9.2: Кубічна поведінка
- Page ID
- 29090
Давайте подивимося, чого ми досягли досі. По-перше, пам'ятайте, що нас не влаштовує той факт, що ідеальний закон газу не здатний передбачити розрив рис.6.3, що відповідає конденсації, якій піддається суцільногазове чиста речовина при ізотермічному стисненні. Ізотерма, яку ми отримуємо від ідеальної моделі, була показана на малюнку 6.2. Конденсація, як ми знаємо, слід очікувати в якийсь момент, коли ви ізотермічно стискаєте будь-який чистий газ, перебуваючи нижче його критичних умов (T < T c). Ця відсутність відповідності фактичній поведінці змусило нас усвідомити, що ідеальна модель кількісно і якісно неправильна при високих тисках. Щоб прибрати слабкі сторони ідеальної моделі, нагадаємо, що VdW, розробляючи своє рівняння стану (Equation 7.11), ввів поняття співобсягу і терміна тяжіння.
Тепер ми дивуємося, чого він насправді досяг? Чи можемо ми зараз передбачити явища конденсації? Чи здатні ці «нові» ЕОС кубічного типу показати, де відбувається такий розрив? Поки що ми не бачили, як виглядає кубічна ізотерма. Побудуємо кубічну ізотерму для умов нижче критичних (T < T c), накладемо її на рис. 6.3 і подивимося, що ми отримаємо.
\(\PageIndex{1}\)На малюнку показана типова кубічна поведінка. Тобто навколо умов конденсації рівняння стану представляє S-подібну криву. Це не повинно стати несподіванкою; оскільки рівняння є кубічним за обсягом, воно забезпечить три корені для обсягу, а отже, S-подібну кубічну особливість. Для нашої дискусії ми показали газові та рідкі гілки кубічного рівняння, що лежать безпосередньо поверх експериментальних. Таке узгодження є «кінцевою метою» будь-якої кубічної EOS, але насправді відповідність не така хороша - особливо для випадку оригінального VdW EOS, про що ми обговоримо пізніше.
Кубічна поведінка обмежена двома крайностями реальної поведінки рідини, заданими нульовим тиском та нескінченними межами тиску. З одного боку, з рівняння (7.11b) зрозуміло, що ми маємо сингулярність at\(\bar{v}=b\), де «b» представляє спі-том, або фізичний простір, який займають самі молекули. Ця сингулярність зручно створює асимптотичну поведінку (асимптоту високого тиску) кубічного рівняння рідкої гілки, за допомогою якої\(\bar{v} \rightarrow b\) як\(P \rightarrow \infty\). Нагадаємо з наших попередніх обговорень, що прогнози на\(\tilde{v}<b\) безглузді. Відповідно, нам потрібно нескінченна кількість тиску, якщо ми хочемо стиснути рідину до такої міри, що серед молекул немає вільного простору (\(\widetilde{v}=b\)). З іншого боку, з VdW EOS (Equation 7.11a) зрозуміло\(v \rightarrow \infty(P \rightarrow 0)\), що кубічний EOS руйнується до ідеального EOS (рівняння 7.6). На цій межі низького тиску поправки VdW до ідеальної моделі стають несуттєвими (\(a / \bar{v}^{2} \rightarrow 0\),\(\bar{v} >> \)).
Математично це асимптота низького тиску кубічного рівняння газової гілки, за допомогою якої\(\bar{v} \rightarrow \infty\) як\(P→0\).
Давайте подивимося, наскільки «хороша» кубічна поведінка для моделі ідеал-газу. Зверніться до малюнка\(\PageIndex{2}\), де ми наклали ідеальну газову ізотерму малюнка 6.2 на кубічну поведінку EOS.
Погляд на рисунок\(\PageIndex{2}\) допомагає нам підтвердити, що кубічне рівняння стану руйнується до прогнозування ідеальної моделі газу при зниженому тиску - тобто вони мають однакову асимптоту низького тиску. Цього слід очікувати, оскільки припущення, що лежать в основі ідеальної моделі, задовольняються. Як ми пам'ятаємо, ці припущення полягають у тому, що сили привабливості між молекулами дуже слабкі і що фізичний об'єм молекул можна ігнорувати, якщо порівнювати із загальним об'ємом контейнера. Варто відзначити, що асимптота високого тиску не однакова для обох моделей; як\(P \rightarrow \infty\), що стосується кубічної моделі, тоді\(\widetilde{v} \rightarrow b\) як\(\widetilde{v} \rightarrow 0\) для ідеальної моделі. Останнє є прямим наслідком нехтування молекулярним об'ємом в ідеальній моделі.