11.5: Методи розв'язання кубічних виразів та пошуку коренів
- Page ID
- 29069
Сподіваємось, ми переконали вас, що використання кубічних рівнянь стану може являти собою дуже значущий і вигідний спосіб моделювання поведінки PVT нафтових рідин. Зараз нам потрібні інструменти, які дозволять нам отримати з них інформацію, яку ми хочемо. Незважаючи на те, що кубічні рівняння стану явні в тиску, тиск не є загальним невідомим для обчислення в типовій задачі. У найпоширенішій задачі тиск і температура відомі, і ми хочемо або молярний об'єм (або його зворотну, молярну щільність) або коефіцієнт стисливості (найбільш ймовірний випадок). Тому ми стикаємося дуже часто з необхідністю вирішення для коренів кубічного виразу. Тут ми наведемо ряд підходів, яких можна дотримуватися.
аналітична схема
З огляду на кубічний многочлен з дійсними коефіцієнтами:\(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\), насамперед необхідно обчислити параметри:
і
Тепер давайте\(M = R^2 – Q^3\) бути дискримінантом. Потім ми розглянемо наступні випадки:
- Якщо\(M<0\left(R^{2}<Q^{3}\right)\), многочлен має три реальних кореня. Для цього випадку обчислити\(\theta=\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^{3}}}\right)\) і обчислити три різних реальних корені як:
\[x_{1}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6a}\]\[x_{2}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta+2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6b}\]\[x_{3}=-\left(2 \sqrt{Q} \cos \frac{\theta-2 \pi}{3}\right)-\frac{a}{3} \label{11.6c}\]
Зверніть увагу на те\(x_1\)\(x_2\), що, не\(x_3\) наведені в якомусь особливому порядку, і що\(\theta\) доводиться обчислювати в радіанах.
- Якщо\(M>0\left(R^{2}>Q^{3}\right)\), многочлен має тільки один реальний корінь. Обчислити: \[S=\sqrt[3]{-R+\sqrt{M}} \label{11.7a}\]\[T=\sqrt[3]{-R-\sqrt{M}} \label{11.7b}\] і обчислити реальний корінь наступним чином: Також можна знайти\[x_{1}=S+T-\frac{a}{3} \label{11.7c}\] два складних кореня (складні кон'югати). Однак вони не представляють інтересу для наших цілей, і тому ніяких формул не передбачено.
Такі формули можна знайти в наступних запропонованих показаннях:
- W.H Press, С.А. Teukolsky, В.Т. Веттерлінг, BP Фланнері, Чисельні рецепти у Фортрані, 2-е видання, Кембриджський університет. Преса, (1992), с. 179.
- Шпігель, М., Лю, Дж., Математичний довідник формул і таблиць, 2-е видання, Серія контурів Шаума, Макгроу Хілл, с.10.
Іноді рівняння для\(S\) і\(T\) перераховані вище викликають проблеми під час програмування. Зазвичай це відбувається кожного разу, коли комп'ютер/калькулятор виконує кубічний корінь від'ємної величини. Якщо ви хочете уникнути такої ситуації, ви можете обчислити\(S’\) і\(T’\) замість цього:
\[S^{\prime}=-\operatorname{sign}(R) \sqrt[3]{a b s(R)+\sqrt{M}}\]
\[T^{\prime}=Q / S^{\prime}\]
(виготовлення,\(T’=0\) коли\(S’=0\))
де:
\(abs(R)\) is the Absolute value of \(R\) and \(sign(R)\) is (+1) or (– 1) if \(R\) is positive or negative respectively.
Вона може бути визначена як:
\[sign(R) = R/Abs(R)\]
і тоді справжній корінь:
\[x_{1}=S^{\prime}+T^{\prime}-\frac{a}{3}\]
Майте на увазі наступні корисні співвідношення між коренями будь-якого кубічного виразу:
\[x_{1}+x_{2}+x_{3}=-a \label{11.8a}\]
\[x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{1}=+b \label{11.8b}\]
\[x_{1} x_{2} x_{3}=-c \label{11.8c}\]
Перевірте своє розуміння обчислень кубічного кореня аналітичними засобами, вирішивши наступні приклади.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
З загальними кубічними виразами,
\ [\ почати {вирівняний}
&x^ {3} -6 x^ {2} +11 x-6=0\ Стрілка вправо\\
&x_ {1} =1\\
&x_ {2} =2\\
&x_ {3} =3
\ кінець {вирівняний}\]
\ [\ почати {вирівняний}
&x^ {3} +7 x^ {2} +49 x+343=0\\
&x_ {1} =-7\
&x_ {2} =0+7 i\\
&x_ {3} =0-7 i
\ кінець {вирівняний}\]
\ [\ почати {вирівняний}
&x^ {3} +2 x^ {2} +3 x+4=0\ Стрілка вправо\\
&x_ {1} =-1.65063\\
&x_ {2} =-0.174685+1.54687 i\\
&x_ {3} =-0.174685-1.54687 я
\ кінець {вирівняний}\]
з EOS за обсягом (\(v\)), для чистого компонента,
\[v^{3}-7.8693 v^{2}+13.3771 v-6.5354=0 \nonumber\]
Тільки один справжній корінь (одна фаза) з
\[v_{1}=5.7357 \nonumber\]
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\[v^{3}-15.6368 v^{2}+30.315 v-14.8104=0\]
Рішення
Дві можливі фази (три справжніх кореня),
\ [\ почати {вирівняний}
&v_ {1} =0.807582\ текст {(рідка фаза)}\\
&v_ {2} =1.36174\ текст {(відхилено)}\\
&v_ {3} =13.4675\ текст {(газова фаза)}
\ кінець {вирівняний}\]
з EOS з точки зору коефіцієнта стисливості (z), для чистого компонента,
\[z^{3}-1.0595 z^{2}+0.2215 z-0.01317=0 \nonumber\]
=> Одна фаза:
\[z=0.8045 \nonumber\]
Вправа\(\PageIndex{2}\)
\[z^{3}-z^{2}+0.089 z-0.0013=0\]
Рішення
Дві можливі фази,
\ [\ почати {вирівняний}
&z_ {\ текст {рідина}} =0.0183012\\
&z_ {x} =0.0786609\ текст {(марно)}\\
&\ mathrm {Z} _ {\ mathrm {пара}} =0.903038
\ кінець {вирівняний}\]
Чисельна схема
Метод Ньютона-Рафсона надає корисну схему розв'язування неявної змінної з будь-якої форми рівняння (не тільки кубічних). Ньютон-Рафсон - це ітераційна процедура з швидкою конвергенцією, хоча вона не завжди здатна надати відповідь - тому що перша здогадка, досить близька до фактичної відповіді, повинна бути надана.
При вирішенні для «x» в будь-якому рівнянні типу f (x) =0 метод надає нову оцінку (нове припущення) ближче до фактичної відповіді, засновану на попередній оцінці (стара здогадка). Це пишеться наступним чином:
\[x_{n e w}=x_{o l d}-\frac{f\left(x_{o l d}\right)}{f^{\prime}\left(x_{o l d}\right)} \label{11.9}\]
Розглядаючи кубічне рівняння\(f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c=0\), попереднє рівняння набуває вигляду:
\[x_{n e w}=x_{o l d}-\frac{x_{o l d}^{3}+a x_{o l d}^{2}+b x_{o l d}+c}{3 x_{o l d}^{2}+2 a x_{o l d}+b} \label{11.10}\]
Ітерації тривають до тих пір, поки не буде досягнуто значного поліпшення для «\(x_{new}\)», тобто\(| x_{new} – x_{old} |\) < толерантності. Освічена здогадка повинна бути надана як початкове значення для ітерацій. Якщо ви вирішуєте кубічне рівняння в Z (коефіцієнт стисливості), зазвичай рекомендується приймати в\(Z = bP/RT\) якості вихідної здогадки для стисливості рідкої фази і\(Z = 1\) для парового кореня.
Напівааналітична схема
Якщо ви використовували попередній числовий підхід для обчислення одного з коренів кубічного виразу, напівааналітична схема може дати вам два інших дійсних кореня (коли вони існують). Використовуючи зв'язки, наведені раніше, зі значенням «x 1» як корінь вже відомим, два інших кореня обчислюються шляхом вирішення системи рівнянь:
\[x_{2}+x_{3}=-a-x_{1} \label{11.11a}\]
\[x_{2} x_{3}=-c / x_{1} \label{11.11b}\]
що призводить до квадратичного виразу.
Цю процедуру можна звести до наступних етапів:
- \(x^3 + ax^2 + bx + c = 0\)Дозволяти початковий кубічний многочлен і «\(E\)» корінь, який вже відомий (\(x_1 = E\)). Тоді ми можемо розкласти на множники такий кубічний вираз, як:\[(x-E)\left(x^{2}+F x+G\right)=0 \label{11.12a}\] де\[F = a + E \label{11.12b}\]\[G = – c / E \label{11.12c}\]
- Вирішити для\(x_2\),\(x_3\) використовуючи квадратні формули рівняння, \[x_1 = E \label{11.13a}\]\[x_{2}=\frac{-F+\sqrt{F^{2}-4 G}}{2} \label{11.13b}\]\[x_{3}=\frac{-F-\sqrt{F^{2}-4 G}}{2} \label{11.13c}\]