Назад Матерія

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Класичні невирішені проблеми

Чи кожне парне число > 2 є сумою двох простих чисел? (Гольдбах)
Чи кожне число форми $4n + 2$ ( $n > 1$ ) є сумою двох простих чисел виду $4n + 1$ ? (Ейлер)
Отримати асимптотичну формулу для кількості подань $2n$ як суми двох простих чисел.
Чи можна кожне парне число виражати як різницю двох простих чисел?
Чи може кожне парне число виражатися як різниця двох простих чисел нескінченно багатьма способами?
Зокрема, чи існує нескінченно багато простих пар?
Знайти асимптотичну формулу для кількості простих пар $\le x$ .
Чи існує нескінченно багато простих чисел виду $x^2 + 1$ ?
Чи є будь-який многочлен ступеня > 1 представляє нескінченно багато простих чисел?
Чи існує нескінченно багато простих чисел Fermat?
Чи існує нескінченно багато простих чисел Мерсенна (простих чисел виду $2^p − 1$ )?
Чи існує нескінченно багато простих чисел виду $2p + 1$ , де $p$ просте?
Чи існує хоча б один простий між кожною парою послідовних квадратів?
Чи є непарні ідеальні числа?
Чи існує нескінченно багато множення ідеальних чисел?
Чи існує нескінченно багато пар дружніх чисел?
Нехай $f(n) = \sigma (n) - n$ . Чи $f_0 (n) = n$ послідовність $f_{k + 1} (n) = f(f_k(n))$ $k = 1, 2, 3, ...$ залишається обмеженою для кожного $n$ ? (Пуле)
Чи існує нескінченно багато простих чисел, $p$ для яких $2^{p−1} − 1$ ділиться $p^2$ ?
Чи існує нескінченно багато простих чисел, $p$ для яких $(p − 1)! + 1$ ділиться $p^2$ ?
Чи $x^n + y^n = z^n$ можна вирішити для кожного $n > 2$ ? (Ферма)
Чи $x_1^n + x_2^n + \cdot\cdot\cdot + x_{n - 1}^n = x_n^n$ можна розв'язати для будь-якого $n > 2$ ? (Ейлер)
Чи є 2 примітивним коренем нескінченно багатьох простих чисел? (Артін здогадується, що 2 є примітивним коренем приблизно однієї третини всіх простих чисел.)
чи постійна Ейлера $\gamma$ ірраціональна?
Чи $\pi^{e}$ нераціонально?
Чи є 8 і 9 єдиними степенями (що перевищують 1) цілих чисел, які відрізняються на 1? (Каталонська.)
Для яких значень $k$ є $x^2 + k = y^3$ ?

Різні проблеми

Покажіть, що $\sum_{d = 1}^n (2d - 1) \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor = \sum_{d = 1}^{n} \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor^2$ .
Покажіть, що $\sum_{d\ |\ n} \tau(d)^3 = (\sum_{d\ |\ n} \tau (d))^2$ .
Покажіть, що $\sum_{(a, b) = 1} \dfrac{1}{(ab)^2} = \dfrac{5}{2}$ .
Покажіть, що $\prod \dfrac{p^2 + 1}{p^2 - 1} = \dfrac{5}{2}$ . (Продукт проходить по всіх простих чисел.)
Узагальнити результати Задачі 3 і 4 вище.
Покажіть, що $\text{lim}_{n \to \infty} \sum_{d\ |\ (n! + 1)} \dfrac{1}{d} = 1$ .
Покажіть $\text{lim}_{n \to \infty} \sum_{d\ |\ F_n} \dfrac{1}{d} = 1$ , що, де $F_n = 2^{2^n} + 1$ .
Доведіть, що $\pi(x) = \sum_{n = 1}^x \sum_{j = 1}^n e^{2\pi i ((n - 1)! + 1)j / n}$ .
Доведіть, що $(a, b) = \sum_{m = 0}^{a - 1} \sum_{n = 1}^{a - 1} \dfrac{1}{a} e^{2\pi i bmn /a}$ .
Показати, що найменший абсолютний залишок $a$ (мод $b$ ) $a - b \lfloor \dfrac{2a}{b} \rfloor + b \lfloor \dfrac{a}{b} \rfloor.$
Доведіть, що $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\varphi (n)}{n!}$ це нераціонально.
Доведіть, що $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma (n)}{n!}$ це нераціонально.
Доведіть, що $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma_2 (n)}{n!}$ це нераціонально.
Покажіть, що $\sum_{n = 1}^x \dfrac{n}{\sigma(n)} \ge x + 1$ .
Покажіть, що $\sum_{d^2\ |\ n} \mu (d) = |\mu(n)|$ .
Покажіть, що для $g \ne 3, 1 + g + g^2 + g^3 + g^4$ - це не квадрат.
Для $n$ цілого числа і $a \ge 0$ довести, що $\sum_{k = 1}^{n - 1} \lfloor a + \dfrac{k}{n} \rfloor = \lfloor na \rfloor$ .
Покажіть, що $\dfrac{1}{\phi (n)} = \dfrac{1}{n} \sum_{d\ |\ n} \dfrac{\mu^2 (d)}{\phi (d)}$ .
Доведіть, що $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\mu(n) x^n}{1 + x^n} = x - 2x^2$ .
Доведіть, що $\dfrac{\lambda (n) x^n}{1 - x^n} = \sum_{n = 1}^{\infty} x^{n^2}.$
Доведіть, що $F(n) = \prod_{d\ |\ n} f(d)$ якщо і тільки якщо $f(n) = \prod_{d\ |\ n} F(\dfrac{n}{d})^{\mu(d)}$ .
Показати, що сума непарних дільників $n$ є $-\sum_{d\ |\ n} (-1)^{(\dfrac{n}{d})} d.$
Доведіть, що добуток цілих чисел $\ge n$ і відносно простих до $n$ є $n^{\varphi(n)} \prod_{d\ |\ n} (\dfrac{d!}{d^d})^{\mu(\dfrac{n}{d})}$ .
Показати, що кожне ціле число має кратне вигляду 11... 1100... 00.
Доведіть, що існує нескінченно багато квадратних вільних чисел форми $n^2 + 1$ .
Доведіть, що\ ({m\ choose 0} + {m\ choose 3} + {m\ вибрати 6} +\ cdot\ cdot\ cdot\ not\ equiv 0) (мод 3).
Показати, що кількість уявлень $n$ як сума одного або декількох послідовних натуральних чисел, $\tau(n_1)$ де n1 є найбільшим непарним дільником $n$ .
Доведіть, $\varphi (x) = n!$ що можна вирішити для кожного $n$ .
Доведіть, $\varphi(x) = 2 \cdot 7^n$ що не можна розв'язати для будь-якого позитивного $n$ .
Доведіть, що 30 є найбільшим цілим числом, таким чином, що кожне ціле число менше, ніж це і відносно просте до нього 1 або просте.
$a, b, x$ Дозволяти бути цілими числами і нехай $x_0 = x$ , $x_{n + 1} = ax_n + b$ $n > 0$ . Доведіть, що не всі $x$ є простими числами.
Покажіть, що єдиними рішеннями $\varphi(n) = \tau(n)$ є $n = 2, 3, 4, 8, 14, 20, 90$ .
Показати, $\varphi (n + 1) = p_{n + 1} - p_n$ що дійсне лише для $1 \le n \le 5$ .
Показати, що $\dfrac{(2a)! (2b)!}{a! b!(a+ b)!}$ є цілим числом.
показати, що якщо $(a, b) = 1$ $\dfrac{(a + b - 1)!}{a! b!}$ то ціле число.
Показати, що інтегральний многочлен принаймні першого ступеня не може представляти лише прості числа.
Показати, що якщо $f(x)$ є інтегральним многочленом ступеня > 0, то $f(x)$ for $x = 1, 2, ...$ має нескінченну кількість різних простих дільників.
Знайти кількість чисел від простих до $m$ у множині ${1 \cdot 2, 2 \cdot 3, ..., m \cdot (m + 1)}$ .
Доведіть, що числа Ферма є відносно простими в парах.
Нехай $T_1 = 2$ , $T_{n + 1} = T_n^2 - T_{n - 1}$ . Доведіть, що $T_i, T_j) = 1, i \ne j$ .
Доведіть, що $2 \zeta (3) = \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} (1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n}).$
Доведіть, що щільність чисел для яких $(n, \varphi(n)) = 1$ дорівнює нулю.
Покажіть $n$ , що для деяких $2^n$ має 1000 послідовних 7 у своєму цифровому поданні.
Доведіть, що нескінченно багато квадратів не містять цифру 0.
Покажіть $n$ , що для деяких $p_n$ містить 1000 послідовних 7 у своєму цифровому поданні.
Показати, що щільність чисел, $n$ для яких $\varphi(x) = n$ розв'язна, дорівнює нулю.
Покажіть, що якщо $\varphi(x) = n$ має рівно одне рішення, то $n > 10^{100}$ .
Доведіть, що $e_p(n) = \dfrac{n - s_p(n)}{p - 1}$ .
Нехай $a_1$ ,,... $a_2$ , $a_{p - 1}$ бути впорядковані не обов'язково різними ненульовими класами залишку (мод $p$ ). Доведіть, що існують $1 \le i \le j \le p- 1$ такі, що $a_i \cdot a_{i + 1} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot a_j \equiv 1$ (мод $p$ ).
Показати, що $n^{\text{th}}$ просте значення є межею послідовності.
$n_0 = n, n_{k + 1} = n_0 + \pi(n_0 + n_1 + \cdot\cdot \cdot + n_k).$
Показати, що $n^{\text{th}}$ непростий є межею послідовності
$n, n + \pi(n), n + \pi(n + \pi (n)), ... .$
Доведіть, що кожне натуральне число $n + \pi(n − 1)$ або форми або форми $n + p_n$ , але не обидва.
Покажіть, $(3 + 2 \sqrt{2})^{2n - 1} + (3 - 2\sqrt{2})^{2n - 1} - 2$ що квадрат для кожного $n \ge 1$ .
Доведіть, що для кожного реального $\epsilon > 0$ існує реальне $\alpha$ таке, що дробова частина $\alpha^n$ більше, ніж $1 − \epsilon$ для кожного цілого числа $n > 0$ .
Показати, що якщо $p$ і $q$ є цілими числами $\le n$ , то можна організувати $n$ або менше одиничних опорів, щоб дати комбінований опір $\dfrac{p}{q}$ .
Покажіть це $(a, n) = 1$ і $x = a - 12 \sum_{k \ge 1} k [\dfrac{ka}{n}]$ майте на увазі $ax \equiv 1$ (мод $n$ ).
Якщо $(a, b) = d$ доведіть, що $\sum_{x = 1}^{a - 1} [\dfrac{bx}{a}] = \dfrac{(a - 1)(b - 1)}{2} + \dfrac{d - 1}{2}$ .
Показати, що сума взаємних цілих чисел, представлених у вигляді сум двох квадратів, є розходною.
Показати, що сума взаємних цілих чисел, цифрове представлення яких не включає 1000 послідовних 7, є збіжною.
Доведіть, що кожен $n > 1$ може бути виражений як сума двох дефіцитних чисел.
Доведіть, що кожен $n > 10^5$ може бути виражений як сума двох рясних чисел.
Доведіть, що кожен досить великий $n$ може бути виражений як сума двох $k$ -рясних чисел.
Доведіть, що $n^{\text{th}}$ неквадратний є $n + {\sqrt{n}}$ . { $x$ } позначає ціле число, найближче до $x$ .)
Доведіть, що $n^{\text{th}}$ нетрикутне число є $n + {\sqrt{2n}}$ .
Доведіть, що $n^{\text{th}}$ $k^{\text{th}}$ не-влада
$n + \lfloor \sqrt[k]{n + \lfloor \sqrt[k]{n} \rfloor} \rfloor.$
Показати, що двійкова операція, $\circ$ визначена на невід'ємних цілих
$m \circ n = m + n + 2 \lfloor \sqrt{m} \rfloor \lfloor \sqrt{n} \rfloor$
числах, є асоціативною.
Доведіть те ж саме для операції $m \times n = m + n + 2 {\sqrt{m} } {\sqrt{n} }.$
Доведіть, що для $p > 5$ , $(p - 1)! + 1$ містить простий коефіцієнт $\ne p$ .
Показати, що $(n - 1)! = n^k - 1$ єдиними розв'язками є $(n, k) = (2, 1), (3, 1)$ і (5, 2).
Покажіть, що $x^{2^{\alpha}} \equiv 2^{2^{\alpha - 1}}$ (мод $p$ ) має рішення для кожного простого, $p$ якщо $\alpha \ge 3$ .
Показати, $f(x)$ що якщо многочлен з цілими коефіцієнтами і $f(a)$ квадрат для кожного $a$ , то $f(x) = (g(x))^2$ , де $g(x)$ многочлен з цілими коефіцієнтами.
Дано цілі числа $a_1 < a_2 \cdot\cdot\cdot < a_k \le n$ з $k \ge \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$ , довести, що для деяких $i \le j \le k$ , $a_i \ |\ a_j$ .
Показати, що два з $a_i$ Задача 72 є відносно простими.
З $a$ задачі 72, показати, що $a_i + a_j = a_k$ це можна вирішити.
Показати, що кількість розв'язків $x + 2y + 3z = n$ у невід'ємних цілих чисел дорівнює
${\dfrac{(n + 3)^2}{12}}.$
Показати, що кількість розв'язків $x + 2y + 4z = n$ у невід'ємних цілих чисел дорівнює ${\dfrac{(n + 2)(n + 5)}{16} + (-1)^n \dfrac{n}{16}}$ .
Показати, що n і n + 2 є одночасно простими, якщо і тільки якщо
$\sum_{m \ge 1} {\lfloor \dfrac{n + 2}{m} \rfloor + \lfloor \dfrac{n}{m} \rfloor - \lfloor \dfrac{n + 1}{m} \rfloor - \lfloor \dfrac{n - 1}{m} \rfloor} = 4.$
Показати, що $n$ і одночасно $n + 2$ прості, якщо і тільки якщо
$4(n - 1)! + 1 + n \equiv 0$ (мод $n(n + 2)$ ), $(n > 1).$
Покажіть, що для кожного $n$ $6 \cdot 10^{n+2}$ , і $1125 \cdot 10^{2n+1} \pm 8$ є піфагорійськими трійками.
Показати, що кількість впорядкованих пар цілих чисел, lcm яких $n$ дорівнює $\tau(n^2)$ .
Показати, що ніколи не $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{n}$ є цілим числом.
Показати, що $\dfrac{x^2 + 2y^2}{2x^2 + y^2}$ є квадратом, якщо і тільки якщо $x = y$ .
Доведіть, що
$\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\varphi(n) x^n}{1 + x^n} = \dfrac{x(1 + x^2)}{(1 - x^2)^2}.$
показати, що кількість правильних $n$ -кутників одиниці краю дорівнює $\dfrac{\varphi(n)}{2}$ .
Доведіть, що визначник $n^{\text{th}}$ порядку з $a_{ij} = (i, j)$ має значення $\prod_{i = 1}^{n} \varphi(i)$ .
Доведіть, що
$\sum_{i = 1}^{n} {\sqrt{i}} = {\sqrt{n}} \dfrac{3n + 1 - {\sqrt{n}}^2}{3}.$
Доведіть, що якщо $p = 4n + 3$ і обидва $q = 8n + 7$ прості, то $q\ |\ 2^p − 1$ .
Показати, як розділити натуральні числа на два класи так, щоб жоден з класів не містив усіх додатних членів будь-якої арифметичної прогресії з загальною різницею, що перевищує 1.
Показати, що зворотне кожне ціле число $n > 1$ може бути виражено у вигляді суми скінченного числа послідовних членів виду $\dfrac{1}{j(j + 1)}$
Скільки способів це можна зробити? (Відповідь: $\dfrac{1}{2}(\tau(n^2) - 1)$ .)
Показати, що кожен раціональний може бути виражений у вигляді суми скінченного числа різних взаємних цілих чисел.
Показати, що щільність цілих чисел, для яких ( $n$ , $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ) = 1 дорівнює $\dfrac{1}{\pi^2}$ .
Показати, що очікуване значення ( $n$ , $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ) дорівнює $\dfrac{\pi^2}{6}$ .
Доведіть, що $x^2 \equiv a$ (мод $p$ ) для кожного простого $p$ означає, що $a$ це квадрат.
Доведіть, що $f(a, b) = f(a) f(b)$ для $(a, b) = 1$ і $f(a + 1) \ge f(a)$ для кожного $a$ мають на увазі, що $f(a) = a^k$ .
Знайти всі прості числа в послідовності 101, 10101, 1010101,.
Знайти всі прості числа в послідовності 1001, 1001001, 1001001001,.
Показати, що якщо $f(x) > 0$ для всіх $x$ і $f(x) \to 0$ як $x \to \infty$ тоді існує не більше кінцевої кількості розв'язків у цілих числах $f(m) + f(n) + f(p) = 1$ .
Доведіть, що найменший незалишок кожного $p > 23$ простого менше, ніж $\sqrt{p}$ .
Доведіть існування нескінченних послідовностей 1-х, 2-х і 3-х, жодна кінцева частина яких негайно повторюється.
$d^{*}(n)$ Дозволяти позначимо кількість квадратних дільників $n$ . Доведіть це
$\text{lim}_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} \sum_{m = 1}^{n} d^{*} (m) = \dfrac{\pi^2}{6}$ .
Знайдіть всі $r$ такі, які $n!$ не можуть $r$ закінчуватися нулями.
$a_1, a_2, ..., a_n$ Дозволяти бути цілими числами з $a_1 = 1$ і $a_i < a_{i + 1} \le 2a_i$ . Доведіть, що існує ${\epsilon_i}$ послідовність з $\pm 1$ таких, що $\sum_{i = 1}^{n} \epsilon_i a_i = 0$ або 1.
Покажіть, що для $p$ простого, $p \equiv 1$ (мод 4)
$\lfloor \sqrt{p} \rfloor + \lfloor \sqrt{2p} \rfloor + \cdot\cdot\cdot + \lfloor \sqrt{\dfrac{p - 1}{4} \cdot p} \rfloor = \dfrac{p^2 - 1}{12}.$
Доведіть, що $\pi^2$ це нераціонально.
Доведіть, що $\cos \dfrac{p}{q}$ це нераціонально.
Якщо $\dfrac{n_i}{n_1 n_2 ... n_{i - 1}} \to \infty$ довести, що $\sum \dfrac{1}{n_i}$ це нераціонально.
Доведіть, що $ae^2 + be + c \ne 0$ $a, b, c$ якщо цілі числа.
Доведіть, що
$\tau(n) = \lfloor \sqrt{n} \rfloor - \lfloor \sqrt{n - 1} \rfloor + 2 \sum_{d = 1}^{\lfloor \sqrt{n - 1} \rfloor} (\lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor - \lfloor \dfrac{n - 1}{d} \rfloor).$
Нехай $n= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdot \cdot \cdot + a_k p^k$ де $p$ просте і $0 \le a_i <p$ . Показати, що кількість біноміальних коефіцієнтів порядку $n$ , які є відносно простими до $p$ дорівнює $\prod (a_i + 1)$ .
Покажіть, що якщо $r_1, r_2, ..., r_{p - 1}$ сформувати повну систему залишку (мод $p$ ), то не $1r_1, 2r_2, ..., (p - 1)r_{p - 1}$ робіть.
Покажіть, що 3 є примітивним коренем кожного прайма Ферма.
Показати, що кількість способів, за $n$ допомогою яких можна представити як добуток двох відносно простих множників, є $2^{\omega(n) - 1}$ .
Доведіть, що кожен парне ідеальне число має форму $2^{p - 1} (2^p - 1)$ .
Показати, що якщо $f(x)$ є поліномом з інтегральними коефіцієнтами і в множині є $\psi(m)$ цілі числа відносно прості до m, ${f(1), f(2), ..., f(m)}$ то $\psi$ є слабо мультиплікативною функцією.
Якщо $p = 4n + 1$ є простим, покажіть, що $(2n)!^2 + 1 \equiv 0$ (мод $p$ ).
Показати, що 128 є найбільшим цілим числом, яке не можна представити як сума різних квадратів.
Покажіть, що $x^3 + y^4 = z^5$ має нескінченно багато рішень.
Покажіть, що $x^n + y^n = x^{n+1}$ має нескінченно багато рішень.
Показати, що для кожної $k > 0$ існує точка решітки ( $x_1, y_1$ ) така, що для кожної точки решітки ( $x, y$ ), відстань від якої ( $x_1, y_1$ ) не перевищує $k$ , gcd $(x, y) > 1$ .
Доведіть, що немає чотирьох різних квадратів в арифметичної прогресії.
Доведіть, що для $n$ композитних, $\pi(n) < \dfrac{n}{\log n}$ .
Доведіть, що $2^n\ |\ {(n + \sqrt{5})^n}$ .
Доведіть, що непарний $p$ є простим, якщо і тільки якщо $p + k^2$ не квадрат для $k = 1, 2, ..., \dfrac{p - 3}{2}.$

Невирішені проблеми і здогадки

Чи $\varphi (n) = \varphi (n + 1)$ є нескінченно багато рішень?
Чи $\sigma(n) = \sigma (n + 1)$ є нескінченно багато рішень?
Чи $\varphi (n) = \varphi (n + 1) = \cdot\cdot\cdot = \varphi (n + k)$ є рішення для кожного $k$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Гіпотеза: Немає жодного, $n$ для якого $\varphi (x) = n$ є унікальне рішення. (Кармайкл)
Гіпотеза: Для кожного натурального цілого $k > 1$ існує нескінченно багато, $n$ для яких $\varphi (x) = n$ є $k$ точні розв'язки.
Чи існують рішення $\sigma (n) = 2n + 1$ ?
Чи $\varphi (x) = \varphi (y) = 2n$ можна вирішити для кожного $n$ ? (Мозер)
Чи існує нескінченно багато рішень $\tau (n) = \tau (n + 1)$ ?
Чи є нескінченно багато чисел не форми $\phi (n) + n$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи є нескінченно багато чисел не форми $\sigma (n) + n$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи існують рішення $\sigma (x) = m\sigma (y)$ для кожного цілого числа $m$ ? (Сєрпінський)
Є 1, 2, 4, 8 і 128 єдині сили 2, всі цифри яких є степенями 2? (Старке)
Чи існує для кожного $n$ , $n$ різних цілих чисел, всі суми яких у парах є квадратами? (Це вірно для $n \le 5$ .)
Чи існує ${\epsilon_i}$ послідовність $\pm 1$ з таких, що $\sum_{i = 1}^{n} \epsilon_{i \cdot k}$ обмежена для кожного $k$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Якщо $f(n)$ арифметична функція періоду, $k$ а не однаково 0, це правда $\sum \dfrac{f(n)}{n} \ne 0$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Гіпотеза: Для $n$ досить великих, $n$ може бути розділений $n = a + b + c + d = d + e + f$ з $abc = def$ . (Моцкін)
Чи $\sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{\sigma_k (n)}{n!}$ нераціонально для кожного $k$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні і Как)
Чи $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} = \dfrac{4}{n}$ можна вирішити для кожного $n$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи є $n! + 1 = x^2$ які-небудь рішення з $n > 7$ ? (Брочард)
Чи $\dfrac{(2n)!}{(n + 2)!^2}$ є цілим числом для нескінченно багатьох $n$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Це $\dfrac{(2n)!}{n! (n + k)!}$ ціле число для кожного $k$ і нескінченно багато $n$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи існує $A$ таке, що $\lfloor A^n \rfloor$ є простим для кожного $n$ ? (Млини)
Чи $\lfloor e^n \rfloor$ представляє нескінченно багато простих чисел?
Чи $\lfloor e^n \rfloor$ являють собою нескінченно багато складових чисел? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Число 105 має властивість, яка $105 − 2^n$ є простим, коли воно позитивне. Чи є 105 найбільшим числом з цією властивістю?
Чи є 968 найбільшим числом $n$ таким, що для всіх $k$ з $(n, k) = 1$ і $n > k^2$ , $n - k^2$ є простим? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи існує просте $p > 41$ таке, що $x^2 − x + p$ є простим для $1 \le x \le p−1$ ?
$\alpha (n)$ Дозвольте позначити число 1 в двійковому поданні $n$ . Чи існує $k$ таке, що для нескінченно багатьох простих чисел $p$ , $\alpha (p) < k$ ? (Беллман)
Якщо $f(x)$ многочлен з цілими коефіцієнтами, і $f_0 (a) = a$ , чи може послідовність $f_{n+1} (a) = f ( f_n (a))$ $f_n (a)$ , повністю $n = 1, 2, ...$ складатися з простих чисел?
Для $p$ досить великих і $ab \ne 0$ $n > 2$ , чи многочлен приймає $x^n + ax + b$ більше, ніж $\dfrac{p}{2}$ значення (мод $p$ )? (Чоула)
Знайти пари цілих чисел $m$ , $n$ такі $m$ , які $n$ мають однакові прості множники і $m + 1$ $n + 1$ мають однакові прості множники; наприклад, $m = 2^k - 2$ і $n = 2^k (2^k - 2)$ . Це єдині випадки? (Штраус)
Яке найбільше ціле число не можна представити як сума різних кубів?
$1 < u_1 < u_2 < \cdot\cdot\cdot$ Дозволяти послідовність цілих чисел виду $x^2 + y^2$ . Гіпотеза:
$\text{lim}_{n \to \infty} \dfrac{u_{n + 1} - u_n}{u_n^{1/4}} = 0.$ (Чоула і Девенпорт)
Гіпотеза: $|\sum_{n \le x} (-1)^{n - 1} p_n| \thicksim \dfrac{p_x}{2}.$ (Піллай)
Чи може кожен $p \equiv 3$ простий (мод 8) $p > 163$ , бути записаний як сума трьох різних квадратів? (Чоула)
Чи $\zeta (3)$ нераціонально? Чи $\zeta (2s + 1)$ нераціонально?
Гіпотеза: Єдиним рішенням $1^n + 2^n + \cdot\cdot\cdot + m^n = (m + 1)^n$ є 1 + 2 = 3. (Боуен)
Гіпотеза: єдині рішення $a^n + (a + 1)^n + \cdot\cdot\cdot + (a + b)^n = (a + b + 1)^n$ є $1 + 2 = 3$ $3^2 + 4^2 = 5^2$ , і $3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3$ . ( $\ddot{o}$ Червоні)
Чи $1^2 + 2^2 + \cdot\cdot\cdot + m^2 = (m + 1)^2 + \cdot\cdot\cdot + n^2$ має рівняння рішення? (Келлі)?
Добуток $n > 1$ послідовних цілих чисел не є $k^{\text{th}}$ степенем.
Гіпотеза: Якщо $\alpha > 0$ не ціле число, то щільність розв'язків $(n, n^{\alpha}$ = 1\) дорівнює $6/ \pi^2$ . (Ламбек і Мозер)
Гіпотеза: Єдині розв'язки
$\dfrac{1}{x_1} \dfrac{1}{x_2} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{x_n} + \dfrac{1}{x_1 x_2 ... x_n} = 1$
є $^3$
$\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42} = 1$ ( $\ddot{o}$ ерд)
Чи правда, що для всіх пар простих $p$ чисел $q$ всі досить великі числа можна записати як суму різних чисел виду $p^{\alpha}q^{\beta}$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
$a_1, a_2, ...$ Дозволяти бути цілими числами, що не перевищують $n$ такі, що lcm. з будь-яких двох є $> n$ . Що в максимумі $\sum \dfrac{1}{a_i}$ ? Гіпотеза: 31/30. ( $\ddot{o}$ Червоні)
$0 < a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot < a_k \le n$ Дозволяти бути такими, що суми $a_i$ відмінних є різними. гіпотеза: $k - \log_2 n$ обмежена. ( $\ddot{o}$ Червоні)
Наведіть відносно просте доказ теореми Ван дер Вердена для випадку двох класів.
Наведіть відносно простий доказ теореми Рота: Будь-яка послідовність, яка не містить арифметичної прогресії, має нульову щільність.
Наведіть елементарний доказ теореми Діріхле про квадратичні залишки:
$\sum (\dfrac{n}{p}) > 0$ for $p \equiv 3$ (мод 4).
$a_1 < a_2 < ...$ Дозволяти послідовність натуральних чисел і нехай $f(n)$ позначають кількість розв'язків $a_i + a_j = n$ . Гіпотеза: Якщо $f(n) > 0$ для кожного, $n$ $f(n)$ то необмежений. ( $\ddot{o}$ Червоні і Туран)
Якщо завдання 49 є > 0 для кожного, $n$ то кожен досить великий $n$ може бути записаний як сума трьох різних $a$ . (Келлі) $f(n)$
Побудувати послідовність a, для якої $f(n)$ задачі 49 є > 0 і для яких $f(n) < \log n$ для кожного $n$ . (Ерд $\ddot{o}$ s показав, що такі послідовності існують.)
Чи існує послідовність $A$ з функцією підрахунку $A(n) < cn/ \log n$ така, що кожне ціле число може бути представлено у вигляді $a + 2^{i}, a \in A$ ?
Покращити $[n!e]$ межу в теоремі Шура в комбінаторній теорії чисел.
здогадки. Якщо $a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot$ є послідовністю цілих чисел з $a_n/a_{n+1} \to 1$ і якщо для кожного $d$ , кожен залишок (мод $d$ ) представляється як сума $a$ distinctin's, то не більше кінцеве число цілих чисел не представляється як сума різних $a$ . (Erd $\ddot{o}$ s)
Чи розходиться сума зворотних чисел тих цілих чисел, які представляються як сума $k$ $k^{\text{th}}$ степенів? (Кламкін і Ньюмен)
Гіпотеза: $\epsilon > 0$ Для кожного з них виходить $N = N(\epsilon)$ такий, що для $n > N$ $n$ -мірної гри хрестики-нулики, що граються на $3 \times 3 \times \cdot\cdot\cdot \times 3$ дошці, повинні закінчитися, перш ніж були відтворені $\epsilon 3^n$ ходи. (Мозер)
Те саме, що проблема 56 з 3 замінено на $k$ .
Кожне ціле число належить до однієї з арифметичних прогресій { $2n$ $3n$ }, {}, { $4n + 1$ }, { $6n + 5$ }, { $12n + 7$ }, $n = 1, 2, ...$ . Це найпростіший приклад кінцевого набору арифметичних прогресій, кожна з яких має різну спільну різницю, всі загальні відмінності яких більше одиниці, які містять всі цілі числа. Чи існує для кожного $c > 0$ такого набору прогресій, кожна загальна відмінність буття $> c$ ? ( $\ddot{o}$ Червоні)
Дайте явне уявлення про $n$ суму чотирьох квадратів.
Чи існують для кожного $n$ , прості числа, $n$ які є послідовними термінами арифметичної прогресії?
Нехай $\dfrac{1}{1 + x + 2x^2} = \sum_{n = 1}^{\infty} a_n x^n$ . здогадки: $|a_n| > c \log \log n$ .
Чи існують нескінченно прості числа виду $11 \cdot\cdot\cdot 11$ ?
Чи існує нескінченно багато простих чисел Евкліда $2 \cdot 3 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot p_n +1$ ?
Гіпотеза: Найменший залишок простого $p$ є $< c \log p$ .
Гіпотеза: Найменш примітивний корінь простого $p$ є $< p^{\epsilon}$ , $p > p_0 (\epsilon)$ .
Гіпотеза: Кількість досконалих чисел $\le n$ є $< c \log n$ .
Знайдіть хороші межі для щільності рясних чисел.
Доведено, що відношення залишків до незалишків у діапазоні $(1, [\sqrt{p}])$ наближається до 1 як $p \to \infty$ .
Дайте елементарне доказ $\prod_{p \le n} p < 3^n$ .
Гіпотеза: $\text{lim}_{n \to \infty} (a_{n + 1} - a_{n}) = \infty$ має на увазі $\sum_{n = 1} \dfrac{a_n}{2^{a_n}}$ ірраціональне. ( $\ddot{o}$ Червоні)
Знайти всі рішення $x^4 + y^4 = z^4 + t^4$ .
Знайти всі рішення $x^4 + y^4 + z^4 = t^4$ .
Знайти всі рішення $x^xy^y = z^z$ .
$\ell (n)$ Дозволяти найменше, $r$ для якого існує ланцюжок цілих чисел
$a_0 = 1 < a_1 < a_2 < \cdot\cdot\cdot < a_r = n$ ,
де для кожного $i > 0$ , $a_i = a_j + a_k$ для деяких $j$ , $k < i$ ( $j = k$ дозволено). здогадки: $\ell (2^q - 1) \le q + \ell (q) - 1$ . (Шольц)
$\ell (n) < \ell (2n)$ Гіпотеза: для всіх $n > 0$ . (Утц)
$S(n)$ Дозвольте позначити кількість розв'язків $\ell (x) = n$ . Це правда, що $S(n) < S(n + 1)$ для всіх $n > 0$ ? (Утц)
Гіпотеза Полі: $\sum_{n = 1}^x \lambda (n) \le 0$ , $x > 1$ . (Перевірено $x < 800000.$ )
Припущення Турана: $\sum_{n = 1}^{x} \dfrac{\lambda (n)}{n} > 0$ . (Перевірено $x < 50000.$ )
Гіпотеза Піллаї: $|x^m - y^n| < N$ , $m, n > 1$ має для кожного $N$ лише кінцеву кількість рішень.
$2^e$ нераціонально.
Знайти обґрунтовану оцінку кількості розв'язків у натуральних числах
$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} + \cdot\cdot\cdot + \dfrac{1}{x_n} = 1.$