6: Експоненціальні та логарифмічні функції

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми вивчимо експоненціальні функції, які можна використовувати, серед іншого, для моделювання моделей росту, таких як ті, що містяться у бактерій. Також ми будемо досліджувати логарифмічні функції, які тісно пов'язані з експоненціальними функціями. Обидва типи функцій мають численні реальні програми, коли мова йде про моделювання та інтерпретацію даних.

6.0: Прелюдія до експоненціальних і логарифмічних функцій
Зосередьтеся на квадратному сантиметрі вашої шкіри. Подивіться ближче. Ближче ще. Якби ви могли придивитися досить уважно, ви б побачили сотні тисяч мікроскопічних організмів. Це бактерії, і вони знаходяться не тільки на вашій шкірі, але і в роті, носі і навіть кишечнику. Насправді бактеріальні клітини у вашому організмі в будь-який момент перевищують кількість власних клітин. Але це не привід відчувати себе погано. Хоча деякі бактерії можуть викликати хвороби, багато хто здорові і навіть необхідні для організму.
6.1: Експоненціальні функції
Коли населення швидко зростає, ми часто говоримо, що зростання є «експоненціальним», тобто щось зростає дуже швидко. Для математика, однак, термін експоненціальне зростання має дуже специфічне значення. У цьому розділі ми розглянемо експоненціальні функції, які моделюють цей вид швидкого зростання.
- 6.1E: Експоненціальні функції (вправи)
6.2: Графіки експоненціальних функцій
Як ми обговорювали в попередньому розділі, експоненціальні функції використовуються для багатьох реальних додатків, таких як фінанси, криміналістика, інформатика та більшість наук про життя. Робота з рівнянням, що описує реальну ситуацію, дає нам метод прогнозування. Більшу частину часу, однак, самого рівняння недостатньо. Ми багато дізнаємося про речі, бачачи їх образотворчі зображення, і саме тому графічне експоненціальне рівняння є потужним інструментом.
- 6.2E: Графіки експоненціальних функцій (вправи)
6.3: Логарифмічні функції
Обернена експоненціальна функція є логарифмічною функцією, а оберненою логарифмічною функцією є експоненціальна функція.
- 6.3E: Логарифмічні функції (вправи)
6.4: Графіки логарифмічних функцій
У цьому розділі ми обговоримо значення, для яких визначена логарифмічна функція, а потім звернемо увагу на графіку сімейства логарифмічних функцій.
- 6.4E: Графіки логарифмічних функцій (вправи)
6.5: Логарифмічні властивості
Нагадаємо, що логарифмічна і експоненціальна функції «скасовують» один одного. Це означає, що логарифми мають схожі властивості з показниками. Тут наведено деякі важливі властивості логарифмів.
- 6.5E: Логарифмічні властивості (вправи)
6.6: Експоненціальні та логарифмічні рівняння
Неконтрольований приріст населення можна моделювати за допомогою експоненціальних функцій. Рівняння, отримані з цих експоненціальних функцій, можуть бути вирішені для аналізу та прогнозування експоненціального зростання. У цьому розділі ми вивчимо прийоми розв'язання експоненціальних функцій.
- 6.6E: Експоненціальні та логарифмічні рівняння (вправи)
6.7: Експоненціальні та логарифмічні моделі
Ми вже досліджували деякі основні застосування експоненціальних і логарифмічних функцій. У цьому розділі ми досліджуємо деякі важливі програми більш глибоко, включаючи радіоактивні ізотопи та закон охолодження Ньютона.
- 6.7E: Експоненціальні та логарифмічні моделі (вправи)
6.8: Підгонка експоненціальних моделей до даних
У цьому розділі ми зосередимося на трьох типах регресійних моделей: експоненціальної, логарифмічної та логістичної. Вже попрацювавши з кожною з цих функцій дає нам перевагу. Знання їх формальних визначень, поведінки їх графіків та деяких їх реальних застосувань дає нам можливість поглибити наше розуміння. Оскільки представлена кожна модель регресії, ключові ознаки та визначення пов'язаної з нею функції включаються для ознайомлення.
- 6.8E: Підгонка експоненціальних моделей до даних (вправи)

Мініатюра: Функції $y=e^x$ і $y=\ln(x)$ є оберненнями один одного, тому їх графіки симетричні щодо лінії $y=x$ . (CC BY-SA; OpenStax).