин може стати важливим першим кроком у повідомленні кількісної інформації. У наступному розділі ми будемо конкретно про те, яка інформація необхідна для повного визначення кількості. А поки давайте домовимося, що ми задоволені співвідношенням маси тварини з її обсягом. Чи важать тварини, які займають більше місця (тобто мають більший об'єм)? Може бути, ми можемо сказати це по-іншому: чи пропорційна вага або маса тварини його розміру тіла? Ми могли б написати це в символах:

М V? (12,8)

Символ '' між M (маса тіла) і V (об'єм) означає «пропорційний». Так що це не рівняння ще тому, що ми не впевнені, що щось рівне. І звичайно ж це нісенітниця, що вага тварини дорівнює його обсягу. Повинен бути якийсь інший параметр, який перетворює обсяг тварини в масу. Давайте назвемо його c, і спробуємо його в рівнянні:

М = резюме (12,9)

Але що таке c? Як ми вже говорили вище, ми вважаємо за краще мати певне значення для символів, які ми кидаємо навколо в рівняннях. Давайте використаємо один із наших старих алгебраїчних інструментів для маніпулювання рівняннями та «розв'яжемо рівняння для c». Під цим ми маємо на увазі отримати c на одну сторону рівняння все само по собі. Щоб потрапити туди, нам просто потрібно розділити обидві сторони рівняння на V, отримавши:

\(\frac{M}{V}\)= с (12.10)

Тепер нагадаємо, що визначення щільності - це маса на одиницю об'єму. Це саме те, що ми маємо на лівій стороні рівняння! Отже, наше рівняння тепер говорить, що c, параметр, який ми використовували для перетворення об'єму в масу, такий же, як щільність! Так для окремої тварини параметром, який відносить масу до обсягу, є щільність. Як ми вже робили раніше, припустимо, що більшість тварин мають щільність, близьку до щільності води, тому цей параметр пропорційності c суттєво не відрізняється між видами. Тому в тій мірі, в якій правильно сказати, що щільність тіла більшості тварин близька до щільності води, ми можемо стверджувати, що більші тварини дійсно важать більше, загалом.

Це, мабуть, не дуже глибоке одкровення для вас. Але лише за кілька невеликих стрибків у логіці ми можемо отримати десь значно цікавіше. Вже більше століття біологи були заінтриговані чудовою залежністю між основним метаболізмом і масою тіла для тварин широкого діапазону розмірів і форм. Дивно, якщо зібрати великий набір даних і побудувати його на графіку з логарифмічною шкалою, миші, люди і слони, а більшість інших падають по прямій лінії! Рівняння, що описує цю залежність і лінію на графіку, виглядає так:

Б = Б\(_{0}\) М\(^{b}\) (12,11)

де B - основний метаболізм, M - маса тіла, як і раніше, а B\(_{0}\) і b - константи (ми побачимо, що вони означають пізніше!). Це рівняння є ще одним законом влади, і рівняння з цією формою спливають дивно часто в екології, як тільки ви починаєте шукати. Пізніше ми отримаємо більше функцій та законів влади. Але на даний момент слід зробити деякі важливі моменти:

• Аргумент про те, що повинна існувати пропорційність між масою тіла та швидкістю обміну речовин, спочатку був задуманий теоретично на підставі того, що енергія, що виділяється твариною оточенню, може залежати здебільшого від площі поверхні тварини, тоді як її масові масштаби з об'ємом.
• Вимірювання багатьма дослідниками протягом більш ніж століття порівнювалися з цим теоретичним прогнозом, з різним ступенем успіху. Однак у більшості випадків відносини влади та права дотримуються.
• Порівнюючи теоретичні прогнози з реальними даними, можна виявити дійсно нові та цікаві речі про фізіологічні подібності або відмінності між різними організмами - розуміння, яке ми ніколи не розвивали без кількісного аналізу.

  Розберемося в цьому більш детально трохи пізніше.