4.1: Кількісні показники
- Page ID
- 65337
Раніше ми спостерігали, що не можна повністю висловити ідеї, пов'язані з кількістю, наприклад, «деякі» або «всі». У цьому розділі ми заповнимо цю прогалину, вводячи кількісні символи. Разом з предикатами і множинами, про які вже йшлося мова. Потім ми будемо використовувати цю мову для перекладу тверджень з англійської мови в математичні позначення.
У нашому першому прикладі ми будемо використовувати цей ключ символізації:
\(\mathcal{U}\): Безліч всіх людей.
\(L\): Набір всіх людей в Летбридж.
\(A\): Безліч всіх розлючених людей.
\(H\): Безліч всіх щасливих людей.
\(x\)\(R\)\(y\):\(x\) багатше, ніж\(y\)
\(d\): Дональд
\(g\): Грегор
\(m\): Мерібет
Тепер розглянемо такі твердження:
- Всі задоволені.
- Всі в Летбриджі щасливі.
- Всі в Летбриджі багатші за Дональда.
- Хтось у Летбриджі злиться.
Можливо, буде спокусливо перевести Assertion 1. як\((d \in H) \& (g \in H) \& (m \in H)\). Тим не менш, це лише говорить про те, що Дональд, Грегор та Мерібет щасливі. Ми хочемо сказати, що всі щасливі, навіть якщо ми не перерахували їх у нашому символічному ключі. Для того щоб це зробити, вводимо символ «\(\forall\)». Це називається універсальним квантором. \[\forall x \text { means "for all } x \text { " }\]
Квантор завжди повинен супроводжуватися змінною, а потім формулою, до якої застосовується квантор. Ми можемо перевести твердження 1. як\(\forall x, (x \in H)\). Перефразовуючи англійською мовою, це означає «Для всіх\(x\)\(x\) щасливий».
У кількісних твердженнях, таких як цей, змінна\(x\) служить своєрідним заповнювачем. Вираз\(\forall x\) означає, що ви можете вибрати кого завгодно і поставити їх як\(x\). Немає особливих причин використовувати\(x\) замість якоїсь іншої змінної. Твердження «\(\forall x, (x \in H)\)» означає точно те ж саме, що і «\(\forall y , (y \in H)\),» «\(\forall z, (z \in H)\),» або «»\(\forall x_5, (x_5 \in H)\).
Щоб перевести Assertion 2., ми використовуємо іншу версію універсального квантора:\[\text { If } X \text { is any set, then } \forall x \in X \text { means "for all } x \text { in } X \text { " }\]
Тепер ми можемо перевести Assertion 2. як\(\forall \ell \in L, (\ell \in H)\). (Було б також логічно правильно писати\(\forall x \in L, (x \in H)\), але\(\ell\) краще назвати елемент множини\(L\).) Перефразовуючи англійською мовою, наше символічне твердження означає «Для всіх\(\ell\) в Летбриджі\(\ell\) щасливий».
Твердження 3. можна перефразувати як: «Для всіх\(\ell\) в Летбриджі\(\ell\) багатший, ніж Дональд». Це перекладається як\(\forall \ell \in L, (\ell \mathrel{R} d)\).
Щоб перевести Assertion 4., Введемо ще один новий символ: екзистенціальний квантор,\(\exists\). \[\exists x \text { means "there exists some } x \text {, such that" }\]
Якщо\(X\) є який-небудь набір, то\(exists x \in X\) означає
«існує якийсь\(x\) в\(X\), такий, що»
Пишемо\(\exists \ell \in L, (\ell \in A)\). Це означає, що\(\ell\) в Летбриджі існує хтось, хто розлючений. Точніше, це означає, що в Летбриджі є хоча б одна розлючена людина. Знову ж таки, змінна є своєрідним заповнювачем; було б логічно правильно (але погана форма) перевести Assertion 4. як\(\exists z \in L, (z \in A)\).
Розглянемо цей ключ символізації.
\(S\): Набір всіх учнів.
\(B\): Набір всіх книг.
\(N\): Безліч усіх романів.
\(x\)\(L\)\(y\):\(x\) любить читати\(y\).
Потім:
- \(\forall n \in N, (n \in B)\)означає «кожен роман - це книга», і
- \(\forall s \in S, \bigl( \exists b \in B, (s \mathrel{L} b) \bigr)\)означає «для кожного учня є якась книга, яку студент любить читати».
Зверніть увагу, що всі кількісні показники в цьому прикладі мають форму\(\forall x \in X\) або\(\exists x \in X\), ні\(\forall x\) або\(\exists x\). Тобто всі змінні варіюються над конкретними множинами, а не вільно поширюються на весь всесвіт дискурсу. Через це прийнятно опустити вказівку всесвіту дискурсу. Звичайно, всесвіт дискурсу (яким би він не був) повинен включати принаймні всіх учнів, всі книги та всі романи.
Припустимо\(A\) і\(B\) є множинами.
Дайте свої відповіді в позначенні логіки першого порядку (не англійською).
- Що означає сказати, що\(A\) це підмножина\(B\)?
- Що означає сказати, що не\(A\) є підмножиною\(B\)?