36.7: Порівняння чисел та відстані від нуля

Last updated
Save as PDF

Page ID: 880

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте використаємо абсолютне значення та від'ємні числа, щоб подумати про висоту.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Opposites

\(a\)є раціональним числом. Виберіть значення для\(a\) і нанесіть його на числовий рядок.

1. Виходячи з того, де ви намалювали\(a\), нанесіть графік\(-a\) на тій же числовій лінії.
2. Яка цінність того\(-a\), що ви намалювали?
Ной сказав: «Якщо\(a\) це раціональне число, завжди\(-a\) буде негативним числом». Чи згодні ви з Ноєм? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Submarine

Підводний човен знаходиться на висоті -100 футів (100 футів нижче рівня моря). Давайте порівняємо височини цих чотирьох людей з підводним човном:

Висота Клер більше, ніж висота підводного човна. Клер знаходиться далі від рівня моря, ніж підводний човен.
Висота Андре менше висоти підводного човна. Андре знаходиться далі від рівня моря, ніж підводний човен.
Висота Хана більше, ніж висота підводного човна. Хан ближче до рівня моря, ніж підводний човен.
Висота Лінь знаходиться на тій же відстані від рівня моря, що і підводний човен.

Заповніть таблицю наступним чином.

Напишіть можливе піднесення для кожної людини.
Використовуйте\(<, >,\) або\(=\) порівнюйте висоту цієї людини з підводним човном.

Використовуйте абсолютне значення, щоб визначити, наскільки далеко людина знаходиться від рівня моря (висота 0).
Як приклад, перший рядок був заповнений можливою висотою для Клер.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
	можливе піднесення	порівняти з підводним човном	віддаленість від рівня моря
Клер	\(150\)ноги	\(150>-100\)	\(\|150\|\)або\(150\) стопи
Андре
Хан
Лін

Прия каже, що її висота менше, ніж підводний човен, і вона ближче до рівня моря. Чи можливо це? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Info Gap: Points on the Number Line

Ваш викладач видасть вам або проблемну карту, або картку даних. Не показуйте і не читайте свою картку партнеру.

Якщо ваш викладач дає вам проблемну картку:

Мовчки читайте свою карту і подумайте, яка інформація вам потрібна, щоб зуміти відповісти на питання.
Попросіть свого партнера конкретну інформацію, яка вам потрібна.
Поясніть, як ви використовуєте інформацію для вирішення проблеми.
Продовжуйте задавати питання, поки у вас не буде достатньо інформації для вирішення проблеми.
Поділіться проблемною картою і вирішуйте проблему самостійно.
Прочитайте картку даних і обговоріть свої міркування.

Якщо ваш викладач дає вам картку даних:

Мовчки читайте свою картку.
Запитайте свого партнера «Яка конкретна інформація вам потрібна?» і чекайте, поки вони попросять інформацію.
Якщо ваш партнер запитує інформацію, якої немає на карті, не робіть розрахунків за них. Скажіть їм, що у вас немає такої інформації.
Перш ніж ділитися інформацією, запитайте «Навіщо вам ця інформація? » Прислухайтеся до міркувань свого партнера і задайте уточнюючі питання.
Прочитайте проблемну карту і вирішуйте проблему самостійно.
Поділіться карткою даних і обговоріть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{4}\): Inequality Mix and Match

Ось деякі цифри і символи нерівності. Працюйте зі своїм партнером, щоб написати правдиві заяви порівняння.

\(\begin{array}{lllllllllll}{-0.7}&{\qquad}&{-\frac{3}{5}}&{\qquad}&{1}&{\qquad}&{4}&{\qquad}&{|-8|}&{\qquad}&{<}\\{-\frac{6}{3}}&{\qquad}&{-2.5}&{\qquad}&{2.5}&{\qquad}&{8}&{\qquad}&{|0.7|}&{\qquad}&{=}\\{-4}&{\qquad}&{0}&{\qquad}&{\frac{7}{2}}&{\qquad}&{|3|}&{\qquad}&{|-\frac{5}{2}|}&{\qquad}&{>}\end{array}\)

Один партнер повинен вибрати два числа і один символ порівняння і використовувати їх для написання істинного твердження за допомогою символів. Інший партнер повинен написати пропозицію словами з таким же значенням, використовуючи такі фрази:

дорівнює
абсолютна величина
більше, ніж
менше

Наприклад, один партнер міг написати,\(4<8\) а інший написав би: «4 менше 8». Перемикайте ролі, поки кожен партнер не матиме три справжні математичні твердження та три пропозиції, записані.

Ви готові до більшого?

Для кожного питання виберіть значення для кожної змінної, щоб зробити все твердження вірним. (Коли слово і використовується в математиці, обидві частини повинні бути істинними, щоб все твердження було правдою.) Чи можете ви це зробити, якщо одна змінна негативна, а одна позитивна? Чи можете ви це зробити, якщо обидва значення негативні?

\(x<y\)і\(|x|<y\).
\(a<b\)і\(|a|<|b|\).
\(c<d\)і\(|c|>d\).
\(t<u\)і\(|t|>|u|\).

Резюме

Ми можемо використовувати висоту, щоб допомогти нам порівняти два раціональні числа або два абсолютних значення.

Припустимо, якір має висоту -10 метрів, а будинок має висоту 12 метрів. Щоб описати якір, що має меншу висоту, ніж будинок, можна написати\(-10<12\) і сказати «-10 менше 12».
Якір знаходиться ближче до рівня моря, ніж будинок до рівня моря (або висоті 0). Щоб описати це, ми можемо написати\(|-10|<|12|\) і сказати «відстань між -10 і 0 менше, ніж відстань між 12 і 0».

Ми можемо використовувати подібні описи для порівняння раціональних чисел та їх абсолютних значень поза контекстом висоти.

Щоб порівняти відстань -47,5 та 5,2 від 0, можна сказати:\(|-47.5|\) це 47,5 одиниць від 0, а\(|5.2|\) це 5,2 одиниці від 0, так що\(|-47.5|>|5.2|\).
\(|-18|>4\)означає, що абсолютне значення -18 більше 4. Це вірно, оскільки 18 більше, ніж 4.

Записи глосарію

Визначення: Абсолютне значення

Абсолютне значення числа - це його відстань від 0 на числовому рядку.

Абсолютне значення -7 дорівнює 7, тому що воно знаходиться на відстані 7 одиниць від 0. Абсолютне значення 5 дорівнює 5, тому що воно знаходиться на відстані 5 одиниць від 0.

Визначення: Від'ємне число

Від'ємне число - це число, яке менше нуля. На горизонтальному числовому рядку від'ємні числа зазвичай відображаються ліворуч від 0.

Визначення: Протилежне

Два числа є протилежними, якщо вони знаходяться на однаковій відстані від 0 і по різні боки числової лінії.

Наприклад, 4 - протилежність -4, а -4 - протилежність 4. Вони обидва мають однакову відстань від 0. Один негативний, а інший - позитивний.

Визначення: Позитивне число

Позитивне число - це число, яке більше нуля. На горизонтальній числовій лінії позитивні числа зазвичай відображаються праворуч від 0.

Визначення: Раціональне число

Раціональне число - це дріб або протилежне дробу.

Наприклад, 8 і -8 є раціональними числами, оскільки їх можна записати як\(\frac{8}{1}\) і\(-\frac{8}{1}\).

Крім того, 0,75 і -0,75 є раціональними числами, оскільки їх можна записати як\(\frac{75}{100}\) і\(-\frac{75}{100}\).

Визначення: Знак

Знак будь-якого числа, відмінного від 0, є позитивним або негативним.

Наприклад, знак 6 позитивний. Знак -6 негативний. Нуль не має знака, тому що він не є позитивним або негативним.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Що означало б\(|-7|\) ноги в контексті піднесення?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Зіставте твердження, написані англійською мовою, з математичними твердженнями.

Число -4 - це відстань в 4 одиниці від 0 на числовому рядку.
Число -63 більше 4 одиниць від 0 на числовому рядку.
Число 4 більше числа -4.
Числа 4 і -4 - це однакова відстань від 0 на числовому рядку.
Число -63 менше числа 4.
Число -63 знаходиться далі від 0, ніж число 4 на числовому рядку.

\(|-63|>4\)
\(-63<4\)
\(|-63|>|4|\)
\(|-4|=4\)
\(4>-4\)
\(|4|=|-4|\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Порівняйте кожну пару виразів за допомогою >, < або =.

\(-32\underline{\quad} 15\)
\(|-32|\underline{\quad} |15|\)
\(5\underline{\quad} -5\)
\(|5|\underline{\quad} |-5|\)
\(2\underline{\quad} -17\)
\(2\underline{\quad} |-17|\)
\(|-27|\underline{\quad} |-45|\)
\(|-27|\underline{\quad} -45\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Mai отримував і витрачав гроші наступними способами минулого місяця. Для кожного прикладу напишіть підписане число, щоб представляти зміну грошей з її точки зору.

Бабуся подарувала їй 25 доларів в листівці на день народження.
Вона заробила 14 доларів няні.
Вона витратила 10 доларів на квиток на концерт.
Вона пожертвувала 3 долари на місцеву благодійну організацію.
Вона отримала 2 долари відсотків на гроші, які були на її ощадному рахунку.

(Від блоку 7.1.5)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Ось найнижчі температури, зафіксовані за останні 2 століття для деяких міст США.

Долина смерті, Каліфорнія була\(-45^{\circ}\text{F}\) в січні 1937 року.
Данбері, Коннектикут був\(-37^{\circ}\text{F}\) у лютому 1943 року.
Монтічелло, штат Флорида, був\(-2^{\circ}\text{F}\) у лютому 1899 року.
Іст-Сент-Луїс, штат Іллінойс був\(-36^{\circ}\text{F}\) у січні 1999 року.
Грінвілл, штат Джорджія, був\(-17^{\circ}\text{F}\) у січні 1940 року.

Яке з цих станів має найнижчу рекордну температуру?
Який стан має нижчу рекордну температуру, ФЛ або ГА?
Який стан має нижчу рекордну температуру, КТ або ІЛ?
На скільки більше градусів холодніше рекордна температура для GA, ніж для FL?

(З блоку 7.1.1)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Знайдіть коефіцієнти.

\(0.024\div 0.015\)
\(0.24\div 0.015\)
\(0.024\div 0.15\)
\(24\div 15\)

(Від блоку 5.4.5)