10.1: Огляд
Матрична експоненціальна є потужним засобом для представлення розв'язку nn лінійних, постійних коефіцієнтів, диференціальних рівнянь. Проблема початкового значення для такої системи може бути записана.
x′(t)=Ax(t)
x(0)=x0
деA - n-by-n матриця коефіцієнтів. За аналогією з випадком 1 на 1, ми могли б очікувати
x(t)=eAtu
провести. Наші очікування виправдані, якщо ми правильно визначимоeAt. Чи розумієте ви, чому просто експонентірованіе кожного елементаAt буде недостатньо?
Існує щонайменше 4 різних (але, звичайно, еквівалентних) підходів до правильного визначенняeAt. Перші два є природними аналогами одного змінного випадку, тоді як останні два використовують важчі машини матричної алгебри.
- Матрична експоненціальна як межа повноважень
- Матрична експоненціальна як сума повноважень
- Експоненціальна матриця через перетворення Лапласа
- Матриця експоненціальна через власні значення та власні вектори
Будь ласка, відвідайте кожен з цих модулів, щоб побачити визначення та ряд прикладів.
Для конкретного застосування цих методів до реальної динамічної системи, будь ласка, відвідайте модуль Mass-Spring-амортизатор-демпфер.
Незалежно від підходу, експоненціальна матриця може бути показано, що підкоряється 3 прекрасним властивостям
- ddt(eAt)=AeAt=eAtA
- eA(t1+t2)=eAt1eAt2
- eAtє неодниною і(eAt)−1=e−(At)
Підтвердимо кожне з них на наборі прикладів, що використовуються в підмодулі.
Якщо
A=(1002)
потім
eAt=(et00e2t)
- ddt(eAt)=(et00e2t)=(1002)(et00e2t)
- (et1+t200e2t1+2t2)=(et1et200e2t1e2t2)=(et100e2t1)(et200e2t2)
- (eAt)−1=(e−t00e−(2t))=e−(At)
Якщо
A=(01−10)
потім
eAt=(cos(t)sin(t)−sin(t)cos(t))
- ddt(eAt)=(−sin(t)cos(t)−cos(t)−sin(t))іAeAt=(−sin(t)cos(t)−cos(t)−sin(t))
- Ви визнаєте це твердження як основну ідентичність трига.(cos(t1+t2)sin(t1+t2)−sin(t1+t2)cos(t1+t2))=(cos(t1)sin(t1)−sin(t1)cos(t1))(cos(t2)sin(t2)−sin(t2)cos(t2))
- (eAt)−1=(cos(t)−sin(t)sin(t)cos(t))=(cos(−t)−sin(−t)sin(−t)cos(−t))=e−(At)
Якщо
A=(0100)
потім
eAt=(1t01)
- ddt(eAt)=(0100)=AeAt
- (1t1+t201)=(1t101)(1t201)
- (1t01)−1=(1−t01)=e−At