36.6: Абсолютне значення чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 875

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте вивчимо відстані від нуля ближче.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Number Talk: Closer to Zero

Для кожної пари виразів подумки визначте, який з них має значення, яке ближче до 0.

\(\frac{9}{11}\)або\(\frac{15}{11}\)

\(\frac{1}{5}\)або\(\frac{1}{9}\)

\(1.25\)або\(\frac{5}{4}\)

\(0.01\)або\(0.001\)

Вправа\(\PageIndex{2}\): Jumping Flea

Перемістіть помилку в початкову точку, виберіть відстань стрибка і натисніть кнопку стрибка. Можливо, вам доведеться збільшити або зменшити масштаб, якщо ваша помилка вискакує з екрану.

Помилка стрибає навколо на числовому рядку.
1. Якщо помилка починається з 1 і стрибає 4 одиниці вправо, де це в кінцевому підсумку? Як далеко від 0 це?
2. Якщо помилка починається з 1 і стрибає на 4 одиниці вліво, де це в кінцевому підсумку? Як далеко від 0 це?
3. Якщо помилка починається з 0 і стрибає 3 одиниці, де він може приземлитися?
4. Якщо помилка стрибає 7 одиниць і приземлиться на 0, де він міг би розпочатися?
5. Абсолютне значення числа - це відстань, яке воно становить від 0. На даний момент помилка знаходиться ліворуч від 0, а абсолютне значення його розташування дорівнює 4. Де на числовому рядку вона?
6. Якщо помилка знаходиться зліва від 0 і абсолютне значення його розташування дорівнює 5, де на числовому рядку він знаходиться?
7. Якщо помилка знаходиться праворуч від 0 і абсолютне значення його розташування дорівнює 2,5, то де на числовому рядку він знаходиться?
Ми використовуємо позначення,\(|-2|\) щоб сказати «абсолютне значення -2», що означає «відстань -2 від 0 на числовій лінії».
1. Що\(|-7|\) означає і в чому його цінність?
2. Що\(|-1.8|\) означає і в чому його цінність?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Absolute Elevation and Temperature

Частина міста Новий Орлеан знаходиться на 6 футах нижче рівня моря. Ми можемо використовувати «-6 футів» для опису його висоти, а «\(|-6|\)ноги» для опису його вертикальної відстані від рівня моря. Що б описувало кожне з наступних чисел у контексті висоти?
1. \(25\)ноги
2. \(|25|\)ноги
3. \(-8\)ноги
4. \(|-8|\)ноги
Висота міста відрізняється від рівня моря на 10 футів. Назвіть дві височини, які могло б мати місто.
Ми пишемо «\(-5^{\circ}\text{C}\)», щоб описати температуру, яка на\(5\) градусах Цельсія нижче температури замерзання і «\(6^{\circ}\text{C}\)» для температури, яка на\(5\) градуси вище замерзання. У цьому контексті, що описує кожне з наступних чисел?
1. \(1^{\circ}\text{C}\)
2. \(-4^{\circ}\text{C}\)
3. \(|12|^{\circ}\text{C}\)
4. \(|-7|^{\circ}\text{C}\)
1. Яка температура холодніше:\(-6^{\circ}\text{C}\) або\(3^{\circ}\text{C}\)?
2. Яка температура ближче до температури замерзання:\(-6^{\circ}\text{C}\) або\(3^{\circ}\text{C}\)?
3. Яка температура має меншу абсолютну величину? Поясніть, як ви знаєте.
Ви готові до більшого?

Резюме

Порівнюємо числа, порівнюючи їх позиції на числовому рядку: більше одне, що далі праворуч, менше.

Іноді ми хочемо порівняти, який з них ближче або далі від 0. Наприклад, ми можемо захотіти знати, наскільки далеко знаходиться температура від точки замерзання\(0^{\circ}\text{C}\), незалежно від того, вище або нижче замерзання.

Абсолютне значення числа говорить нам про його відстань від 0.

Абсолютне значення -4 дорівнює 4, тому що -4 дорівнює 4 одиницям зліва від 0. Абсолютне значення 4 також дорівнює 4, тому що 4 - це 4 одиниці праворуч від 0. Протилежності завжди мають однакове абсолютне значення, оскільки вони обидва мають однакову відстань від 0.

Відстань від 0 до самого себе дорівнює 0, тому абсолютне значення 0 дорівнює 0. Нуль - єдине число, відстань якого до 0 дорівнює 0. Для всіх інших абсолютних значень завжди є два числа - одне позитивне і одне негативне - які мають таку відстань від 0.

Щоб сказати «абсолютне значення 4», пишемо:\(|4|\)

Щоб сказати, що «абсолютне значення -8 дорівнює 8», пишемо:\(|-8|=|8|\)

Записи глосарію

Визначення: Абсолютне значення

Абсолютне значення числа - це його відстань від 0 на числовому рядку.

Абсолютне значення -7 дорівнює 7, тому що воно знаходиться на відстані 7 одиниць від 0. Абсолютне значення 5 дорівнює 5, тому що воно знаходиться на відстані 5 одиниць від 0.

Визначення: Від'ємне число

Від'ємне число - це число, яке менше нуля. На горизонтальному числовому рядку від'ємні числа зазвичай відображаються ліворуч від 0.

Визначення: Протилежне

Два числа протилежні, якщо вони знаходяться на однаковій відстані від 0 і по різні боки числової лінії.

Наприклад, 4 - протилежність -4, а -4 - протилежність 4. Вони обидва мають однакову відстань від 0. Один негативний, а інший - позитивний.

Визначення: Позитивне число

Позитивне число - це число, яке більше нуля. На горизонтальній числовій лінії позитивні числа зазвичай відображаються праворуч від 0.

Визначення: Раціональне число

Раціональне число - це дріб або протилежне дробу.

Наприклад, 8 і -8 є раціональними числами, оскільки їх можна записати як\(\frac{8}{1}\) і\(-\frac{8}{1}\).

Крім того, 0,75 і -0,75 є раціональними числами, оскільки їх можна записати як\(\frac{75}{100}\) і\(-\frac{75}{100}\).

Визначення: Знак

Знак будь-якого числа, відмінного від 0, є позитивним або негативним.

Наприклад, знак 6 позитивний. Знак -6 негативний. Нуль не має знака, тому що він не є позитивним або негативним.

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

На числовому рядку намітити і позначити всі числа з абсолютним значенням\(\frac{3}{2}\).

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Температура на світанку знаходиться\(6^{\circ}\text{C}\) далеко від 0. Виберіть всі температури, які можливі.

\(-12^{\circ}\text{C}\)
\(-6^{\circ}\text{C}\)
\(0^{\circ}\text{C}\)
\(6^{\circ}\text{C}\)
\(12^{\circ}\text{C}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Поставте ці цифри по порядку, від найменшого до найбільшого.

\(|-2.7|\qquad 0\qquad 1.3\qquad |-1|\qquad 2\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Сім'я Ліна повинна проїхати 325 миль, щоб дістатися до будинку бабусі.

На 26 милі, який відсоток відстані поїздки вони пройшли?
Як далеко вони подорожували, коли пройшли 72% відстані поїздки?
На 377 миль, який відсоток відстані поїздки вони пройшли?

(Від блоку 5.4.3)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Олена жертвує гроші на благодійність щоразу, коли заробляє гроші нянею. У таблиці показано, скільки грошей\(d\), які вона жертвує на різні суми грошей\(m\), що заробляє.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)
\(d\)	\(4.44\)	\(1.80\)	\(3.12\)	\(3.60\)	\(2.16\)
\(m\)	\(37\)	\(15\)	\(26\)	\(30\)	\(18\)

Який відсоток свого доходу Олена жертвує на благодійність? Поясніть або покажіть свою роботу.
Яка кількість,\(m\) або\(d\), буде кращим вибором для залежної змінної в рівнянні, що описує зв'язок між\(m\) і\(d\)? Поясніть свої міркування.
Використовуйте свій вибір з другого питання, щоб написати рівняння, яке стосується\(m\) і\(d\).

(З блоку 6.4.1)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

У скільки разів більше перше число в парі, ніж друге?

\(3^{4}\)в _____ разів більше, ніж\(3^{3}\).
\(5^{3}\)в _____ разів більше, ніж\(5^{2}\).
\(7^{10}\)в _____ разів більше, ніж\(7^{8}\).
\(17^{6}\)в _____ разів більше, ніж\(17^{4}\).
\(5^{10}\)в _____ разів більше, ніж\(5^{4}\).

(Від блоку 6.3.1)