7.3: Одиничне коло

Цілі навчання

• Знайти значення функції для синуса і косинуса 30° або\((\frac{\pi}{6})\) ,45° або\((\frac{\pi}{4})\), і 60° або\((\frac{\pi}{3})\).
• Визначте область і діапазон синусоїдних і косинусних функцій.
• Знайти опорні кути.
• Використовуйте опорні кути для оцінки тригонометричних функцій.

Шукаєте гострих відчуттів? Тоді розглянемо поїздку на Singapore Flyer, найвищому в світі колесі огляду. Розташоване в Сінгапурі колесо огляду злітає на висоту 541 футів - трохи більше десятої милі! Описаний як колесо спостереження, вершники насолоджуються вражаючими видами, коли вони подорожують від землі до вершини і вниз знову повторюючись. У цьому розділі ми розглянемо цей тип обертового руху по колу. Для цього нам потрібно спочатку визначити тип кола, а потім помістити це коло на систему координат. Тоді ми можемо обговорити круговий рух з точки зору координатних пар.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Singapore Flyer є найвищим у світі колесом огляду. (Кредит: «Вібін JK» /Flickr)

Пошук значень функцій для синуса і косинуса

Щоб визначити наші тригонометричні функції, ми починаємо з малювання одиничної окружності, окружності з центром у початку з радіусом 1, як показано на малюнку\(\PageIndex{2}\). Кут (в радіанах), який\(t\) перехоплює, утворює дугу довжини\(s\). Використовуючи формулу\(s=rt\), і знаючи\(r=1\), що, ми бачимо, що для одиниці кола,\(s=t\).

Нагадаємо, що осі x- і y ділять координатну площину на чотири чверті, звані квадрантами. Ми позначаємо ці квадранти, щоб імітувати напрямок позитивного кута змітає. Чотири квадранти позначені I, II, III та IV.

Для будь-якого кута\(t,\) ми можемо позначити перетин сторони терміналу та одиничного кола як за його координатами,\((x,y)\). Координати\(x\) і\(y\) будуть виходами тригонометричних функцій\(f(t)= \cos t\) і\( f(t)= \sin t\), відповідно. Це означає\(x= \cos t\) і\(y= \sin t\).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Одиниця окружності, де центральний кут -\(t\) радіани

ОДИНИЦЯ КОЛО

Одиничне коло має центр в\((0,0)\) і радіус\(1\). Довжина перехопленої дуги дорівнює радіанової мірі центрального кута\(t\).

\((x,y)\)Дозволяти кінцева точка на одиниці окружності дуги довжини дуги\(s\). \((x,y)\)Координати цієї точки можна описати як функції кута.

Визначення функцій синуса і косинуса

Тепер, коли у нас є одиничне коло, ми можемо дізнатися, як\((x,y)\) координати співвідносяться з довжиною дуги і кутом. Функція синуса пов'язує дійсне число\(t\) з\(y\) -координатою точки, де відповідний кут перехоплює одиничну окружність. Точніше, синус кута\(t\) дорівнює\(y\) -значенню кінцевої точки на одиничній окружності дуги довжини\(t\). На\(\PageIndex{3}\) малюнку синус дорівнює\(y\). Як і всі функції, функція синуса має вхід і вихід. Його вхід - міра кута; його вихід\(y\) - координата відповідної точки на одиничному колі.

Функція косинуса кута\(t\) дорівнює\(x\) -значенню кінцевої точки на одиничному колі дуги довжини\(t\). На\(\PageIndex{1}\) малюнку косинус дорівнює x.

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Оскільки розуміється, що синус і косинус - це функції, нам не завжди потрібно записувати їх дужками:\(\sin t\) це те ж саме,\(\cos t\) що\(\sin (t)\) і таке ж, як\(\cos (t)\). Аналогічно,\(\cos ^2 t\) є загальновживаним скороченням позначення для\(( \cos (t))^2\). Майте на увазі, що багато калькуляторів і комп'ютерів не розпізнають стенографічні позначення. Якщо ви сумніваєтеся, використовуйте додаткові дужки при введенні розрахунків в калькулятор або комп'ютер.

ФУНКЦІЇ СИНУСА І КОСИНУСА

Якщо\(t\) дійсне число, а точка\((x,y)\) на одиничному колі відповідає куту\(t\), то

$$$$

\[ \begin{align} \cos t & = x \\ \sin t & = y \end{align}\]

Як: З огляду на точку\(P(x,y)\) on the unit circle corresponding to an angle of \( t\), find the sine and cosine

1. Синус\(t\) дорівнює\(y\) -координаті точки\(P\):\( \sin t=y\).
2. Косинус\(t\) дорівнює\(x\) -координаті точки\(P\):\( \cos t=x\).

Приклад\(\PageIndex{1}\): Finding Function Values for Sine and Cosine

Точка\(P\) - точка на одиничній окружності, що відповідає куту\(t\), як показано на малюнку\(\PageIndex{4}\). Знайти\(\cos (t)\) і\(\sin (t)\).

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Рішення

Ми знаємо, що\(\cos t \) є\(x\) -координата відповідної точки на одиничному колі і\(\sin t\) є\(y\) -координатою відповідної точки на одиничному колі. Отже:

\(\begin{align*} x & = \cos t= \frac{1}{2} \\ y & = \sin t= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\)

$$$$

Спробуйте\(\PageIndex{1}\)

Певний кут\(t\) відповідає точці на одиничній окружності\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\), як показано на малюнку\(\PageIndex{5}\). Знайти\(\cos t\) і\(\sin t\).

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Відповідь

\(\cos (t)=−\dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \sin (t)=\dfrac {\sqrt{2}}{2} \)

Пошук синусів і косинусів кутів на осі

Для квадратральних кутів відповідна точка на одиничному колі припадає на\(x\) - або\(y\) -вісь. У такому випадку ми можемо легко обчислити косинус і синус за значеннями\(x\) і\(y\).

Приклад\(\PageIndex{2}\): Calculating Sines and Cosines along an Axis

Знайти\(\cos (90°)\) і\(\sin (90°).\)

Рішення

Переміщення\(90°\) проти годинникової стрілки навколо одиничного кола від позитивної\(x\) -осі призводить нас до вершини кола, де\((x,y)\) координати (0, 1), як показано на малюнку\(\PageIndex{6}\).

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Використовуючи наші визначення косинуса і синуса,

\(\begin{align*} x &= \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y &= \sin t = \sin (90°) = 1 \end{align*} \)

$$$$

Косинус 90° дорівнює 0; синус 90° дорівнює 1.

Спробуйте\(\PageIndex{2}\)

Знайти косинус і синус кута\(π\).

Відповідь

\(\cos (π)=−1, \sin (π)=0\)

Піфагорійська ідентичність

Тепер, коли ми можемо визначити синус і косинус, ми дізнаємося, як вони співвідносяться один з одним і одиничним колом. Нагадаємо, що рівняння для одиничного кола є\(x^2+y^2=1\). Тому що\(x= \cos t\) і\(y=\sin t\), ми можемо замінити\( x\) і\(y\) отримати\(\cos ^2 t+ \sin ^2 t=1.\) Це\( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1,\) рівняння, відоме як Піфагора Ідентичність. Див\(\PageIndex{7}\). Малюнок.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Ми можемо використовувати Піфагорійську Ідентичність, щоб знайти косинус кута, якщо ми знаємо синус, або навпаки. Однак, оскільки рівняння дає два рішення, нам потрібні додаткові знання кута, щоб вибрати рішення з правильним знаком. Якщо ми знаємо квадрант, де знаходиться кут, ми можемо легко вибрати правильне рішення.

ПІФАГОРЕЙСЬКА ІДЕНТИЧНІСТЬ

Піфагорійська ідентичність стверджує, що для будь-якого дійсного числа\(t\)

\[ \cos^2 t+ \sin^2 t=1  \]

Як: За допомогою синуса деякого кута t та його квадратного розташування знайдіть косинус t

1. Підставте відоме значення\(\sin (t)\) в Піфагорійську Ідентичність.
2. Вирішити для\( \cos (t)\).
3. Виберіть рішення з відповідним знаком для\(x\) -значень у квадранті, де\(t\) знаходиться.

Приклад\(\PageIndex{3}\): Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

Якщо\(\sin (t)=\dfrac{3}{7}\) і\(t\) знаходиться в другому квадранті, знайдіть\( \cos (t)\).

Рішення

Якщо відкинути вертикальну лінію з точки на одиничному колі, що відповідає\(t\), ми створимо прямокутний трикутник, з якого ми можемо побачити, що Піфагора Ідентичність - це просто один випадок теореми Піфагора. Див\(\PageIndex{8}\). Малюнок.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Підставляючи відоме значення синуса в Піфагорійську ідентичність,

\[\begin{align*} \cos ^2 (t)+ \sin ^2(t) &=1 \\  \cos ^2(t)+\dfrac{9}{49} &=1 \\ \cos ^2(t) & = \dfrac{40}{49} \\  \cos (t) &=± \sqrt{\dfrac{40}{49}}=±\dfrac{\sqrt{40}}{7}=±\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \end{align*}\]

Оскільки кут знаходиться у другому квадранті, ми знаємо, що\(x\) -значення є негативним дійсним числом, тому косинус також негативний. Так

\[ \cos (t)=−\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \nonumber \]

Спробуйте\(\PageIndex{3}\)

Якщо\(\cos (t)=\dfrac{24}{25}\) і\(t\) знаходиться в четвертому квадранті, знайдіть\( \sin (t)\).

Відповідь

\(\sin (t)=−\dfrac{7}{25}\)

Пошук синусів і косинусів спеціальних кутів

Ми вже дізналися деякі властивості спеціальних кутів, таких як перетворення з радіанів в градуси. Ми також можемо обчислити синуси та косинуси спеціальних кутів, використовуючи Піфагорійську Ідентичність та наші знання про трикутники.

Пошук синусів і косинусів кутів 45°

Спочатку ми будемо дивитися під кутами\(45°\) або\(\dfrac{π}{4}\), як показано на малюнку\(\PageIndex{9}\). \(45°–45°–90°\)Трикутник - це рівнобедрений трикутник, тому\(x\) - і\(y\) -координати відповідної точки на колі однакові. Оскільки значення x- і\(y\) -однакові, значення синуса і косинуса також будуть рівними.

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

При\(t=\frac{π}{4}\), що дорівнює 45 градусам, радіус одиничної окружності перетинає перший квадратний кут. Це означає, що радіус лежить уздовж лінії\(y=x\). Одинична окружність має радіус, рівний 1. Отже, утворився під лінією прямокутний трикутник\(y=x\) має сторони\(x\) і\(y\) (с\(y=x),\) і радіус = 1. Див\(\PageIndex{10}\). Малюнок.

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

З теореми Піфагора отримуємо

\[x^2+y^2=1 \nonumber \]

Підставляючи\(y=x\), отримуємо

\[x^2+x^2=1 \nonumber \]

Поєднуючи подібні терміни ми отримуємо

\[2x^2=1 \nonumber \]

І вирішуючи за\(x\), отримуємо

\[\begin{align*} x^2 &=\dfrac{1}{2} \\ x &=±\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}  \]

У квадранті I,\(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

При\(t=\dfrac{π}{4}\) або 45 градусах,

\[\begin{align*} (x,y) & =(x,x)=(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; \sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}  \]

Якщо потім раціоналізувати знаменники, то отримаємо

\[ \begin{align*} \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}  \\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}\]

Отже,\((x,y)\) координати точки на колі радіуса\(1\) під кутом\(45°\) є\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

Пошук синусів і косинусів 30° і 60° кутів

Далі знайдемо косинус і синус під кутом\(30°,\) або\(\tfrac{π}{6}\). Спочатку ми намалюємо трикутник всередині кола однією стороною під кутом,\(30°,\) а інший під кутом,\(−30°,\) як показано на малюнку\(\PageIndex{11}\). Якщо отримані два прямокутних трикутника об'єднати в один великий трикутник, зверніть увагу, що всі три кута цього більшого трикутника будуть такими,\(60°,\) як показано на малюнку\(\PageIndex{12}\).

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Оскільки всі кути рівні, сторони теж рівні. Вертикальна лінія має довжину\(2y\), і так як сторони всі рівні, то можна зробити висновок, що\(r=2y\) або\(y=\frac{1}{2}r\). З тих пір\( \sin t=y\),

\[ \sin \left(\frac{π}{6} \right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]

І так як\(r=1\) в нашому одиничному колі,

\[\begin{align*} \sin \left(\frac{π}{6} \right) & = \dfrac{1}{2}(1) \\ &= \dfrac{1}{2} \end{align*}  \]

Використовуючи Піфагорійську Ідентичність, ми можемо знайти значення косинуса.

\ (\ почати {вирівняний}
\ cos^2\ ліворуч (\ frac {π} {6}\ праворуч) +\ sin^2\ ліворуч (\ frac {π} {6}\ праворуч) &= 1 &&
\\ cos^2\ ліворуч (\ frac {π} {6}\ праворуч) +\ ліворуч (\ dfrac {1} {2}\ праворуч) ^2 &= 1\
\ cos^2\ ліворуч (\ frac {π} {6}\ праворуч) &=\ dfrac {3} {4} &&\ text { Використовуйте властивість square root.} \\ cos
\ left (\ frac {π} {6}\ праворуч) &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {3} {4}} =\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} &\ text {Оскільки\(y\) позитивний, виберіть позитивний корінь.}\
\ end {вирівняний}\)

\((x,y)\)Координати точки на колі радіуса\(1\) під кутом\(30°\) є\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\). При\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°) радіус одиничної окружності, 1, служить гіпотенузою прямокутного трикутника 30-60-90 градусів,\(BAD,\) як показано на малюнку\(\PageIndex{13}\). Кут\(A\) має вимір 60°. 60°. У точці\(B,\) малюємо кут\(ABC\) з мірою\( 60°\). Ми знаємо кути в трикутник сума до\(180°\), тому міра кута\(C\) також\(60°\). Тепер у нас вийшов рівносторонній трикутник. Оскільки кожна сторона рівностороннього трикутника\(ABC\) однакова довжина, і ми знаємо, що одна сторона є радіусом одиничного кола, всі сторони повинні бути довжини 1.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Міра кута\(ABD\) становить 30°. Отже, якщо подвійний, кут\(ABC\) дорівнює 60°. \(BD\)перпендикулярна бісектриса\(AC\), тому вона розрізається\(AC\) навпіл. Це означає, що\(AD\) це\( \dfrac{1}{2}\) радіус, або\(\dfrac{1}{2}.\) Зверніть увагу, що\(AD\) це\(x\) -координата точки\(B\), яка знаходиться на перетині кута 60° та одиничного кола. Це дає нам трикутник\(BAD\) з гіпотенузою 1 і\(x\) стороною довжини\(\dfrac{1}{2}\).

З теореми Піфагора отримаємо

\[x^2+y^2=1 \nonumber \]

Підставляючи\(x=\frac{1}{2}\), отримуємо

\[ \left(  \dfrac{1}{2}  \right)^2+y^2=1 \nonumber \]

Вирішуючи за\(y\), отримуємо

\[\begin{align*} \dfrac{1}{4}+y^2 &=1 \\ y^2 &=1−\dfrac{1}{4} \\ y^2 &= \dfrac{3}{4} \\ y &=± \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\]

Оскільки\(t=\dfrac{π}{3}\) має термінальну сторону в квадранті I, де\(y\) -координата позитивна, ми вибираємо\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), позитивне значення.

При\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°)\((x,y)\) координати точки на колі радіуса\(1\) під кутом\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), тому ми можемо знайти синус і косинус.\(60°\)

\( (x, y) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \right) \)

\( x = \dfrac{1}{2}, \; y = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)

\( \cos t = \dfrac{1}{2}, \; \sin t = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)

Тепер ми знайшли значення косинуса та синуса для всіх найбільш часто зустрічаються кутів у першому квадранті одиничного кола. Таблиця\(\PageIndex{1}\) підсумовує ці значення.

Таблиця\(\PageIndex{1}\)

Кут	0	\(\dfrac{π}{6}\), або 30	\(\dfrac{π}{4}\), або 45°	\(\dfrac{π}{3}\), або 60°	\(\dfrac{π}{2}\), або 90°
косинус	1	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	0
Синус	0	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	1

\(\PageIndex{14}\)На малюнку показані загальні кути в першому квадранті одиничного кола.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Використання калькулятора для пошуку синусів і косинусів

Щоб знайти косинус і синус кутів, відмінних від спеціальних кутів, звертаємося до комп'ютера або калькулятору. Майте на увазі: Більшість калькуляторів можна встановити в режим «ступінь» або «радіан», який повідомляє калькулятору одиниці для вхідного значення. Коли ми оцінюємо\( \cos (30)\) на нашому калькуляторі, він оцінить його як косинус 30 градусів, якщо калькулятор знаходиться в градусному режимі, або косинус 30 радіанів, якщо калькулятор знаходиться в радіановому режимі.

Як: Задано кут в радіанах, скористайтеся графічним калькулятором, щоб знайти косинус

1. Якщо калькулятор має градусний режим і радіановий режим, встановіть для нього радіановий режим.
2. Натисніть клавішу COS.
3. Введіть радіанове значення кута і натисніть клавішу закрити дужки «)».
4. Натисніть клавішу ENTER.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

Оцініть\( \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)\) за допомогою графічного калькулятора або комп'ютера.

Рішення

Введіть наступні натискання клавіш:

\(\mathrm{COS( 5 × π ÷ 3 ) \; ENTER}\)

\[ \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)=0.5 \nonumber\]

Аналіз

Ми можемо знайти косинус або синус кута в градусах безпосередньо на калькуляторі з градусним режимом. Для калькуляторів або програмного забезпечення, які використовують лише радіановий режим, ми можемо знайти знак\(20°\), наприклад, включивши коефіцієнт перетворення в радіани як частину вхідних даних:

\[\mathrm{SIN( 20 × π ÷ 180 ) \; ENTER} \nonumber\]

Спробуйте\(\PageIndex{4}\)

Оцінити\(\sin \left( \dfrac{π}{3} \right) \).

Відповідь

приблизно 0,866025403

Визначення області та діапазону синусоїдних і косинусних функцій

Тепер, коли ми можемо знайти синус і косинус кута, нам потрібно обговорити їх області і діапазони. Які області функцій синуса і косинуса? Тобто, які найменші і найбільші числа, які можуть бути входами функцій? Оскільки кути менше 0 і кути більші за 2π все ще можуть бути позначені на одиничному колі і мають реальні значення\(x, \; y\), і\(r\), немає нижньої або верхньої межі кутів, які можуть бути введені в синус і косинус функції. Вхідні дані для функцій синуса і косинуса є обертання від позитивної\(x\) -осі, і це може бути будь-яке дійсне число.

Які діапазони функцій синуса і косинуса? Які найменші та найбільші можливі значення для їх виведення? Ми можемо побачити відповіді, вивчивши одиничне коло, як показано на малюнку\(\PageIndex{15}\). Межі\(x\) -координати є\( [−1,1]\). Межі\(y\) -координати також є\([−1,1]\). Тому діапазон як синусоїдних, так і косинусних функцій є\([−1,1]\).

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Пошук опорних кутів

Ми обговорювали знаходження синус і косинус для кутів у першому квадранті, але що робити, якщо наш кут знаходиться в іншому квадранті? Для будь-якого заданого кута в першому квадранті існує кут у другому квадранті з однаковим значенням синуса. Оскільки значення синуса є\(y\) -координатою на одиничному колі, інший кут з тим же синусом матиме те саме\(y\) значення, але має протилежне\(x\) значення. Тому його значення косинуса буде протилежним значенню косинуса першого кута.

Так само в четвертому квадранті буде кут з тим же косинусом, що і початковий кут. Кут з однаковим косинусом матиме одне і те ж\(x\) значення, але матиме протилежне\(y\) значення. Отже, його значення синуса буде протилежним значенню синуса вихідного кута.

Як показано на малюнку\(\PageIndex{16}\), кут\(α\) має те саме значення синуса, що і кут\(t\); значення косинусів протилежні. Кут\(β\) має те саме значення косинуса, що і кут\(t\); значення синуса протилежні.

\ (\ почати {масив} {ccc}\ sin (t) =\ sin (α) &\ текст {і} &\ cos (t) = -\ cos (α)\
\ sin (t) = -\ sin (β) &\ текст {і} &\ cos (t) =\ cos (β)\
\ кінець {масив}\)

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Нагадаємо, що опорний кут кута - це гострий кут\(t\), утворений кінцевою стороною кута\(t\) і горизонтальною віссю. Опорний кут - це завжди кут між\(0\) і\(90°\), або\(0\) і\(\dfrac{π}{2}\) радіанами. Як ми бачимо з малюнка\(\PageIndex{17}\), для будь-якого кута в квадрантах II, III або IV є опорний кут у квадранті I.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Як: З огляду на кут між\(0\) and \(2π\), find its reference angle

1. Кут у першому квадранті - це власний опорний кут.
2. Для кута у другому або третьому квадранті опорний кут дорівнює\(|π−t|\) або\(|180°−t|\).
3. Для кута в четвертому квадранті опорний кут дорівнює\(2π−t\) або\(360°−t.\)
4. Якщо кут менше\(0\) або більше,\(2π,\) додайте або відніміть\(2π\) стільки разів, скільки потрібно, щоб знайти еквівалентний кут між\(0\) і\(2π\).

Приклад\(\PageIndex{5}\): Finding a Reference Angle

Знайдіть опорний кут,\(225°\) як показано на малюнку\(\PageIndex{18}\).

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

Рішення

Тому що\( 225°\) знаходиться в третьому квадранті, опорний кут

\[|(180°−225°)|=|−45°|=45° \nonumber \]

Спробуйте\(\PageIndex{5}\)

Знайти опорний кут\(\frac{5π}{3}\).

Відповідь

(\ dfrac {π} {3}\)

Використання опорних кутів

Тепер давайте скористаємося моментом, щоб переглянути колесо огляду, представлене на початку цього розділу. Припустимо, вершник знімає фотографію, зупиняючись на двадцяти футах над рівнем землі. Потім вершник обертається на три чверті шляху по колу. Що таке новий підйом вершника? Щоб відповісти на такі питання, як цей, нам потрібно оцінити функції синуса або косинуса під кутами, які перевищують 90 градусів або під негативним кутом. Опорні кути дають можливість оцінювати тригонометричні функції для кутів поза першим квадрантом. Вони також можуть бути використані для пошуку\((x,y)\) координат цих кутів. Ми будемо використовувати опорний кут кута повороту в поєднанні з квадрантом, в якому лежить кінцева сторона кута.

Використання опорних кутів для оцінки тригонометричних функцій

Ми можемо знайти косинус і синус будь-якого кута в будь-якому квадранті, якщо ми знаємо косинус або синус його опорного кута. Абсолютні значення косинуса і синуса кута збігаються з значеннями опорного кута. Знак залежить від квадранта вихідного кута. Косинус буде позитивним або негативним залежно від знака\(x\) -значень у цьому квадранті. Синус буде позитивним або негативним залежно від знака\(y\) -значень у цьому квадранті.

ВИКОРИСТАННЯ ОПОРНИХ КУТІВ ДЛЯ ПОШУКУ КОСИНУСІВ І СИНУСІВ

Кути мають косинуси і синуси з таким же абсолютним значенням, як косинуси і синуси їх опорних кутів. Знак (позитивний або негативний) можна визначити з квадранта кута.

Як: За заданим кутом у стандартному положенні знайдіть опорний кут, а також косинус та синус початкового кута

1. Виміряйте кут між кінцевою стороною заданого кута і горизонтальною віссю. Тобто опорний кут.
2. Визначте значення косинуса і синуса опорного кута.
3. Дайте косинусу той же знак, що і\(x\) -значення в квадранті початкового кута.
4. Дайте синусу той самий знак, що і\(y\) -значення в квадранті початкового кута.

Приклад\(\PageIndex{6}\): Using Reference Angles to Find Sine and Cosine

1. Використовуючи опорний кут, знайдіть точне значення\(\cos (150°)\) і\( \sin (150°)\).
2. Використовуючи опорний кут, знайдіть\( \cos \dfrac{5π}{4}\) і\(\sin \frac{5π}{4}\).

Рішення

Це говорить нам про те, що 150° має ті ж значення синуса і косинуса, що і 30°, за винятком знака. Ми знаємо, що

Оскільки\(150°\) знаходиться у другому квадранті,\(x\) -координата точки на колі від'ємна, тому значення косинуса від'ємне. \(y\)-coordinate є додатним, тому значення синуса позитивне.

\(\dfrac{5π}{4}\)знаходиться в третьому квадранті. Його опорний кут дорівнює\( \left| \dfrac{5π}{4} - π \right| = \dfrac{π}{4} \). Косинус і\(\dfrac{π}{4} \) синус обох\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). У третьому квадранті обидва\(x\) і\(y\) негативні, так:

\( \cos \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)і\(\sin \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

Спробуйте\(\PageIndex{6}\)

1. Використовуйте опорний кут,\(315°\) щоб знайти\( \cos (315°) \) і\(\sin (315°)\).
2. Використовуйте опорний кут,\(−\dfrac{π}{6}\) щоб знайти\( \cos \left(−\dfrac{π}{6}\right) \) і\( \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)\)

Відповідь

1. \( \cos (315°)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin (315°)=\dfrac{–\sqrt{2}}{2}\)
2. \(\cos \left(−\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)=−\frac{1}{2} \)

Використання опорних кутів для пошуку координат

Тепер, коли ми навчилися знаходити значення косинусів та синусів для спеціальних кутів у першому квадранті, ми можемо використовувати симетрію та опорні кути для заповнення значень косинусів та синусів для решти спеціальних кутів на одиничному колі. Вони показані на рис\(\PageIndex{19}\). Знайдіть час, щоб дізнатися\((x,y)\) координати всіх основних кутів у першому квадранті.

Малюнок\(\PageIndex{19}\): Спеціальні кути та координати відповідних точок на одиничному колі

Окрім вивчення значень для спеціальних кутів, ми можемо використовувати опорні кути, щоб знайти\((x,y)\) координати будь-якої точки на одиничному колі, використовуючи те, що нам відомо про опорні кути разом із ідентичностями

\[\begin{align*} x &= \cos t \\ y & = \sin t \end{align*}\]

Спочатку знаходимо опорний кут, відповідний заданому куту. Потім беремо значення синуса і косинуса опорного кута, і даємо їм знаки, відповідні\(y\) - і\(x\) -значенням квадранта.

Як: з урахуванням кута точки на колі і радіус кола, знайти\((x,y)\) coordinates of the point

1. Знайти опорний кут, виміряючи найменший кут до\(x\) -осі.
2. Знайти косинус і синус опорного кута.
3. Визначте відповідні ознаки для\(x\) і\(y\) в даному квадранті.

Приклад\(\PageIndex{7}\): Using the Unit Circle to Find Coordinates

Знайти координати точки на одиничному колі під кутом\(\dfrac{7π}{6}\).

Рішення

Ми знаємо, що кут\(\dfrac{7π}{6}\) знаходиться в третьому квадранті.

Спочатку знайдемо опорний кут, виміряючи кут до\(x\) -осі. Щоб знайти опорний кут кута, кінцева сторона якого знаходиться в третьому квадранті, знайдемо різницю кута і\(π\).

\[\dfrac{7π}{6}−π=\dfrac{π}{6} \nonumber \]

Далі знайдемо косинус і синус опорного кута:

\[\cos \left( \dfrac{π}{6} \right) =\dfrac{3}{2} \;\;        \sin \left(\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]

Треба визначити відповідні ознаки для\(x\) і\(y\) в даному квадранті. Оскільки наш початковий кут знаходиться в третьому квадранті, де обидва\(x\) і\(y\) негативні, і косинус, і синус є негативними.

\[\begin{align*} \cos \left(\dfrac{7π}{6}\right) &=−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \left(\dfrac{7π}{6}\right) & =−\dfrac{1}{2} \end{align*}\]

Тепер ми можемо обчислити\((x,y)\) координати за допомогою ідентифікаторів\(x= \cos θ\) і\(y= \sin θ\).

Координати точки знаходяться\(\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2}\right)\) на одиничному колі.

Спробуйте\(\PageIndex{7}\)

Знайти координати точки на одиничному колі під кутом\(\dfrac{5π}{3}\).

Відповідь

\(  \left( \dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

ЗМІ

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з функціями синуса та косинуса.

• Тригонометричні функції з використанням одиничного кола
• Синус і косинус з одиничного кола
• Синус і косинус з одиничного кола та кратних Pi, поділених на шість
• Синус і косинус з одиничного кола та кратних Pi, поділених на чотири
• Тригонометричні функції з використанням опорних кутів

Ключові рівняння

косинус	\( \cos t=x\)
Синус	\( \sin t=y\)
Піфагорійська ідентичність	\( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1\)

Ключові концепції

• Знаходження значень функції для синуса і косинуса починається з малювання одиничного кола, який відцентрований у початку і має радіус 1 одиниця.
• Використовуючи одиничну окружність, синус кута\(t\) дорівнює\(y\) -значенню кінцевої точки на одиничній окружності дуги довжини,\(t\) тоді як косинус кута\(t\) дорівнює\(x\) -значенню кінцевої точки. Див. Приклад.
• Значення синуса і косинуса найбільш безпосередньо визначаються, коли відповідна точка на одиничному колі падає на вісь. Див. Приклад.
• Коли синус або косинус відомий, ми можемо використовувати Піфагорійську Ідентичність, щоб знайти іншу. Піфагорійська ідентичність також корисна для визначення синусів і косинусів спеціальних кутів. Див. Приклад.
• Калькулятори та графічне програмне забезпечення корисні для пошуку синусів та косинусів, якщо відома належна процедура введення інформації. Див. Приклад.
• Область синусоїдних і косинусних функцій - це всі дійсні числа.
• Діапазон як синусоїдних, так і косинусних функцій дорівнює\([−1,1]\).
• Синус і косинус кута мають таке ж абсолютне значення, як синус і косинус його опорного кута.
• Знаки синуса і косинуса визначаються з x - і\(y\) -значень в квадранті початкового кута.
• Опорний кут кута - це розмір кута\(t\), утворений кінцевою стороною кута\(t\) та горизонтальною віссю. Див. Приклад.
• Опорні кути можуть бути використані для знаходження синуса і косинуса початкового кута. Див. Приклад.
• Опорні кути також можуть бути використані для пошуку координат точки на колі. Див. Приклад.

Глосарій

функція косинуса

\(x\)-значення точки на одиничному колі, що відповідає заданому куту

Піфагорійська ідентичність

наслідок теореми Піфагора про те, що квадрат косинуса заданого кута плюс квадрат синуса цього кута дорівнює 1

функція синуса

\(y\)-значення точки на одиничному колі, що відповідає заданому куту

одиниця коло

коло з центром в\((0,0)\) і радіусом 1.