Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

13.1: Аналіз об'єктивних функцій

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    29129

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У попередньому модулі ми вивели дві різні цільові функції з метою розв'язання задачі рівноваги спалаху. Давайте докладніше розглянемо ці рівняння:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(13.1а)
    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку. (13.1б)

    Ці рівняння виникають з простих мольних балансів і поняття рівноважних коефіцієнтів. Як ми обговорювали раніше, якщо нам задано {z i; i = 1,2,..., n} і, якщо з якихось причин, скажімо, ми зможемо отримати всі рівноважні співвідношення {K i; i = 1,2,..., n}; єдиною невідомою в цих об'єктивних функціях була б фракція пари 'α g '.

    Як тільки ми зможемо вирішити для цього α g, ми не матимемо жодних проблем із застосуванням будь-якої комбінації рівнянь (12.5), (12.7) та (12.11) для вирішення всіх парних та рідких композицій при рівновазі {y i, x i}:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(12.5)
    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку. (12.7)
    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку. (12.11)

    При всій цій інформації проблема ВЛЕ була б повністю вирішена. За допомогою композиційної інформації та використання відповідних рівнянь стану та кореляцій ми можемо знайти всі інші пов'язані властивості, такі як щільності, в'язкості, молекулярні ваги тощо Ось чому ми називаємо їх об'єктивними функціями; як тільки ми їх вирішимо, ми досягли мета розрахунку ВЛЕ.

    Звичайно, одне питання залишається без відповіді - як ви вирішуєте для того «α g», який похований всередині цих виразів? А по-друге, яку з двох доступних нам об'єктивних функцій ми будемо використовувати? Виходить, що відповіді на ці питання прив'язані один до одного. Насправді, належна цільова функція, яку ми будемо використовувати для розв'язання для «α g», - це те саме рівняння, яке спрощує процес розв'язання цього невідомого.

    Щоб придумати ці відповіді, перше, що ми повинні помітити, це те, що обидва вирази нелінійні в α g. Це означає, що ми не можемо виразити «α g» явно як функцію інших змінних. Що ми використовуємо для вирішення рівнянь, які є нелінійними в одній змінній? Хіба це не дзвонить дзвіночком? Застосовуємо ітераційні прийоми. А класична ітераційна методика - процедура Ньютона-Рафсона. Тепер ми можемо дати відповідь на обидва питання, які ми щойно задали.

    Відмінною характеристикою будь-якої процедури Ньютона-Рафсона є те, що успіх процедури в значній мірі залежить від вибору початкового припущення для розглянутої змінної. Насправді дуже часто говорять, що для досягнення успіху Ньютона-Рафсона початкова здогадка повинна бути максимально наближеною до реального рішення. Ця «хвороба» погіршується при роботі з немонотонними функціями. У монотонній функції похідні в кожній точці завжди мають один і той же знак — функція або збільшується, або зменшується монотонно. Для Ньютона-Рафсона це означає, що немає ні долин, ні піків, які могли б привести процедуру до помилкових рішень. Якщо застосувати Ньютона-Рафсона до монотонної і всюди безперервної функції, успіх процедури не залежить від початкового припущення. Насправді, якщо ви застосуєте Ньютон-Рафсона до монотонної функції, яка є безперервною і в кожній точці домену, зовсім не має значення, з чого ви починаєте: ви завжди знайдете рішення. Це може зайняти час, але ви зможете сходитися до унікального рішення.

    Чому це має значення при роботі з рівняннями (13.1)? Справа в тому, що рівняння (13.1) не є монотонними, і це не полегшує ситуацію. Якщо в якості вправи ви побудуєте їх як функцію α g або візьмете похідну, ви зрозумієте, що обидві функції можуть змінювати знак своїх перших похідних для різних значень α g.

    Очевидно, це створює проблему. Ви не отримаєте унікального рішення, застосовуючи Ньютон-Рафсон, і ви можете в кінцевому підсумку з неправильним рішенням. Рачфорд і Райс (1952) визнали цю проблему і придумали пропозицію. Вони запропонували нову цільову функцію, засновану на рівняннях (13.1), що спрощує застосування процедури Ньютона-Рафсона.

    Вони об'єднали рівняння (13.1) шляхом віднімання, щоб отримати:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(13.2)

    Звідси новою об'єктивною функцією стає:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(13,3)

    Рівняння (13.3) відоме в літературі як об'єктивна функція Рачфорда-Райса. Рачфорд і Райс об'єднали дві дуже відомі об'єктивні функції в єдину цільову функцію. Чи є переваги у цього «нового» підходу?

    Чудова новина полягає в тому, що рівняння (13.3) є монотонним. Наслідком цього є те, що рівняння (13.3) краще підходить для застосування Ньютона-Рафсона, ніж рівняння (13.1). Як ви демонструєте монотонний характер об'єктивної функції Рачфорда і Райса? Для цього беремо першу похідну функції:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(13,4)

    Кожен пункт у знаку підсумовування позитивний — це гарантується квадратами в чисельнику і знаменнику і тим, що всі композиції позитивні. Отже, похідний вираз у (13.4) не має іншого вибору, як бути негативним, а функція Rachford-Rice Objective була доведена як монотонно спадна функція. При такому підході Рачфорд-Райс зняв головний біль від проблеми рівноваги пари та рідини.

    Залишається слабкістю об'єктивної функції Рачфорда-Райса полягає в тому, що, хоча і монотонна, вона не є безперервною у всіх точках домену. За допомогою огляду можна побачити, що функція має 'n' сингулярності (стільки ж особливостей, скільки компонентів у суміші), оскільки вона стає сингулярною при значеннях «α g», рівних:

    Зверніться до інструктора, якщо ви не можете побачити або інтерпретувати цю графіку.(13.5)

    Отже, ви все ще можете зіткнутися з проблемами конвергенції, якщо процедура перетинає будь-яку з особливостей. Якщо будь-якими способами можна утримувати процедуру Ньютона-Рафсона в межах значень α g, де можливе фізично значуще рішення (в межах двох асимптотів, де знайдені значення 0 < α g < 1), монотонно спадна особливість рівняння Рачфорда-Райса буде гарантія конвергенції.

    Автори та атрибуція