Про книгу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 63280

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Це підручник для першого курсу з лінійної алгебри. Звичайно, вже є багато підручників з тонкої лінійної алгебри. Навіть якщо ви читаєте цей онлайн безкоштовно, ви повинні знати, що є інші безкоштовні підручники з лінійної алгебри, доступні в Інтернеті. У вас є вибір! Так чому б ви обрали цей?

Ця книга виникає з мого переконання, що лінійна алгебра, як представлена в традиційній навчальній програмі бакалаврату, занадто довго жила в тіні обчислення. Багато математичних програм в даний час вимагають від своїх студентів, щоб закінчити принаймні три семестри обчислення, але тільки один семестр лінійної алгебри, який часто має два семестри обчислення як обов'язкова умова.

Крім того, з чим стикаються студенти з лінійної алгебри, часто представлені надмірно формально, що не повністю представляє діапазон лінійного алгебраїчного мислення. Дійсно, багато програм використовують перший курс з лінійної алгебри як курс «введення в докази». Хоча лінійна алгебра забезпечує відмінне введення в математичні міркування, щоб лише підкреслити цей аспект предмета, нехтує деякими важливими потребами учня.

Звичайно, лінійна алгебра заснована на сукупності абстрактних принципів. Однак ці принципи лежать в основі надзвичайно широкого спектру технологій, які глибоко формують наше суспільство. Взаємодія цих принципів і їх застосування дає унікальну можливість для роботи зі студентами. По-перше, розгляд значущих реальних проблем обґрунтовує абстрактне математичне мислення таким чином, що поглиблює розуміння учнів. У той же час різноманітність способів застосування цих абстрактних принципів наочно демонструє для студентів силу математичної абстракції. Лінійна алгебра дає можливість студентам випробувати те, що фізик Євген Вігнер назвав «необгрунтованою ефективністю математики в природничих науках», аспектом математики, який є одночасно фундаментальним і загадковим.

Нехтування цим досвідом не служить нашим студентам добре. Наприклад, лише близько 15% нинішніх математичних спеціальностей продовжуватимуть відвідувати аспірантуру. Решта спрямовані на кар'єру, яка попросить їх використовувати математичну підготовку в бізнесі, промисловості та уряді. Як виглядають ці кар'єри? Зараз аналітика даних та інтелектуальний аналіз даних, комп'ютерна графіка, розробка програмного забезпечення, фінанси та дослідження операцій. Ці кар'єри набагато більше залежать від лінійної алгебри, ніж від числення. Окрім допомоги студентам оцінити глибокі зміни, які математика принесла нашому суспільству, більше навчання лінійної алгебри допоможе нашим студентам брати участь у неминучих подіях, які ще попереду.

Ці думки не є однозначно моїми, і вони не особливо нові. Навчальна група з лінійної алгебри, широко заснована група математиків та викладачів математики, що фінансується Національним науковим фондом, сформована для вдосконалення викладання лінійної алгебри. У своїй підсумковій доповіді вони написали

Зростає занепокоєння тим, що навчальна програма лінійної алгебри у багатьох школах недостатньо відповідає потребам учнів, яких вона намагається обслуговувати. В останні роки попит на навчання лінійної алгебри зріс у таких дисциплін клієнтів, як інженерія, інформатика, дослідження операцій, економіка та статистика. У той же час апаратні та програмні вдосконалення в інформатиці підняли силу лінійної алгебри для вирішення проблем, які на порядки більше, ніж мріяли кілька десятиліть тому. І все ж на багатьох курсах важливість лінійної алгебри в прикладних областях не повідомляється студентам, і вплив комп'ютера не відчувається в класі, при виборі теми, що охоплюються, або в режимі презентації. Крім того, надмірний акцент на абстракції може перевантажити початківців студентів до того моменту, коли вони залишають курс з невеликим розумінням або оволодінням основними поняттями, які вони можуть знадобитися в пізніших курсах та їх кар'єрі.

Крім того, серед їхніх рекомендацій є наступне:

Ми вважаємо, що перший курс з лінійної алгебри слід викладати таким чином, щоб відображати його нову роль як наукового інструменту. Це передбачає менший акцент на абстракції та більший акцент на вирішенні проблем та мотивації додатків.

Що може бути дивним, це те, що це було написано в 1993 році; тобто до введення алгоритму PageRank від Google, до історії іграшок Pixar, і до зростання того, що ми називаємо «великими даними», зробили ці заяви лише більш актуальними.

Маючи на увазі ці думки, мета цієї книги полягає в тому, щоб полегшити більш повний, багатший досвід лінійної алгебри для всіх учнів, що інформує наступні рішення.

Ця книга написана без припущення, що студенти пройшли курс обчислення. Приймаючи це рішення, я сподіваюся, що студенти отримають більш автентичний досвід математики через лінійну алгебру на більш ранньому етапі своєї академічної кар'єри.
Дійсно, загальним бар'єром для успіху студентів в обчисленні є його відносно висока передумова вежа кульмінацією курсу, який часто називають «Preculus». На відміну від цього, лінійна алгебра починається з набагато простіших припущень щодо підготовки наших учнів: вивчені вирази є лінійними, так що ними можна маніпулювати лише чотирма основними арифметичними операціями.

Найпоширенішим поясненням, яке я чую, що вимагає числення як передумови лінійної алгебри, є те, що обчислення розвиває у студентів корисну «математичну зрілість». Враховуючи наполегливу боротьбу студентів з обчисленням, однак, здається настільки ж розумним розвивати здібності учнів математично міркувати за допомогою лінійної алгебри.
Текст включає ряд значущих застосувань важливих лінійних алгебраїчних понять, таких як комп'ютерна анімація, алгоритм стиснення JPEG та алгоритм PageRank Google. З мого досвіду, студенти вважають ці програми більш автентичними та переконливими, ніж типові програми, представлені в класі обчислення. Ці програми також забезпечують сильне обгрунтування математичної абстракції, яка часто засмучує початківців студентів.
Кожен розділ починається з попереднього перегляду діяльності і включає ряд заходів, які можуть бути використані для полегшення активного навчання в класі. На сьогоднішній день ефективність активного навчання в наданні допомоги студентам розвивати глибоке розуміння важливих математичних концепцій не викликає суперечок. Діяльність тут покликана посилити ідеї, які вже зустрічаються, мотивувати потребу в майбутніх ідеях та допомогти студентам розпізнати різні прояви простих базових тем. Наскільки це можливо, учнів просять розробити нові ідеї і взяти на себе володіння ними.
Діяльність підкреслює широкий спектр математичного мислення. Замість того, щоб забезпечити традиційний цикл визначення теореми-докази, Розуміння лінійної алгебри має на меті розвинути оцінку ідей як виникають у відповідь на потребу, яку сприймають учні. Працюючи так само, як і математики дослідження, студентів просять розглянути приклади, які ілюструють важливість ключових понять, щоб визначення виникали як природні мітки, що використовуються для ідентифікації цих понять. Знову використовуючи приклади як мотивацію, учнів просять математично міркувати та пояснити загальні явища, які вони спостерігають, які потім записуються як теореми та пропозиції. Однак це не намір цієї книги розвивати у студентів формальні навички коректури.
Є часто вбудовані клітини Sage, які допомагають розвивати обчислювальну майстерність студентів. Вплив лінійної алгебри на наше суспільство нерозривно пов'язаний з феноменальним збільшенням обчислювальних потужностей, що спостерігалися за останні півстоліття. Дійсно, Карл Коуен, колишній президент Математичної асоціації Америки, сказав: «Жодне серйозне застосування лінійної алгебри не відбувається без комп'ютера». Це означає, що розуміння лінійної алгебри не є повним без розуміння того, наскільки важливі величини практично обчислюються.
Текст має на меті використовувати геометричну інтуїцію для посилення алгебраїчного мислення. Незважаючи на те, що це може бути важко візуалізувати\(\R^{1000}\), багато лінійних алгебраїчних понять можуть бути ефективно проілюстровані в\(\R^2\) або,\(\R^3\) і результуюча інтуїція застосовується більш загально. Дійсно, ця корисна взаємодія геометрії та алгебри ілюструє ще одну загадкову математичну зв'язок між здавалося б розрізненими областями.

Я сподіваюся, що розуміння лінійної алгебри корисно для вас, незалежно від того, чи є ви студентом, який приймає клас лінійної алгебри, хтось просто зацікавлений у самостійному навчанні, або інструктор, який шукає деякі ідеї для використання зі своїми учнями. Я був би більш ніж радий почути ваші відгуки.