17.1: Відстань до горизонту

Last updated
Save as PDF

Page ID: 56616

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Уявіть, що ви стояли на висоті\(h\) метрів над океаном і дивилися через воду. Яке відстань\(D\) до горизонту? Його можна обчислити, якщо знати радіус\(R\) Землі.

Ваша лінія зору до горизонту є дотичною до Землі - лінія, яка торкається сфери Землі лише\(B\) в одній точці, зазначеній на малюнку тут. Якщо центр сфери Землі,\(O\) то за відомою теоремою геометрії такий тангенс перпендикулярний радіусу\(OB\), тобто робить з ^ним кут 90. З застосування теореми Піфагора випливає з\(\Delta AB\) цього:

\[D^2\,+\,R^2\,=\,(R\,+\,h)^2\]

\[D^2\,=\,(R\,+\,h)^2\,-\,R^2\]

\[D^2\,=\,(R^2\,+\,2Rh)\,+\,h^2\,-\,R^2\]

\[D^2\,=\,2Rh\,+\,h^2\]

\[D^2\,=\,h(2R+h)\]

Так як\(2R\) діаметр Землі набагато більше h, ми можемо замінити (\(2R+h)\)шляхом\(2R\) без суттєвого впливу на результати. Проведення цієї заміни дає:

\[D^2\,=\,2Rh\]

\[D\,=\sqrt{2Rh}\]

Це рівняння дозволяє обчислити\(D\) в кілометрах, якщо\(h\) і\(R\) задані в кілометрах. Ми також можемо переписати його як:

\[D\,=\sqrt{2Rh}\,=\sqrt{2R}\times\sqrt{h}\]

Використовуючи\(R\,=\,6371\) км, знаходимо

\[D\,=\,112.88\,km\times\sqrt{h}\]

Якщо ви стоїте на вершині гори висотою 1 км,\(h=1\) км і ваш горизонт повинен на 112,88 км (ми нехтуємо заломленням світла в атмосфері, що може змінити це значення). Від вершини Мауна-Кеа на Гаваях, згаслого вулкана висотою близько 4 км (також місце важливих астрономічних спостережень), горизонт повинен бути приблизно в два рази віддалений, 226 км. З іншого боку, стоячи на пляжі очима 2 метри = 0,002 км над водою, т\(\sqrt{0.002}\,=\,0.0442\). к. горизонту всього 5 км.

Розрахунок також повинен триматися навпаки. З човна на березі океану ви повинні почати бачити вершину Мауна-Кеа після того, як ви пройдете відстань 226 км (знову ж таки, не враховуючи заломлення). 15 листопада 1806 року лейтенант Зебулон Пайк з армії США, провідний розвідувальну партію через рівнини середнього заходу США, побачив крізь свій підзорник вершину далекої вершини, трохи вище горизонту. Його партія зайняла тиждень, щоб покрити 100 миль до гори, яка зараз відома як Пік Пайка, одна з найвищих в Колорадо. Щука насправді намагалася піднятися на її вершину, але сніг і несподівана висота гори змусили його назад.