7.2: Матричні та індексні позначення
Вектор можна описати шляхом перерахування його компонентів уздовжxyz декартових осей; наприклад, вектор зміщенняu можна позначити якux,uy,uz, використовуючи буквені індекси для позначення окремих компонентів. Індекси також можуть використовувати числові індекси, причому 1, 2 і 3 вказуютьxy, іz напрямки; тому вектор переміщення може бути записаний еквівалентно якu1,u2,u3.
Загальним і корисним скороченням є просто написання вектора зміщення якui, деi індекс - це індекс, який, як передбачається, знаходиться в діапазоні понад 1,2,3 (або просто 1 і 2, якщо проблема двовимірна). Це називається умовністю діапазону для позначення індексу. Використовуючи угоду діапазону, векторне рівнянняui=a має на увазі три окремих скалярних рівняння:
u1=au2=au3=a
Нам часто буде зручно позначити вектор, перерахувавши його компоненти у вертикальному списку, укладеному в фігурні дужки, і ця форма допоможе нам трохи легше відстежувати множення матриця-вектор. Тому ми маємо такі еквівалентні форми векторних позначень:
u=ui={u1u2u3}={uxuyuz}
Величини другого рангу, такі як напруга, деформація, момент інерції та кривизна, можуть бути позначені як3×3 матричні масиви; наприклад, напруга може бути записана за допомогою числових індексів як
[σ]=[σ11σ12σ13σ21σ22σ23σ31σ32σ33]
Тут перший індекс індексу позначає рядок, а другий - стовпець. Індекси також мають фізичне значення, наприклад,σ23 вказує на напругу на обличчі 2 (площині, нормаль якої знаходиться в 2y, або, напрямку) і діє в 3, абоz, напрямку. Щоб розрізнити їх, ми будемо використовувати дужки для тензорів другого рангу та фігурні дужки для векторів.
Використовуючи угоду діапазону для позначення індексу, наголос також може бути записаний якσij, деi іj діапазон від 1 до 3; це дає дев'ять компонентів, перерахованих явно вище. (Оскільки матриця напружень симетричнаσij=σji, тобто тільки шість з цих дев'яти компонентів є незалежними.)
Під індексом, який повторюється в заданому терміні, розуміється як підсумовування в діапазоні повторюваного індексу; це угода про підсумовування для позначення індексу. Наприклад, щоб вказати суму діагональних елементів матриці напружень, ми можемо записати:
σkk=3∑k=1σkk=σ11+σ22+σ33
Правило множення для матриць може бути визначено формально,A=(aij) приймаючи бути(M×N) матрицею іB=(bij) бути(R×P) матрицею. МатричнийAB добуток визначається тільки тодіR=N, і є (M×P) матрицею,C=(cij) заданою
cij=N∑k=1aikbkj=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aiNbNk
Використовуючи угоду про підсумовування, це можна записати просто
cij=aikbkj
де під підсумовуванням розуміється над повторюваним показникомk. У випадку3×3 матриці множення вектора3×1 стовпця ми маємо
[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]{b1b2b3}={a11b1+a12b2+a13b3a21b1+a22b2+a23b3a31b1+a32b2+a33b3}=aijbj
Угода про коми використовує індексну кому, щоб мати на увазі диференціацію щодо використання всіх змінних, що слідують, такf,2=∂f/∂y іui,j=∂ui/∂xj. Наприклад, виразσij,j=0 три раніше визначені конвенції індексу: діапазон наi, сума наj і диференціювати:
∂σxx∂x+∂σxy∂y+∂σxz∂z=0∂σyx∂x+∂σyy∂y+∂σyz∂z=0∂σzx∂x+∂σzy∂y+∂σzz∂z=0
Дельта Кроенеккера корисна сутність визначається як
δij={0, i≠j1, i=j
Це індексна форма одиничної матриціI:
δij=I=[100010001]
Так, наприклад
σkkδij=[σkk000σkk000σkk]
деσkk=σ11+σ22+σ33.