3.1: Статичний контролер зворотного зв'язку

Last updated
Save as PDF

Page ID: 32077

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Система управління зворотним зв'язком

Стандартна блок-схема системи управління зворотним зв'язком з одним входом (SISO) включає установку\(G(s)\), контролер\(K(s)\), і датчик\(H(s)\), де\(H\left(s\right)=1\) часто передбачається.

Загальна функція передачі системи від входу\(r(t)\), до виходу\(y(t)\), може бути отримана, враховуючи сигнал помилки,\(e=r-Hy=r-KGHe\). Таким чином,\(\left(1+KGH\right)e=r\).

Нехай\(L\left(s\right)=KGH(s)\) позначають посилення зворотного зв'язку петлі; потім,\(\left(1+L\right)e=r\).

Функція передачі помилок від\(r\) до\(e\) виходить у вигляді:\[S(s)=\frac{1}{1+L(s)}=\frac{1}{1+KGH(s)} \]

Функція передачі замкнутого циклу від\(r\) до\(y\) виходить у вигляді:\[T(s)=\frac{KG(s)}{1+KGH(s)} \]

Відзначимо, що:\(S\left(s\right)+T\left(s\right)=1\).

Статична конструкція контролера петлі

Статичний контролер позначає використання підсилювача з коефіцієнтом посилення,\(K\), для генерації входу на установку,\(G(s)\). Дія контролера представлена у вигляді:\(u=Ke\), де\(e\) представляє сигнал помилки і\(u\) є введенням рослини.

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Система управління зворотним зв'язком зі статичним регулятором посилення.

Припускаючи\(H(s)=1\), що функція передачі із замкнутим циклом задається як:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=T\left(s\right)=\frac{KG(s)}{1+KG\left(s\right)}\]

Нехай\(G\left(s\right)=\frac{n\left(s\right)}{d\left(s\right)}\); потім, функція передачі замкнутого циклу виходить у вигляді:

\[\frac{y\left(s\right)}{r\left(s\right)}=\frac{Kn\left(s\right)}{d\left(s\right)+Kn(s)}\]

Характеристичний многочлен із замкнутим контуром визначається як:\(\mathit{\Delta}\left(s,K\right)=d(s)+Kn\left(s\right)\).

З точки зору проектування контролера коефіцієнт посилення\(K\) може бути обраний для досягнення бажаних місць розташування коренів для характеристичного полінома із замкнутим контуром. Конструкція може бути виконана шляхом порівняння коефіцієнтів характеристичного многочлена з потрібним характеристичним поліномом.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Модель для системи екологічного контролю наведено у вигляді:\(G\left(s\right)=\frac{1}{20s+1}\).

Припускаючи статичний регулятор посилення, характеристичний поліном із замкнутим контуром виходить як:\(\mathit{\Delta}\left(s,K\right)=20s+1+K\).

Припустимо, потрібний характеристичний многочлен вибирається як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=4(5s+1)\). Потім, порівнявши коефіцієнти, отримаємо статичний контролер як:\(K=3\).

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Модель системи управління позицією наведено у вигляді:\(G\left(s\right)=\frac{1}{s\left(0.1s+1\right)}\).

Припускаючи статичний регулятор посилення, характеристичний многочлен виходить у вигляді:\(\mathit{\Delta}\left(s,K\right)=s(0.1s+1)+K\).

Припустимо, потрібний характеристичний многочлен вибирається як:\({\mathit{\Delta}}_{des}\left(s\right)=0.1(s^2+10s+50)\). Потім, порівнявши коефіцієнти, отримаємо статичний контролер як:\(K=5\).