2.3: Кільця та групи

Матеріал у цьому додатку є необов'язковим для читання. Однак для повноти ми констатуємо тут визначення кільця і визначення групи. Якщо вам цікаво дізнатися більше, ви можете пройти курс Елементарна абстрактна алгебра. Пройшовши цей курс, він повинен трохи полегшити розуміння ідей в абстрактній алгебрі і навпаки.

Для більш детальної інформації ви можете завантажити безкоштовну книгу Елементарна абстрактна алгебра з веб-сторінки:

 http://www.math.usf.edu/~eclark 

Як варіант, загляньте практично в будь-яку книгу, назва якої містить слова Абстрактна алгебра або Сучасна алгебра. Шукайте один із вступним або елементарним у заголовку.

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Кільце - впорядкована трійка,\((R, + ,\cdot)\) де\(R\) є множиною\(+\) і і\(\cdot\) є бінарними операціями щодо\(R\) задоволення наступних властивостей:

А1\(a + (b+c) = (a+b)+c\) для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

A2\(a+b=b+a\) для всіх\(a\),\(b\) в\(R\).

A3 Існує елемент, що\(0 \in R\) задовольняє\(a+0=a\) для всіх\(a\) в\(R\).

А4 Для кожного\(a \in R\) знайдеться\(b \in R\) такий елемент, що\(a+b=0\).

М1\(a \cdot (b \cdot c) = ( a \cdot b ) \cdot c\) для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

D1\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\) для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

D2\((b+c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a\) для всіх\(a\)\(b\),\(c\) в\(R\).

Таким чином, для опису кільця потрібно вказати три речі:

1. набір,
2. двійкову операцію над множиною, яка називається множенням,
3. двійкова операція над множиною називається додавання.

Потім потрібно переконатися, що властивості, наведені вище, задоволені.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Ось кілька прикладів кілець. Дві бінарні операції\(+\) і\(\cdot\) в кожному випадку ті, з якими ви знайомі.

1. \((\mathbb{R},+, \cdot)\)—кільце дійсних чисел.
2. \((\mathbb{Q},+, \cdot)\)—кільце раціональних чисел.
3. \((\mathbb{Z},+, \cdot)\)—кільце цілих чисел.
4. \((\mathbb{Z}_n,+, \cdot)\)—кільце цілих чисел по модулю\(n\).
5. \((M_n(\mathbb{R}),+, \cdot)\)—кільце всіх\(n \times n\) матриць над\(\mathbb{R}\).

Визначення \(\PageIndex{2}\): Group

Група - це впорядкована пара\((G,*)\), де\(G\) є множиною і\(*\) є двійковою операцією по\(G\) задоволенню наступних властивостей:

1. \(x*(y*z) = (x*y)*z\)для всіх\(x\)\(y\),\(z\) в\(G\).
2. Існує елемент, що\(e \in G\) задовольняє\(e*x=x\) і\(x*e=x\) для всіх\(x\) в\(G\).
3. Для кожного елемента\(x\) в\(G\) є елемент\(y\) в\(G\) задовольняє\(x*y = e\) і\(y*x=e\).

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Кажуть\((G,*)\), що група Абеліана, якщо\(x*y=y*x\) для всіх\(x,y \in G\).

Таким чином, для опису групи потрібно вказати дві речі:

1. набір, і
2. двійкову операцію на множині.

Потім потрібно перевірити, що бінарна операція є асоціативною, що в множині є ідентичність, і що кожен елемент множини має зворотну.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Ось кілька прикладів груп. Бінарні операції в кожному випадку ті, з якими ви знайомі.

1. \((\mathbb{Z},+)\)група з ідентичністю 0. \(x \in \mathbb{Z}\)Зворотне є\(-x\).
2. \((\mathbb{Q},+)\)група з ідентичністю 0. \(x \in \mathbb{Q}\)Зворотне є\(-x\).
3. \((\mathbb{R},+)\)група з ідентичністю 0. \(x \in \mathbb{R}\)Зворотне є\(-x\).
4. \((\mathbb{Q}-\{0\},\cdot)\)група з ідентичністю 1. \(x \in \mathbb{Q}-\{0\}\)Зворотне є\(x^{-1}\).
5. \((\mathbb{R}-\{0\},\cdot)\)група з ідентичністю 1. \(x \in \mathbb{R}-\{0\}\)Зворотне є\(x^{-1}\).
6. \((\mathbb{Z}_n,+)\)група з ідентичністю 0. Обернене значення\(x \in \mathbb{Z}_n\) is\(n-x\) if\(x \ne 0\), обернене 0 дорівнює 0.
7. \((U_n,\cdot )\)це група з ідентичністю\([1]\). Показано,\([a] \in U_n\) що зворотне існує в розділі 1.22.
8. \((\mathbb{R}^n,+)\)де\(+\) векторне додавання. Ідентичність - нульовий вектор,\((0,0,\dots,0)\) а\(\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\) зворотний вектор - вектор\(\mathbf{-x}=(-x_1,-x_2,\dots,-x_n)\).
9. \((M_n(\mathbb{R}),+)\). Це група всіх\(n \times n\) матриць над\(\mathbb{R}\) і\(+\) є складанням матриць.