9: Математичні моделі та геометрія
- Page ID
- 57583
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Нас оточує всіляка геометрія. Архітектори використовують геометрію для проектування будівель. Художники створюють яскраві образи з барвистих геометричних фігур. Вуличні знаки, автомобілі та упаковка товарів - все це використовують геометричні властивості. У цьому розділі ми почнемо з розгляду формального підходу до вирішення проблем і використання його для вирішення різноманітних загальних проблем, в тому числі прийняття рішень про гроші. Потім ми вивчимо геометрію і співвідносимо її з повсякденними ситуаціями, використовуючи розроблену нами стратегію вирішення проблем.
- 9.1: Використовуйте стратегію вирішення проблем (частина 1)
- У попередніх розділах ви перекладали словосполучення в алгебраїчні вирази, а речення слів - в алгебраїчні рівняння та вирішували деякі проблеми зі словами, які застосовували математику до повсякденних ситуацій. Вам довелося переосмислити ситуацію в одному реченні, призначити змінну, а потім написати рівняння для вирішення. Цей метод працює до тих пір, поки ситуація вам знайома і математика не надто складна. Тепер ми розробимо стратегію, яку ви можете використовувати для вирішення будь-якої проблеми зі словами.
- 9.2: Використовуйте стратегію вирішення проблем (частина 2)
- У задачах з числами вам даються деякі підказки щодо одного або декількох чисел, і ви використовуєте ці ключі для побудови рівняння. Проблеми з числом зазвичай не виникають щодня, але вони забезпечують гарне введення в практику Стратегії вирішення проблем. Деякі проблеми з числовими словами просять вас знайти два або більше чисел. Обов'язково уважно прочитайте проблему, щоб дізнатися, як всі цифри співвідносяться один з одним.
- 9.3: Вирішуйте грошові програми
- Рішення проблем з монетним словом багато в чому схоже на вирішення будь-якої іншої проблеми слова. Однак те, що робить їх унікальними, полягає в тому, що ви повинні знайти загальну вартість монет, а не просто загальну кількість монет. Для монет одного типу загальну вартість можна дізнатися, помноживши кількість монет на вартість окремої монети. Можливо, вам буде корисно помістити всі цифри в таблицю, щоб переконатися, що вони перевіряють.
- 9.4: Використовуйте властивості кутів, трикутників та теореми Піфагора (частина 1)
- Кут утворений двома променями, які мають спільну кінцеву точку. Кожен промінь називається стороною кута, а загальна кінцева точка називається вершиною. Якщо сума мір двох кутів дорівнює 180°, то вони є додатковими кутами. Але якщо їх сума дорівнює 90°, то вони є доповнюючими кутами. Ми адаптуємо нашу стратегію вирішення проблем для геометрії. Так як ці аплікації будуть задіяні геометричні фігури, то це допоможе намалювати фігуру і позначити її інформацією з проблеми.
- 9.5: Використовуйте властивості кутів, трикутників та теореми Піфагора (частина 2)
- Трикутники називаються їх вершинами. Для будь-якого трикутника сума мір кутів дорівнює 180°. Деякі трикутники мають спеціальні назви, такі як прямокутний трикутник, який має один кут 90°. Теорема Піфагора розповідає, як довжини трьох сторін прямокутного трикутника співвідносяться один з одним. Він стверджує, що в будь-якому прямокутному трикутнику сума квадратів двох катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. Для вирішення завдань, які використовують теорему Піфагора, нам потрібно буде знайти квадратні корені.
- 9.6: Використання властивостей прямокутників, трикутників і трапецій (частина 1)
- Багато застосувань геометрії передбачають знаходження периметра або площі фігури. Периметр - це міра відстані навколо фігури. Площа - це міра поверхні, покритої фігурою. Обсяг - це міра кількості місця, зайнятого фігурою. Прямокутник має чотири сторони і чотири прямих кута. Протилежні сторони прямокутника мають однакову довжину. Ми посилаємося на одну сторону прямокутника як довжину, L, а сусідню сторону як ширину, W.
- 9.7: Використання властивостей прямокутників, трикутників і трапецій (частина 2)
- Трикутники, які є конгруентними, мають однакові довжини сторін і кути, і тому їх площі рівні. Площа трикутника дорівнює половині підстави на висоту. Рівнобедрений трикутник - це трикутник з двома сторонами однакової довжини, тоді як трикутник, який має три сторони однакової довжини, є рівностороннім трикутником. Трапеція - це чотиригранна фігура з двома паралельними сторонами, підставами, і двома сторонами, яких немає. Площа трапеції дорівнює половині висоти, що перевищує суму підстав.
- 9.8: Розв'язуйте програми геометрії - кола та нерегулярні фігури
- У цьому розділі ми будемо працювати над додатками геометрії для кіл і неправильних фігур. Для вирішення додатків з колами ми використовуємо властивості кіл з десяткових знаків і дробів. Неправильна фігура - це фігура, яка не є стандартною геометричною формою. Його площа не може бути розрахована за допомогою жодної зі стандартних формул площі. Щоб знайти площу однієї з цих нерегулярних фігур, ми розділимо її на фігури, формули яких ми знаємо, а потім додаємо області фігур.
- 9.9: Вирішити додатки геометрії - обсяг і площа поверхні (частина 1)
- Площа поверхні - це квадратна міра загальної площі всіх сторін прямокутного твердого тіла. Обсяг простору всередині прямокутного твердого тіла - це обсяг, кубічна міра. Об'єм, V, будь-якого прямокутного твердого тіла є твором довжини, ширини та висоти. Щоб знайти площу поверхні прямокутного тіла, знайдіть площу кожної грані, яку ви бачите, а потім помножте кожну область на два, щоб врахувати обличчя на протилежній стороні.
- 9.10: Вирішити додатки геометрії - обсяг і площа поверхні (частина 2)
- Сфера - це форма баскетбольного м'яча, схожа на тривимірне коло. Циліндр - це суцільна фігура з двома паралельними колами однакового розміру вгорі і знизу. Верх і низ циліндра називаються підставами. Висота h циліндра - це відстань між двома підставами. У геометрії конус - це суцільна фігура з одним круглим підставою і вершиною. Висота конуса - це відстань між його основою і вершиною.
- 9.11: Розв'яжіть формулу для конкретної змінної
- Для об'єкта, що рухається з рівномірною (постійною) швидкістю, пройдена відстань, минулий час і швидкість пов'язані формулою d = rt де d = відстань, r = швидкість, і t = час. Вирішити формулу для конкретної змінної означає отримати цю змінну сама по собі з коефіцієнтом 1 на одній стороні рівняння, а всі інші змінні та константи з іншого боку. В результаті виходить ще одна формула, що складається тільки зі змінних.
Малюнок 9.1 - Зверніть увагу на безліч окремих фігур в цій будівлі. (Кредит: Берт Кауфманн, Flickr)