Передмова

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62840

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Беллман назвав матричну теорію «арифметикою вищої математики». Під впливом Беллмана і Калмана інженери та вчені знайшли в теорії матриць мову для представлення та аналізу багатозмінних систем. Наша мета в цих записках - продемонструвати роль матриць в моделюванні фізичних систем і силу матричної теорії в аналізі та синтезі таких систем.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Матричний аналіз

Починаючи з моделювання структур у статичній рівновазі, ми зосереджуємось на лінійній природі взаємозв'язку між відповідними змінними стану та виражаємо ці зв'язки у вигляді простих матрично-векторних добутків. Наприклад, падіння напруги на резисторах в мережі - це лінійні комбінації потенціалів на кожному кінці кожного резистора. Аналогічно, струм через кожен резистор приймається лінійною функцією падіння напруги на ньому. І, нарешті, при рівновазі лінійна комбінація (в мінус поза) струмів повинна зникати на кожному вузлі мережі. Якщо коротко, то вектор струмів - це лінійне перетворення вектора перепадів напруги, яке саме по собі є лінійним перетворенням вектора потенціалів. Лінійне перетворення n чисел у m чисел здійснюється множенням вектора n чисел на матрицю m-by- n. Як тільки ми навчилися визначати всюдисущий матрично-векторний добуток, ми переходимо до аналізу результуючих лінійних систем рівнянь. Ми досягаємо цього, розтягуючи ваші знання про тривимірний простір. Тобто запитуємо, що означає, що m-by- n матриця X перетворює Rn (дійсний n-мірний простір) в Rm? Ми візуалізуємо це перетворення, розділивши як Rn, так і Rm кожен на два менші простори, між якими даний X поводиться дуже керованими способами. Розуміння цього розщеплення навколишніх просторів на так звані чотири фундаментальні підпростори X дозволяє відповісти практично на кожне питання, яке може виникнути при вивченні структур в статичній рівновазі.

У другій половині заміток ми стверджуємо, що матричні методи однаково ефективні при моделюванні та аналізі динамічних систем. Хоча наша методологія моделювання легко адаптується до динамічних задач, ми побачимо, що щодо аналізу, що замість того, щоб розщеплювати навколишні простори, ми будемо краще обслуговувати розщеплення самого X. Процес аналогічний розкладанню складного сигналу на суму простих гармонік, що коливаються на власних частотах досліджуваної структури. Бо ми побачимо, що (більшість) матриць можуть бути записані як зважені суми матриць особливого типу. Ваги - це власні значення, або власні частоти матриці, тоді як складові матриці - це проекції, складені з простих добутків власних векторів. Наш підхід до власної декомпозиції матриць вимагає короткого ознайомлення з красивим полем Комплексних змінних. Цей набіг має додаткову перевагу, дозволяючи нам більш ретельне вивчення перетворення Лапласа, ще одного фундаментального інструменту у вивченні динамічних систем.

—Стів Кокс