10.1: Огляд

Матрична експоненціальна є потужним засобом для представлення розв'язку nn лінійних, постійних коефіцієнтів, диференціальних рівнянь. Проблема початкового значення для такої системи може бути записана.

\[x′(t) = Ax(t) \nonumber\]

\[x(0) = x_{0} \nonumber\]

де\(A\) - n-by-n матриця коефіцієнтів. За аналогією з випадком 1 на 1, ми могли б очікувати

\[x(t) = e^{At}u \nonumber\]

провести. Наші очікування виправдані, якщо ми правильно визначимо\(e^{At}\). Чи розумієте ви, чому просто експонентірованіе кожного елемента\(At\) буде недостатньо?

Існує щонайменше 4 різних (але, звичайно, еквівалентних) підходів до правильного визначення\(e^{At}\). Перші два є природними аналогами одного змінного випадку, тоді як останні два використовують важчі машини матричної алгебри.

1. Матрична експоненціальна як межа повноважень
2. Матрична експоненціальна як сума повноважень
3. Експоненціальна матриця через перетворення Лапласа
4. Матриця експоненціальна через власні значення та власні вектори

Будь ласка, відвідайте кожен з цих модулів, щоб побачити визначення та ряд прикладів.

Для конкретного застосування цих методів до реальної динамічної системи, будь ласка, відвідайте модуль Mass-Spring-амортизатор-демпфер.

Незалежно від підходу, експоненціальна матриця може бути показано, що підкоряється 3 прекрасним властивостям

1. \(\frac{d}{dt}(e^{At}) = Ae^{At} = e^{At}A\)
2. \(e^{A(t_{1}+t_{2})} = e^{At_{1}}e^{At_{2}}\)
3. \(e^{At}\)є неодниною і\((e^{At})^{-1} = e^{-(At)}\)

Підтвердимо кожне з них на наборі прикладів, що використовуються в підмодулі.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Якщо

\[A = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \nonumber\]

потім

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {e^t}&{0}\\ {0}&{e^{2t}} \end{pmatrix} \nonumber\]

1. \(\frac{d}{dt}(e^{At}) = \begin{pmatrix} {e^t}&{0}\\ {0}&{e^{2t}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{0}\\ {0}&{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^t}&{0}\\ {0}&{e^{2t}} \end{pmatrix}\)
2. \(\begin{pmatrix} {e^{t_{1}+t_{2}}}&{0}\\ {0}&{e^{2t_{1}+2t_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {e^{t_{1}}e^{t_{2}}}&{0}\\ {0}&{e^{2t_{1}}e^{2t_{2}}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {e^{t_{1}}}&{0}\\ {0}&{e^{2t_{1}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {e^{t_{2}}}&{0}\\ {0}&{e^{2t_{2}}} \end{pmatrix}\)
3. \((e^{At})^{-1} = \begin{pmatrix} {e^{-t}}&{0}\\ {0}&{e^{-(2t)}} \end{pmatrix} = e^{-(At)}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Якщо

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {-1}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

потім

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {\cos(t)}&{\sin(t)}\\ {-\sin(t)}&{\cos(t)} \end{pmatrix} \nonumber\]

1. \(\frac{d}{dt}(e^{At}) = \begin{pmatrix} {-\sin(t)}&{\cos(t)}\\ {-\cos(t)}&{-\sin(t)} \end{pmatrix}\)і\(Ae^{At} = \begin{pmatrix} {-\sin(t)}&{\cos(t)}\\ {-\cos(t)}&{-\sin(t)} \end{pmatrix}\)
2. Ви визнаєте це твердження як основну ідентичність трига.\(\begin{pmatrix} {\cos(t_{1}+t_{2})}&{\sin(t_{1}+t_{2})}\\ {-\sin(t_{1}+t_{2})}&{\cos(t_{1}+t_{2})} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\cos(t_{1})}&{\sin(t_{1})}\\ {-\sin(t_{1})}&{\cos(t_{1})} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {\cos(t_{2})}&{\sin(t_{2})}\\ {-\sin(t_{2})}&{\cos(t_{2})} \end{pmatrix}\)
3. \((e^{At})^{-1} = \begin{pmatrix} {\cos(t)}&{-\sin(t)}\\ {\sin(t)}&{\cos(t)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {\cos(-t)}&{-\sin(-t)}\\ {\sin(-t)}&{\cos(-t)} \end{pmatrix} = e^{-(At)}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Якщо

\[A = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} \nonumber\]

потім

\[e^{At} = \begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \nonumber\]

1. \(\frac{d}{dt}(e^{At}) = \begin{pmatrix} {0}&{1}\\ {0}&{0} \end{pmatrix} = Ae^{At}\)
2. \(\begin{pmatrix} {1}&{t_{1}+t_{2}}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {1}&{t_{1}}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} {1}&{t_{2}}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}\)
3. \(\begin{pmatrix} {1}&{t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} {1}&{-t}\\ {0}&{1} \end{pmatrix} = e^{-At}\)