7.2: Матричні та індексні позначення

Вектор можна описати шляхом перерахування його компонентів уздовж\(xyz\) декартових осей; наприклад, вектор зміщення\(u\) можна позначити як\(u_x, u_y, u_z\), використовуючи буквені індекси для позначення окремих компонентів. Індекси також можуть використовувати числові індекси, причому 1, 2 і 3 вказують\(x\)\(y\), і\(z\) напрямки; тому вектор переміщення може бути записаний еквівалентно як\(u_1, u_2, u_3\).

Загальним і корисним скороченням є просто написання вектора зміщення як\(u_i\), де\(i\) індекс - це індекс, який, як передбачається, знаходиться в діапазоні понад 1,2,3 (або просто 1 і 2, якщо проблема двовимірна). Це називається умовністю діапазону для позначення індексу. Використовуючи угоду діапазону, векторне рівняння\(u_i = a\) має на увазі три окремих скалярних рівняння:

\[\begin{array} {c} {u_1 = a} \\ {u_2 = a} \\ {u_3 = a}\end{array} \nonumber\]

Нам часто буде зручно позначити вектор, перерахувавши його компоненти у вертикальному списку, укладеному в фігурні дужки, і ця форма допоможе нам трохи легше відстежувати множення матриця-вектор. Тому ми маємо такі еквівалентні форми векторних позначень:

\[u = u_i = \left \{ \begin{matrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{matrix} \right \} = \left \{ \begin{matrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{matrix} \right \} \nonumber\]

Величини другого рангу, такі як напруга, деформація, момент інерції та кривизна, можуть бути позначені як\(3\times 3\) матричні масиви; наприклад, напруга може бути записана за допомогою числових індексів як

\[[\sigma] = \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33} \end{bmatrix}\nonumber\]

Тут перший індекс індексу позначає рядок, а другий - стовпець. Індекси також мають фізичне значення, наприклад,\(\sigma_{23}\) вказує на напругу на обличчі 2 (площині, нормаль якої знаходиться в 2\(y\), або, напрямку) і діє в 3, або\(z\), напрямку. Щоб розрізнити їх, ми будемо використовувати дужки для тензорів другого рангу та фігурні дужки для векторів.

Використовуючи угоду діапазону для позначення індексу, наголос також може бути записаний як\(\sigma_{ij}\), де\(i\) і\(j\) діапазон від 1 до 3; це дає дев'ять компонентів, перерахованих явно вище. (Оскільки матриця напружень симетрична\(\sigma_{ij} = \sigma_{ji}\), тобто тільки шість з цих дев'яти компонентів є незалежними.)

Під індексом, який повторюється в заданому терміні, розуміється як підсумовування в діапазоні повторюваного індексу; це угода про підсумовування для позначення індексу. Наприклад, щоб вказати суму діагональних елементів матриці напружень, ми можемо записати:

\[\sigma_{kk} = \sum_{k = 1}^{3} \sigma_{kk} = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}\nonumber\]

Правило множення для матриць може бути визначено формально,\(A =(a_{ij})\) приймаючи бути\((M \times N)\) матрицею і\(B = (b_{ij})\) бути\((R \times P)\) матрицею. Матричний\(AB\) добуток визначається тільки тоді\(R = N\), і є (\(M \times P\)) матрицею,\(C = (c_{ij})\) заданою

\[c_{ij} = \sum_{k = 1}^{N} a_{ik} b_{kj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{iN} b_{Nk}\nonumber\]

Використовуючи угоду про підсумовування, це можна записати просто

\[c_{ij} = a_{ik} b_{kj}\nonumber\]

де під підсумовуванням розуміється над повторюваним показником\(k\). У випадку\(3 \times 3\) матриці множення вектора\(3 \times 1\) стовпця ми маємо

\[\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \left \{ \begin{matrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{matrix} \right \} = \left \{ \begin{matrix} a_{11}b_1 + a_{12}b_2 + a_{13} b_3 \\ a_{21}b_1 + a_{22}b_2 + a_{23} b_3 \\ a_{31}b_1 + a_{32}b_2 + a_{33} b_3 \end{matrix} \right \} = a_{ij} b_{j}\nonumber\]

Угода про коми використовує індексну кому, щоб мати на увазі диференціацію щодо використання всіх змінних, що слідують, так\(f_{,2} = \partial f/\partial y\) і\(u_{i,j} = \partial u_i/\partial x_j\). Наприклад, вираз\(\sigma_{ij, j} = 0\) три раніше визначені конвенції індексу: діапазон на\(i\), сума на\(j\) і диференціювати:

\[\begin{array} {c} {\dfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_{xy}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_{xz}}{\partial z} = 0} \\ {\dfrac{\partial \sigma_{yx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_{yy}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_{yz}}{\partial z} = 0} \\ {\dfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_{zy}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = 0} \end{array} \nonumber\]

Дельта Кроенеккера корисна сутність визначається як

\[\delta_{ij} = \begin{cases} 0, \ \ i \ne j \\ 1, \ \ i = j \end{cases} \nonumber\]

Це індексна форма одиничної матриці\(I\):

\[\delta_{ij} = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

Так, наприклад

\[\sigma_{kk}\delta_{ij} = \begin{bmatrix} \sigma_{kk} & 0 & 0 \\ 0 & \sigma_{kk} & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_{kk} \end{bmatrix}\nonumber\]

де\(\sigma_{kk} = \sigma_{11} + \sigma_{22} + \sigma_{33}\).